2010AMC10B答案及部分问题参考解答
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2010 AMC 10 B 答案
1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. E 9. D 10.C 11.A 12.D 13.C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.E 19.B 20.D 21.E 22.C 23.D 24.E 25.B
18. 译题: 正整数 a, b 和 c 是从集合{1,2,3,…,2010}中独立且可重复的随机选取，则
8=a32 或 a23. 由对称性，先考 2=a12，当 2=a21 时，排法数与之相等.
当 a12=2, 取 8=a32 时[如图一(1)], 3= a21 或 a13. 7= a23 或 a31. 当 a21=3 时，取 a23=7 [如图一(2)], 则 4,5,6 可排在余下三格中任意一格.共 A33=6 种;
25. 译题: 令 a>0, 且 P(x)为整系数多项式,且满足 P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a, P(2)=P(4)=P(6)=P(8)= -a. 求 a 的最小值.
()
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(A) 105
(B) 315
(C) 945
(D) 7!
(E) 8!
[分析]: 由题意知：1,3,5,7 为多项式 P(x)-a 的根，∴P(x)-a=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)Q(x)
其中 Q(x)为整系数多项式, 上式中分别令 x=2,4,6,8 , 可得：
-2a= -15Q(2)=9Q(4)= -15Q(6)=105Q(8) ∴ a 为 15,9,105 的最小公倍数 315 的倍数
∴ 其能被 7 整除的概率为:
2
=
1 .
故选(E)
10 5
22. 译题: 七块不同的糖分装入三个袋中，红色袋和蓝色袋每个至少装一块糖，而白色袋允
许空着。共有多少种不同的可能安排？
()
(A) 1930
(B) 1931
(C) 1932
(D) 1933
(E) 1934
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当 a12=2, 取 8=a23 时[如图一(2)], 3= a21 或 a13. 7= a23 或 a31.
当 a13=3 时, 取 a32=7 [如图二(2)], 则同法 4,5,6 有 2 种排法[如图二(3)二(4)]; 当 a21=3 时, 取 a32=7 [如图二(5)], 则同法 4,5,6 有 A33=6 种排法;
令 a=315A, 则 Q(2)=Q(6)=42A, ∴Q(x)-42A=(x-2)(x-6)R(x), R(x)为整系数多项式.
而 Q(4)= -70A，且 Q(8)= -6A，∴-112A= -4R(4), 且-48A= 12R(8)
即 28A= R(4), 且-4A= R(8) ∴R(x)=28A+(x-4)[-6A+(x-8)T(x)], T(x)为整系数多项式.
被 7 整除的概率为多少?
()
ห้องสมุดไป่ตู้
1 (A)
10
1 (B)
9
1 (C)
7
1 (D)
6
1 (E)
5
[分析]: 设回文数字为 abba ，其中 a=1,2,…,9, b=0, 1,2,…,9,
另一方面：abba=1001a+110b=7(143a+15b)+5b ∴ 该数能被 7 整除的充要条件为 7|b, 即 b=0 或 7.
取 a31=7 时, 若 4=a22[如图一(3)], 则 5,6 只可以有 1 种方法；
若 4=a31, 则 5,6 也只可以有 1 种方法；
当 a13=3, 取 a23=7 时[如图一(5)], 同法 4,5,6 有 2 种排法;
取 a31=7 时[如图一(6)], 4,5,6 只有 1 种排法;
则 b(c+1) =3k-1 即 b(c+1)≡2(mod3) ∴ b≡2(mod3)且 (c+1)≡1(mod3) 或 b≡1(mod3)且(c+1)≡2(mod3)
故其概率为： 1 + 2 ( 1 × 1 + 1 × 1 )= 13 选(E) 3 3 3 3 3 3 27
21. 译题: 随机从 1000 至 10000 之间选取一个回文数字(从左至右和从右至左数字一样),其能
而对任意整系数多项式 T(x)和整数 A, 多项式 P(x)均满足题意.
故最小情形为 A=1, a=315 . 故选(B)
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abc+ab+a 可以被 3 整除的概率为多少？
()
1 (A)
3
29 (B)
81
31 (C)
81
11 (D)
27
13 (E)
27
[分析]: 设 A=abc+ab+a=a(bc+b+1). 若 3|a, 则 3|A, 此种情况概率为 1 ； 3
当 a 不为 3 的倍数(概率为 2 )，3| bc+b+1. 设 bc+b+1= b(c+1)+1=3k 3
(1) 取 A=1, 则 a=1, R-1=15-1=14, 但 d 无解；
取 A=3, 则 a=3, R-1=45-1=44, 但 d 无解；
取 A=5, 则 a=5, R-1=75-1=74, d=9；有(A, R-1, a, d)=(5,74, 5, 9);
同法: 对应(m, n)= (3,1), 又 An3=a, 有(A, R-1, a, d)= (1,39, , 1),无解；
12
3
7
89 图一(2) 1 23
8
79
图二(2)
12
34 78 9 图一(3) 1 23
48 79 图二(3)
1 24
3 789
图一(4) 1 23
4
8
79 图二(4)
123
7 89 图一(5) 12
3
8
79
图二(5)
123
789 图一(6)
1 27
3
8
9
图二(6)
24．译题: 一场在两中学 Raiders 和 Wildcats 之间举行的篮球比赛第一节打平，Raiders 四节 得分依次为递增等比数列，Wildcats 四节得分依次为递增等差数列，且比赛结束
时 Raiders 赢得 1 分.两队总得分都不超过 100 分.两队半场比赛总得分是多少?( )
(A) 30
(B) 31
(C) 32
(D) 33
(E) 34
[分析]: 设 Raiders 四节得分依次为 a, ar, ar2, ar3 (r>1) , Wildcats 四节得分依次为 a,a+d, a+2d,a+3d(d>0), 则 4a+6d+1= a+ar+ar2+ar3. 显然 1<r, 可设 r= m (m,n 互素) n
∵ar3 为整数，故 n3|a, 设 a=An3 ∴ a+ar+ar2+ar3= A(n3+mn2+m2n+m3)=R，A≥1.
且 R-1=4a+6d<100. 可枚举知满足条件的数对(m, n)=(2,1),(3,1), (3,2), (4,1),
对应(m, n)=(2,1) , 又 An3=a,
23. 译题: 往一个 3×3 的九宫格中填入 1 至 9 所有的数字,使得每行(由左至右)每列(由上
至下)的数字递增排列.这样的排列共有多少种排法?
()
(A) 18
(B) 24
(C) 36 (D) 42
(E) 60
[分析]: 设第 i 行第 j 列所填数字为 aij, 由规则易知, a11=1, a33=9, 而且 2=a12 或 a21，
[分析]: (排除法)七块不同的糖任意装入三个不同袋中，有 37=2187 种不同方法， 其中不符合要求的有如下两种情形： (1) 七块糖装在一个袋中有 3 种; (2) 红色(或蓝色)袋空, 而七块糖分装入蓝色(或红色)和白色袋中, 有 2(27-2)=252 种 综上共有: 37-3-2(27-2)=1932 种. 故选(D)
对应(m, n)= (3,2), 又 An3=a, 有(A, R-1, a, d)无解；
对应(m, n)= (4,1), 又 An3=a, 有(A, R-1, a, d)=(1,84, 1, 无解；
综上得: 两队全场四节得分分别为: 5,14,23,32; 5,10,20,40 ;
两队半场比赛总得分是:5+14+5+10=34 故选(E)
取 a13=7 [如图二(6)], 则同法 4,5,6 有 2 种排法;
综上得所有排法共:2×[(2+6)+(1+2)+(2+6+2)]=42 种. 故选(D)
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12
89 图一(1) 12
8 9 图二(1)
1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. E 9. D 10.C 11.A 12.D 13.C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.E 19.B 20.D 21.E 22.C 23.D 24.E 25.B
18. 译题: 正整数 a, b 和 c 是从集合{1,2,3,…,2010}中独立且可重复的随机选取，则
8=a32 或 a23. 由对称性，先考 2=a12，当 2=a21 时，排法数与之相等.
当 a12=2, 取 8=a32 时[如图一(1)], 3= a21 或 a13. 7= a23 或 a31. 当 a21=3 时，取 a23=7 [如图一(2)], 则 4,5,6 可排在余下三格中任意一格.共 A33=6 种;
25. 译题: 令 a>0, 且 P(x)为整系数多项式,且满足 P(1)=P(3)=P(5)=P(7)=a, P(2)=P(4)=P(6)=P(8)= -a. 求 a 的最小值.
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(A) 105
(B) 315
(C) 945
(D) 7!
(E) 8!
[分析]: 由题意知：1,3,5,7 为多项式 P(x)-a 的根，∴P(x)-a=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)Q(x)
其中 Q(x)为整系数多项式, 上式中分别令 x=2,4,6,8 , 可得：
-2a= -15Q(2)=9Q(4)= -15Q(6)=105Q(8) ∴ a 为 15,9,105 的最小公倍数 315 的倍数
∴ 其能被 7 整除的概率为:
2
=
1 .
故选(E)
10 5
22. 译题: 七块不同的糖分装入三个袋中，红色袋和蓝色袋每个至少装一块糖，而白色袋允
许空着。共有多少种不同的可能安排？
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(A) 1930
(B) 1931
(C) 1932
(D) 1933
(E) 1934
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当 a12=2, 取 8=a23 时[如图一(2)], 3= a21 或 a13. 7= a23 或 a31.
当 a13=3 时, 取 a32=7 [如图二(2)], 则同法 4,5,6 有 2 种排法[如图二(3)二(4)]; 当 a21=3 时, 取 a32=7 [如图二(5)], 则同法 4,5,6 有 A33=6 种排法;
令 a=315A, 则 Q(2)=Q(6)=42A, ∴Q(x)-42A=(x-2)(x-6)R(x), R(x)为整系数多项式.
而 Q(4)= -70A，且 Q(8)= -6A，∴-112A= -4R(4), 且-48A= 12R(8)
即 28A= R(4), 且-4A= R(8) ∴R(x)=28A+(x-4)[-6A+(x-8)T(x)], T(x)为整系数多项式.
被 7 整除的概率为多少?
()
ห้องสมุดไป่ตู้
1 (A)
10
1 (B)
9
1 (C)
7
1 (D)
6
1 (E)
5
[分析]: 设回文数字为 abba ，其中 a=1,2,…,9, b=0, 1,2,…,9,
另一方面：abba=1001a+110b=7(143a+15b)+5b ∴ 该数能被 7 整除的充要条件为 7|b, 即 b=0 或 7.
取 a31=7 时, 若 4=a22[如图一(3)], 则 5,6 只可以有 1 种方法；
若 4=a31, 则 5,6 也只可以有 1 种方法；
当 a13=3, 取 a23=7 时[如图一(5)], 同法 4,5,6 有 2 种排法;
取 a31=7 时[如图一(6)], 4,5,6 只有 1 种排法;
则 b(c+1) =3k-1 即 b(c+1)≡2(mod3) ∴ b≡2(mod3)且 (c+1)≡1(mod3) 或 b≡1(mod3)且(c+1)≡2(mod3)
故其概率为： 1 + 2 ( 1 × 1 + 1 × 1 )= 13 选(E) 3 3 3 3 3 3 27
21. 译题: 随机从 1000 至 10000 之间选取一个回文数字(从左至右和从右至左数字一样),其能
而对任意整系数多项式 T(x)和整数 A, 多项式 P(x)均满足题意.
故最小情形为 A=1, a=315 . 故选(B)
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abc+ab+a 可以被 3 整除的概率为多少？
()
1 (A)
3
29 (B)
81
31 (C)
81
11 (D)
27
13 (E)
27
[分析]: 设 A=abc+ab+a=a(bc+b+1). 若 3|a, 则 3|A, 此种情况概率为 1 ； 3
当 a 不为 3 的倍数(概率为 2 )，3| bc+b+1. 设 bc+b+1= b(c+1)+1=3k 3
(1) 取 A=1, 则 a=1, R-1=15-1=14, 但 d 无解；
取 A=3, 则 a=3, R-1=45-1=44, 但 d 无解；
取 A=5, 则 a=5, R-1=75-1=74, d=9；有(A, R-1, a, d)=(5,74, 5, 9);
同法: 对应(m, n)= (3,1), 又 An3=a, 有(A, R-1, a, d)= (1,39, , 1),无解；
12
3
7
89 图一(2) 1 23
8
79
图二(2)
12
34 78 9 图一(3) 1 23
48 79 图二(3)
1 24
3 789
图一(4) 1 23
4
8
79 图二(4)
123
7 89 图一(5) 12
3
8
79
图二(5)
123
789 图一(6)
1 27
3
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9
图二(6)
24．译题: 一场在两中学 Raiders 和 Wildcats 之间举行的篮球比赛第一节打平，Raiders 四节 得分依次为递增等比数列，Wildcats 四节得分依次为递增等差数列，且比赛结束
时 Raiders 赢得 1 分.两队总得分都不超过 100 分.两队半场比赛总得分是多少?( )
(A) 30
(B) 31
(C) 32
(D) 33
(E) 34
[分析]: 设 Raiders 四节得分依次为 a, ar, ar2, ar3 (r>1) , Wildcats 四节得分依次为 a,a+d, a+2d,a+3d(d>0), 则 4a+6d+1= a+ar+ar2+ar3. 显然 1<r, 可设 r= m (m,n 互素) n
∵ar3 为整数，故 n3|a, 设 a=An3 ∴ a+ar+ar2+ar3= A(n3+mn2+m2n+m3)=R，A≥1.
且 R-1=4a+6d<100. 可枚举知满足条件的数对(m, n)=(2,1),(3,1), (3,2), (4,1),
对应(m, n)=(2,1) , 又 An3=a,
23. 译题: 往一个 3×3 的九宫格中填入 1 至 9 所有的数字,使得每行(由左至右)每列(由上
至下)的数字递增排列.这样的排列共有多少种排法?
()
(A) 18
(B) 24
(C) 36 (D) 42
(E) 60
[分析]: 设第 i 行第 j 列所填数字为 aij, 由规则易知, a11=1, a33=9, 而且 2=a12 或 a21，
[分析]: (排除法)七块不同的糖任意装入三个不同袋中，有 37=2187 种不同方法， 其中不符合要求的有如下两种情形： (1) 七块糖装在一个袋中有 3 种; (2) 红色(或蓝色)袋空, 而七块糖分装入蓝色(或红色)和白色袋中, 有 2(27-2)=252 种 综上共有: 37-3-2(27-2)=1932 种. 故选(D)
对应(m, n)= (3,2), 又 An3=a, 有(A, R-1, a, d)无解；
对应(m, n)= (4,1), 又 An3=a, 有(A, R-1, a, d)=(1,84, 1, 无解；
综上得: 两队全场四节得分分别为: 5,14,23,32; 5,10,20,40 ;
两队半场比赛总得分是:5+14+5+10=34 故选(E)
取 a13=7 [如图二(6)], 则同法 4,5,6 有 2 种排法;
综上得所有排法共:2×[(2+6)+(1+2)+(2+6+2)]=42 种. 故选(D)
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12
89 图一(1) 12
8 9 图二(1)