全国通用版中考数学复习第六单元圆第23讲与圆相关的位置关系练习

第23讲 与圆相关的位置关系

重难点 切线的性质与判定

(2018·郴州T23，8分)已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB ＝AD ，AE 是⊙O 的弦，∠AEC ＝30°.

(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；

(2)若AE ⊥BC ，垂足为M ，⊙O 的半径为4，求AE 的长．

【思路点拨】 (1)先求出∠ABC ＝30°，进而求出∠BAD ＝120°，再由OA ＝OB 即可求出∠OAB ＝30°，结论得证；(2)先求出∠AOC ＝60°，用三角函数求出AM ，再用垂径定理即可得出结论．

解：(1)∵∠AEC ＝30°， ∴∠ABC ＝30°. ∵AB ＝AD ，

∴∠D ＝∠ABC ＝30°.

根据三角形的内角和定理，得∠BAD ＝120°.2分 连接OA . ∵OA ＝OB .

∴∠OAB ＝∠ABC ＝30°.

∴∠OAD ＝∠BAD －∠OAB ＝90°. ∴OA ⊥AD .

∵点A 在⊙O 上，

∴直线AD 是⊙O 的切线.4分 (2)∵∠AEC ＝30°， ∴∠AOC ＝60°. ∵BC ⊥AE 于点M ，

∴AE ＝2AM ，∠OMA ＝90°.6分

在Rt△AOM 中，AM ＝OA ·sin∠AOM ＝4×sin60°＝2 3. ∴AE ＝2AM ＝4 3.8分

(2018·江西)如图，在△ABC 中，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径作圆，与BC 相切于点C ，过点A 作AD⊥BO 交BO 的延长线于点D ，且∠AOD＝∠BAD.

(1)求证：AB 为⊙O 的切线；

(2)若BC ＝6，tan ∠ABC＝4

3

，求AD 的长．

【思路点拨】 (1)作OE⊥AB，先由∠AOD＝∠BAD 求得∠ABD＝∠OAD，再由∠BCO＝∠D＝90°及∠BOC＝∠AOD 求得∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，最后证△BOC≌△BOE 得OE ＝OC ，依据切线的判定可得；(2)先求得∠EOA＝∠ABC，在

Rt △ABC 中求得AC ＝8，AB ＝10，由切线长定理知BE ＝BC ＝6，AE ＝4，OE ＝3，继而得BO ＝35，再证△ABD∽△OBC

得

OC AD ＝OB

AB

，据此可得答案．

【自主解答】 解：(1)证明：过点O 作OE⊥AB 于点E ， ∵AD⊥BO 于点D ， ∴∠D＝90°.

∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°. ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠OAD.

又∵BC 为⊙O 的切线， ∴AC⊥BC.

∴∠BCO＝∠D＝90°. ∵∠BOC＝∠AOD，

∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.

在△BOC 和△BOE 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OEB，BO ＝BO ，

∴△BOC≌△BOE(AAS )．

∴OE＝OC. ∵OE⊥AB，

∴AB 是⊙O 的切线．

(2)∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°， ∴∠EOA＝∠ABC. ∵tan ∠ABC＝4

3，BC ＝6，

∴AC＝BC·tan ∠ABC＝8. 则AB ＝BC 2

＋AC 2

＝10. 由(1)知，BE ＝BC ＝6， ∴AE＝4.

∵tan ∠EOA＝tan ∠ABC＝4

3，

∴OE AE ＝34

. ∴OE＝3，OB ＝BE 2

＋OE 2

＝3 5.

∵∠ABD＝∠OBC，∠D＝∠ACB＝90°， ∴△ABD∽△OBC. ∴

OC AD ＝OB AB ，即3AD ＝3510

. ∴AD＝2 5.

方法指导证明圆的切线时，可以分以下两种情况：

(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，

可简述为：“连半径，证垂直，得切线”．“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角(如例1(1))；

(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线”．证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角两边的距离相等(如例2(1))．

考点1 点与圆的位置关系

1．已知点A 在直径为8 cm 的⊙O 内，则OA 的长可能是(D )

A ．8 cm

B ．6 cm

C ．4 cm

D ．2 cm

2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝4，以C 点为圆心，2为半径作⊙C，则AB 的中点O 与⊙C 的位置关系是(B )

A ．点O 在⊙C 外

B ．点O 在⊙

C 上 C ．点O 在⊙C 内

D ．不能确定

考点2 直线与圆的位置关系

3．在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心、3为半径的圆，一定(C )

A ．与x 轴相切，与y 轴相切

B ．与x 轴相切，与y 轴相交

C ．与x 轴相交，与y 轴相切

D ．与x 轴相交，与y 轴相交

4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是相离．

考点3 切线的性质与判定

5．(2018·福建)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D.若∠ACB＝50°，则∠BOD 等于(D )

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．80°

6．(2017·日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P＝30°，则AC 的长度是(A )

A ．5 3

B ．5 2

C ．5

D .52