导数中极值点偏移问题

极值点的“偏移”问题一、极值点“偏移”图示
(左右对称，无偏移，如二次函数；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0)
(左陡右缓，极值点向左偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＞2x0)
(左缓右陡，极值点向右偏移；若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＜2x0)
二、极值点偏移问题的结论不一定总是x1＋x2＞(＜)2x0，也可能是x1x2＞(＜)x20.
三、解题策略：对称化构造法；
双变元不等式问题解法一
【例1】已知函数f(x)＝x e－x 如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1＋x2＞2.1.设函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2有两个零点.
（1）求a的取值范围；
（2）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.
2.设函数 f(x)=ln x−ax(a>0),且实数m使得方程f(x)=m有两个不等实根x1,x2，其中x1<x2.求证：
（1）0<x1<1
a
<x2；
（2）x1+x2
2
>1
a
.
3.设函数f(x)=ln x
x
，且实数m使得方程f(x)=m有两个不等实根x1,x2，其中x1<x2.求证：
（1）0<x1<e<x2；
（2）x1+x2
2
>e；
（3）1
x1+1
x2
>2
ⅇ
.
4.已知函数f(x)＝e x－ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0. (1)求a的取值范围；(2)求证：x1＋x2＜2x0；
(3)求证：x1＋x2＞2；(4)求证：x1x2＜1.
5. 设函数f(x)=e x−ax，其中a>e，
（1）求证：函数f(x)有且仅有两个零点x1,x2，且0<x1<1<x2；（2）对于（1）中的x1,x2，求证：f′(x1)+f′(x2)>0.6.已知函数f(x)＝x ln x－x，两相异正实数x1，x2满足f(x1)＝f(x2).求证：x1＋x2＞2.
总结：用对称化构造的方法解决极值点偏移问题分为以下三步：
(1)求导，获得f(x)的单调性，极值情况，作出f(x)的图象，由f(x1)＝f(x2)得x1,x2的取值范围(数形结合)；
(2)构造辅助函数，对结论x1＋x2＞(＜)2x00，构造F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2＞(＜)x20，构造F(x)
＝f(x)－f⎝⎛⎭⎫
x20
x，求导，限定范围(x1或x2的范围)，判定符号，获得不等式；
(3)代入x1(或x2)，利用f(x1)＝f(x2)及f(x)的单调性证明最终结论.
双变元不等式问题解法二
【例2】(2020·重庆调研二)已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝
1
2mx2＋x.设F(x)＝f(x)－g(x)，已知F(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(其中e为自然对数的底数).
1.设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=ax2+(1−2a)x−ln x图像 C上不同两点，M为线段AB的中点,
过M作x轴的垂线交曲线C于N点.
试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？
2.设函数f(x)=x2−(a−2)x−a ln x，a>0.若方程f(x)=m有两个不等实根x1,x2，求证：
f′(x1+x2
2
)>0.
3.设函数f(x)=x ln x，且实数m使得方程f(x)=m有两个不等实根x1,x2，
求证：x1x2<1
ⅇ2
.
4.设函数f(x)=ln x
x
，且实数m使得方程f(x)=m有两个不等实根x1,x2，
求证：f′(x1)+f′(x2)>0. 5.设函数f(x)=e x−ax+a有两个零点x1,x2，求证：x1x2<x1+x2.
6. 已知函数f(x)＝ln x和g(x)＝ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足f(x1)＝g(x1)，f(x2)＝g(x2)，求证：x1x2＞e2.。