结构力学10第十章.矩阵位移法

2
6 EI F 2 l
1e 1 e M e 2 EI y 2
l
x
19
F EA / l 1
e x1
EI l
Fxe2 EA / l 2
y
e
x u 1
e 2
12 EI M e 6 EI 1 Fye1 3 l2 l l EI 1
2
e 2
12 EI F 3 l
F
e
M 1e e M 2

e
1e e 2
连续梁单元的杆端无线位移。
6
2）平面刚架单元
F
e x1
Fye 1
F
e y1
Fxe 1 1e M 1e M 1
x
e
2
v1e 1
1
u1e
v
e 1
x
e 2
y
y
单元杆端力
同理有
{}e [T ]{}e
[T ]称为单元坐标转换矩阵。14对于平面桁架单元，其单元坐标转换矩阵为：
cos sin [T ] 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos
单元局部坐标系
结构整体坐标系
8
3）桁架单元
F
e
Fxe 1 e Fy1 e Fx 2 F e y2

e
u1e e v1 e u2 v e 2
F
e
Fxe1 e Fy1 e Fx 2 F e y2
e e e e Fxe , Fye1 , u1 , v2 , Fxe2 , Fye2 , u2 , v2 1
以上力和线位移的符号中，下标1表示单元 的始端，下标2表示单元的末端。 以上力和线位移与相应的坐标轴正方向一致 为正，反之为负。
e e M1e，M 2，1e，2e，M1e，M 2，1e , 2e

e
u1e e v1 e u2 v e 2
单元局部坐标系
结构整体坐标系
在单元局部坐标系中， Fye1 0, Fye2 0 ；位移 v1e和v2e 对单元杆端力无贡献。
9
4）单元杆端力和杆端位移的正负号
Fxe , Fye1 , u1e , v1e , Fxe2 , Fye2 , u2e , v2e 1
元刚度矩阵 [k ] 。
e
16
下面讨论 [k ]e 和 [k ]e 之间的转换关系。 将①代入 {F}e [T ]T {F}e 得到：
{F} [T ] [k ] {}
e T e
e
③
因为 {}e [T ]{}e，于是得到：
{F} [T ] [k ] [T ]{}
e T e
e
④
坐标转换矩阵[T]是正交矩阵，即矩阵任意两 行或两列元素对应乘积之和等于零。 如果用局部坐标系中的单元杆端力来表示整 体坐标系中的杆端力，就可以得出：
{F}e [T ]T {F}e
同理
{} [T ] {}
e T
e
15
四、单元刚度矩阵
单元杆端力与单元杆端位移之间的转换关 系式称为单元刚度方程。
e y2
y
e y1
e
6 EI M 2 l
v 1
e 2
x
6 EI F 2 M e 2 EI 1 l l EI l 1
y
e
2e 1
e 2
6 EI F 2 l 2
e y2
x
4 EI M l
20
由上面的六个图就可以写出局部坐标系中 单元杆端力和杆端位移之间的刚度方程：
EA l Fxe1 0 e Fy1 e 0 M1 e Fx 2 EA F 2 l y2 M e 0 2 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI e u1 2 l e 2 EI v1 e l 1 u e 0 2 v2e 6 EI e 2 2 l 4 EI l
3
结点编号：1，2，3，……，n
m 单元编号：①，②，③，……，
1
2
① ②
3
③
4
2
①
② ③
5
3 4 5 2 ③ ④ ② ⑤ 6 1① ⑥7
4
3
⑤
④
7
⑥
1
6
曲杆可用多段折线单元代替。 进行结点编号时，要尽量使单元两端结点编号 的差值最小。
4
三、单元杆端力和杆端位移的坐标变换
1．坐标系
结构整体坐标系为xy，坐标轴x、y 遵循右手 法则，即从x轴正方向顺时针转90°得到y轴正 方向。 Fye e 1 e
Fxe1
Fxe 1
M
e 1
Fye 1
Fye1
1 M e
e 1
x
2
y
Fye 1
y
F sin
e x1
x

F
e x1
Fye sin 1
F cos
e y1
Fxe cos 1
12
写成矩阵形式
Fxe1 e cos Fy1 sin e M1 0 e Fx 2 0 F e 0 y2 M e 0 2 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 cos 0 0 0 0 sin cos 0 Fxe1 0 Fye1 0 0 M 1e e 0 Fx 2 0 F e y2 1 e M 2
2
二、结构离散化
用矩阵位移法求解，首先要将结构离散成单 元和结点的组合体系。具体做法就是对结构进 行结点编号和单元编号。 离散化的关键就是确定结构的全部结点。因 为单元的两端是结点，单元与单元之间、单元 与支座均通过结点相连。确定了单元的全部结 点，也就确定了单元的划分。 在杆系结构中，杆件的连结点，截面突变点 以及支座结点等均可取作结点。
⑤
比较式②、④，有：
[k ]e [T ]T [k ]e [T ]
下面讨论如何求局部坐标系中的单元刚度矩阵。
17
1．平面刚架单元 为了推导 [ k ]e 中各元素，采用单位位移法：
即在单元的六个杆端位移中，每次只令一个杆 端位移为1，其余杆端位移为0。为此，在单元 两端就必须施加一组杆端力，这一组杆端力就 构成了 [k ]e的一列元素。
平面刚架单 元的坐标系
Fx1
Fxe 1
M
e 1
Fy1
1 M e
e 1
x
2
y
y
x
5
单元局部坐标系为 x y ，单元始端指向末 端的方向就是 x 轴的正方向，由 x 轴正方 向顺时针转90。得到 y 轴的正方向，如上页 图示。 2. 单元杆端力和杆端位移 1）连续梁单元 1
M
e 1

e 1
e
e M2 e 2 2
1 EA 0 [k ] e l 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0
u1e 1 0 v e 0 0 1 u2e 1 0 e 0 0 v 2
1 0 0 0 1 0 0 0
第十章 矩阵位移法
§ 10-1 单元分析 § 10-2 连续梁整体分析 § 10-3 平面刚架整体分析
1
§10-1 单元分析
一、概述
有限单元法的特点：在传统结构力学中引 进有限单元的基本概念，数学推导采用矩阵 方法，实际计算采用电子计算机。有限元、 矩阵代数、计算机这三者的结合，使力学学 科发生了革命性的变化。 杆系结构的矩阵位移法是以杆件为单元， 以结构的结点位移作为基本未知量，导入矩 阵运算，用计算机求解的方法。
18
1
EA l
e 1
2
x
Fxe1 EA / l
y u 1
e
Fxe2 EA / l
12 EI M e 6 EI 1 F 3 l2 l 1 EI l
e y1
v 1
e 1
2
e 2
12 EI F 3 l
e y2
y
e y1
e
6 EI M 2 l
e y2
x
6 EI F 2 M 1e 4 EI l l EI l 1
{ 单元局部坐标系中， F} [k ] {} 。 ①
e e e
结构整体坐标系中， F}e [k ]e{}e 。 ② { 在上面两式中，[k ]e 和[k ]e分别称为局部坐 标系及整体坐标系中的单元刚度矩阵。 通常总是先求出局部坐标系中的单元刚度矩 阵 [k ]e，然后利用
[k ]e推得整体坐标系中的单
0 sin
即 {F } [T ]{F }
e
e
13
0 0 0 cos sin 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 [T ] 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 1 0
F
e
Fxe1 u1e e e Fy1 v1 e e M1 e 1 e e Fx 2 u 2 F e v e y2 2 M e 2e 2
以上力矩和转角均以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
10
3. 单元坐标转换矩阵 部坐标系 x 轴的正方向所形成的夹角。
α角：由整体坐标系的x轴顺时针转到局
Fye 1
F
M
e x1
Fxe 1
e 1
Fye1
1 M e
e 1
x
2
Fye e 1 Fy1 cos
Fye sin 1
y
y
Fxe sin 1
x
y
u
e 1
1e 1e
y
单元杆端位移
2
x
7
F
e
Fxe1 u1e e e Fy1 v1 E e M1 e e 1e Fx 2 u 2 F e v e y2 2 M e 2e 2
[k ] 中第2 列各元素是
e
v 1 而其余杆端位
e 1
移等于零时单元的六个杆端力的值。
[k ] 中第2行各元素是单元的六个杆端位移分
e
别等于1时杆端力 F e 的值。 y1
23
2．平面桁架单元
Fxe 1 1 e Fy1 EA 0 e l 1 Fx 2 F e 0 y2
x

Fxe 1
F cos
e x1
11
对于平面刚架单元，用整体坐标系中的杆端 力来表示单元局部坐标系中的杆端力，得到：
Fxe1 Fxe1 cos Fye1 sin e e e Fy1 Fx1 sin Fy1 cos e M 1 M 1e e Fx 2 Fxe2 cos Fye2 sin e Fy 2 Fxe2 sin Fye2 cos M E M e 2 2
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
6 EI 2 l 2 EI l 0 6 EI l2 4 EI l 0
上式就是平面刚架单元在局部坐标系中的单 元刚度矩阵。
22
单元刚度矩阵中元素的物理意义：
21
EA l 0 0 [k ] e EA l 0 0
0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
EA l 0 0 EA l 0 0