2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)及详细解答

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2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)
一、填空题:(每题7分,共70分)
1、方程6×(5a 2+b 2)=5c 2满足c ≤20的正整数解(a , b , c )的个数是__________个.
2、过定点P (2, 1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ,使△AOB (O 为原点)的面积最小, 则l 的方程为_________________
3、若方程cos 2x +3sin 2x =a +1在[0, π2
]上有两个不同的实数解x ,则参数a 的取值范围是___________ 4、数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, …的第2011项是__________
5、在1, 2, 3, 4, 5的排列a 1, a 2, a 3, a 4, a 5中,满足条件a 1<a 2, a 2>a 3, a 3<a 4, a 4>a 5的排列的个数是________
6、[x ]表示不大于x 的最大整数,则方程 12
·[x 2+x ]=19x +99的实数解x 是 . 7、设a 1=1,a n +1=2a n +n 2,则通项公式a n = .
8、在△ABC 中,∠A =π3,sinB =513
,则cosC = . 9、数(5+24)2012(n ∈N *)的个位数字是 .
10、数799被2550除所得的余数是 .
二、解答题:(20分+30分+30分,共80分)
11.(20分) 已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(→AB )2=→AB ·→AC +→BA ·→BC +→CA ·→CB .
(Ⅰ)判断△ABC 的形状,并求sinA +sinB 的取值范围;
(Ⅱ)若不等式a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )≥kabc ,对任意的满足题意的a ,b ,c 都成立,
求k 的取值范围.
12、(30分) △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 三边于D 、E 、 F ,M
求证:DM 平分∠BMC
13、(30分) 给定无理数a 、b ,证明:满足方程 |x +ay +13|+|ax -y +a 3
|=b 的整数x, y 至多只有一组。

2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1) 答案 1、4;2、x +2y −4=0;3、[0, 1);4、63;5、16;6、-18138或158738;7、7·2n −1−n 2−2n −3;8、53−1226; 9、1;10、343;
11、解(Ⅰ)∵(→AB )2=→AB ·→AC +→BA ·→BC +→CA ·→CB ,∴ (→AB )2=→AB ·(→AC +→CB )+→CA ·→CB ,
即(→AB )2=→AB ·→AB +→CA ·→CB ,即→CA ·→CB =0.∴△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形.
∴sinA +sinB =sinA +cosA =2sin (A +π4),A ∈(0,π2
) ,∴sinA +sinB 的取值范围为(1, 2]. (Ⅱ)在直角△ABC 中, a =csinA ,b =ccosA .若a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )≥kabc ,对任意的满足
题意的a 、b 、c 都成立,则有a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b ) abc
≥k ,对任意的满足题意的a 、b 、c 都成立, ∵ a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b ) abc =1c 3sin A cos A
[c 2sin 2A (ccosA +c )+c 2cos 2A (csinA +c )+c 2(csinA +ccosA )] =1 sin A cos A [ sin 2AcosA +cos 2A sinA +1+cosA +sinA ]=cosA +sinA +1+cos A +sin A sin A cos A
令t =sinA +cosA ,t ∈(1, 2],设f (t )=a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b ) abc =t +1+t t 2-12
=t +2t -1=t -1+2t -1
+1. f (t )=t -1+2t -1
+1,当t -1∈(0, 2−1]时 f (t )为单调递减函数,∴最小值为2+32,即k ≤2+32. ∴k 的取值范围为(-∞,2+
12、证:设N ,K 分别是DF 、DE 的中点, 则Rt ⊿BFN ∽Rt ⊿DEM ,12DF BF FN DE ME ME == Rt ⊿CEK ∽Rt ⊿DFM ,12DE CE EK DF FM FM == ∴BF ·ME =12DF ·DE =CE ·FM ∴BF CE FM EM
=, 而∠BFM =∠CEM , ∴⊿BFM ∽⊿CEM ,于是∠BFM =∠CME
13、证明:如果b <0,显然方程无整数解,只需考虑b >0情况。

反证法,设有两组整数x ,y 与x 1,y 1都满足方程,
则13x ay +++3a ax y -+=1113x ay +++113
a ax y -+去掉绝对值并将各项的符号“+1”或“-1”
分别用m ,n ,m 1,n 1表示,则上式化为:13m x ay ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+3a n ax y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=113m x ay ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+13a n ax y ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭ 即:()()11111111111133mx m x ny n y m m n x nx m y my n n a ⎡⎤--++-=-+-+-⎢⎥⎣⎦
此式左端为有理式,右端为无理式,故应分别为0,因此有
()1111113
mx m x ny n y m m --+=- …① ()1111113n x nx m y my n n -+-=- …② 由于m 1−m 以及n −n 1只能取2,−2,0,故必须都为0,否则将导致左端为整数,右端为既约真分数,矛盾。

∴m 1=m ,n =n 1 ①、②化为:11()()0m x x n y y ---= ③ 11()()0n x x m y y -+-= ④ 将③式乘以m ,④式乘以n ,然后相加得221()()0m n x x +-= 即12()0x x -= ∴1x x = 据此又得y =y 1, 这与假设x , y 与x 1,y 1是两组不同整数矛盾。

从而结论成立。

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