高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
29/55
只需证2scino(sxx11+coxs2x)2>1+sinco(xs1(+x1+x2)x2). ∵x1,x2∈(0,π2),∴x1+x2∈(0,π), ∴cosx1cosx2>0,sin(x1+x2)>0,1+cos(x1+x2)>0, 故只需证 1+cos(x1+x2)>2cosx1cosx2,
38/55
只需证 a2-5a<a2-5a+6, 即证:0<6,此不等式恒成立,所以原不等式成立.
39/55
学科关键素养 利用分析法、综正当证实问题 综合法和分析法各有优缺点,从寻求解题思路来看,综 合法由因导果,分析法执果索因.就表达证明过程而论,综 合法形式简洁,条理清晰,分析法叙述烦琐,在实际解题时, 常常把分析法和综合法综合起来运用.先利用分析法寻找解 题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程.
15/55
命题方向1 ⇨用综正当证实不等式
例 1 (1)若 a>b>0,则下列不等式中,总成立的是 ( A )
A.a+1b>b+1a
B.ab>ba+ +11
C.a+a1>b+1b
D.2aa++2bb>ba
16/55
(2)在不等式“a2+b2≥2ab”的证明中:因为 a2+b2-2ab= (a-b)2≥0.所以 a2+b2≥2ab.该证明用的方法是__综__正__当_____. (3)已知 a,b,c∈R,且 a+b+c=1. 求证:a2+b2+c2≥31.
17/55
证明:因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca. 于是(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2) 所以 a2+b2+c2≥13(a+b+c)2=13, 当且仅当 a=b=c 时取等号,原式得证.
由已知 0<x<1,只需证明a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc.
∵a+2 b≥ ab>0,b+2 c≥ bc>0,a+2 c≥ ac>0.
36/55
应用:用分析法证实数学命题时,一定要恰当地用好 “要证”“只需证”“即证”等词语. 尤其提醒:逆向思索是分析法证实立体思绪,经过反 推,逐步探寻使结论成立充分条件,正确把握转化方 向,使问题得以处理.切记“逆向”“反推”,不然 会出现错误.
37/55
跟踪练习 3 已知 a>5,求证: a-5- a-3< a-2- a. 证明:要证 a-5- a-3< a-2- a, 只需证 a-5+ a< a-2+ a-3, 只需证( a-5+ a)2<( a-2+ a-3)2, 即 2a+2 a2-5a-5<2a-5+2 a2-5a+6, 即只需证 a2-5a< a2-5a+6,
3/55
新知导学 1. 综正当定义 利用__已__知__条__件____和一些数学__定__义__、__定__理__、_公__理___ 等,经过一系列____推__理__论__证__,最终推导出所要证实结 论成立,这种证实方法叫做综正当.
4/55
2.综正当特点 从“已知”看“_可__知___”,逐步推向“__未__知__”,其逐 步 推 理 , 是 由 _因_____ 导 _果_____ , 实 际 上 是 寻 找 “ 已 知”必__要____条件.
32/55
【解析】∵a2+b2-1-a2b2 =(a2-a2b2)+(b2-1) =a2(1-b2)+(b2-1) =(a2-1)(1-b2)=-(a2-1)(b2-1).
33/55
命题方向3 ⇨分析法证实不等式 (2)已知非零向量 a⊥b,证明:|a|a|+-|bb||≤ 2. 证明:∵a⊥b,∴a·b=0, 要证|a|a|+ -|bb||≤ 2. 只需证:|a|+|b|≤ 2|a-b|, 平方得|a|2+|b|2+2|a|·|b|≤2(|a|2+|b|2),
23/55
命题方向2 ⇨分析法应用
例 2 设 a、b 为实数,求证: a2+b2≥ 22(a+b). 证明:当 a+b≤0 时, ∵ a2+b2≥0, ∴ a2+b2≥ 22(a+b)成立. 当 a+b>0 时,
24/55
用分析法证明如下: 要证 a2+b2≥ 22(a+b),只需证( a2+b2)2≥[ 22(a+b)]2. 即证 a2+b2≥12(a2+b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, ∴ a2+b2≥ 22(a+b)成立.综上所述,不等式得证.
30/55
即证 1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2, 即证 cos(x1-x2)<1. 由 x1,x2∈(0,π2),x1≠x2,知上式是显然成立的, ∴12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+2 x2).
31/55
命题方向3 ⇨分析法证实不等式 例 3 (1)要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明 ( D ) A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4+2 b4≤0 C.(a+2 b)2-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
27/55
跟踪练习 2 已知函数 f(x)=tanx,x∈(0,π2),若 x1,x2∈(0,π2), 且 x1≠x2,求证:12[f(x1)+f(x2)]>f(x1+2 x2).
28/55
证明:要证21[f(x1)+f(x2)]>f(x1+2 x2), 即证21(tanx1+tanx2)>tanx1+2 x2, 只需证12(csoinsxx11+csoinsxx22)>tanx1+2 x2,
5/55
3.综正当基本思绪 用___P___表示已知条件、已经有定义、定理、公理等, ___Q___表示所要证实结论,则综正当推理形式为
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
其逻辑依据是三段论式演绎推理.
6/55
4.分析法定义 从要证实____结__论出发,逐步寻求使它成立_____充_条分件, 直至最终,把要证实结论归结为判定一个显著成立条 件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证实方法 叫做分析法.
P⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
9/55
预习自测
1.若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+
(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间 ( A )
A.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
18/55
规律总结 综合法证明不等式的主要依据 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和 已知的重要不等式,其中常用的有以下几个: ①a2≥0(a∈R);
19/55
②(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有 a2+b2≥2ab,(a+2 b)2≥ab, a2+b2≥ (a+2b)2; ③若 a,b∈(0,+∞),则a+2 b≥ ab,特别地,ba+ab≥2;
2.2.1 综正当和分析法
1/55
情景导入 夏天,在日本东京的新宿区的一幢公寓内,发生了一 宗凶杀案,时间是下午 4 时左右.警方经过三天的深入调 查后,终于拘捕到一个与案件有关的疑犯,但是他向警方 做不在现场证明时,说:“警察先生,事发当天,我一个 人在箱根游玩.
2/55
直至下午 4 时左右,我到芦之湖划船.当时适值雨后天晴, 我看到富士山旁西面的天空上,横挂着一条美丽的彩虹, 所以凶手是别人,不是我!”你知道疑犯的话露出了什么 破绽吗?警方是怎样证明他在说谎的呢?
13/55
=3+ba+ab+ac+ac+bc+bc≥3+2 ba·ab+2 当且仅当 a=b=c=31时等号成立. 【答案】 9
ac·ac+2
bc·bc=9,
14/55
4.设 a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 证明:因为 a≥b>0, 所以 a-b≥0,3a2-2b2>0, 所以 3a3+2b3-(3a2b+2ab2) =3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b)≥0, 即 3a3+2b3≥3a2b+2ab2.
21/55
跟踪练习 1
已知 a,b,c 为不全等的正实数.
求证:b+ac-a+c+ab-b+a+bc-c>3. 证明:∵b+ac-a+c+ab-b+a+bc -c
=ba+ab+bc+bc+ac+ac-3
又∵a,b,c 为不全等的正实数,
22/55
而ba+ab≥2,bc+bc≥2,ac+2, 且上述三式等号不能同时成立 ∴ba+ab+bc+bc+ac+ac-3>6-3=3, 即b+ac-a+c+ab-b+a+bc-c>3.
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
10/55
【解析】 因为 a<b<c, 所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0, f(c)=(c-a)(c-b)>0, 由零点存在性定理知,选 A.
11/55
2.若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则在 a+b,2 ab,a2+b2 和 2ab 中最大的是__a_+__b___. 【解析】 已知 a+b>2 ab,a2+b2>2ab, 又 a+b-(a2+b2)=a(1-a)+b(1-b)>0.
40/55
例 4 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1. 求证:logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc.
41/55
证明:要证明:
logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc,
只需要证明 logx(a+2 b·b+2 c·a+2 c)<logx(abc.)
也可用特值法取 a=12,b=18,则 a+b=58,2 ab=12, a2+b2=1674,2ab=18,显见 a+b 最大,故只能是填 a+b.
12/55
3.设 a>0,b>0,c>0,若 a+b+c=1,则1a+1b+1c的 最小值为______. 【解析】 ∵a>0,b>0,c>0,a+b+c=1, ∴1a+1b+1c=a+ab+c+a+bb+c+a+bc +c
25/55
规律总结 分析法证实不等式依据、方法与技巧. (1)解题依据:分析法证实不等式依据是不等式基本性质、 已知主要不等式和逻辑推理基本理论; (2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单不等式证实, 经惯用综正当.而对于一些条件简单、结论复杂不等式 证实,惯用分析法;
26/55
(3)思绪方法:分析法证实不等式思绪是从要证不等式出 发,逐步寻求使它成立充分条件,最终得到充分条件是 已知(或已证)不等式; (4)应用技巧:用分析法证实数学命题时,一定要恰当地 用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
20/55
④a2+b2+c2≥ab+bc+ac(a,b,c∈R),由不等式a2+ b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,易得a2+b2+c2≥ab+bc +ca,此结论是一个主要不等式,在不等式证实中使用频 率很高;
⑤(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac),表达了a+b+ c,a2+b2+c2与ab+bc+ac这三个式子之间关系.
7/55
5.分析法特点 分析法是综正当逆过程,即从“未知”看“____需__知”, 执果索因,逐步靠拢“_已__知___”,其逐步推理,实际上 是要寻找“结论”___充__分_条件.
分析法推理过程也属于演绎推理,每一步推理都是严密 逻辑推理.
8/55
6.分析法基本思绪
分析法基本思绪是“执果索因”,从待证结论或需求问 题出发,一步一步地探索下去,最终得到一个显著成立 条件.若用______表P 示要证实结论,则分析法推理形式 为
34/55
只需证:|a|2+|b|2-2|a|·|b|≥0 成立. 即只需证:(|a|-|b|)2≥0,它显然成立. 故原不等式得证.
35/55
规律总结 分析法证实不等式方法与技巧 范围:对于一些条件复杂,结论简单不等式证实,经 惯用综正当.而对于一些条件简单、结论复杂不等式 证实,惯用分析法. 方法:分析法证实不等式思绪是从要证实不等式出发, 逐步寻求它成立充分条件,最终得到充分条件是已知 (或已证)不等式.
相关文档
最新文档