2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)及详细解答

2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1)
一、填空题：(每题7分，共70分)
1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a , b , c )的个数是__________个.
2、过定点P (2, 1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小， 则l 的方程为_________________
3、若方程cos 2x ＋3sin 2x ＝a ＋1在[0, π2
]上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是___________ 4、数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, …的第2011项是__________
5、在1, 2, 3, 4, 5的排列a 1, a 2, a 3, a 4, a 5中，满足条件a 1<a 2, a 2>a 3, a 3<a 4, a 4>a 5的排列的个数是________
6、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程 12
·[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ． 7、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．
8、在△ABC 中，∠A ＝π3，sinB ＝513
，则cosC ＝ ． 9、数(5＋24)2012（n ∈N *）的个位数字是 ．
10、数799被2550除所得的余数是 ．
二、解答题：(20分＋30分＋30分，共80分)
11．(20分) 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→CB ．
（Ⅰ）判断△ABC 的形状，并求sinA ＋sinB 的取值范围；
（Ⅱ）若不等式a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )≥kabc ，对任意的满足题意的a ，b ，c 都成立，
求k 的取值范围．
12、(30分) △ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 三边于D 、E 、 F ，M
求证：DM 平分∠BMC
13、(30分) 给定无理数a 、b ，证明：满足方程 |x ＋ay ＋13|＋|ax －y ＋a 3
|＝b 的整数x, y 至多只有一组。

2011年全国高中数学联赛一试模拟试题(1) 答案 1、4；2、x +2y −4=0；3、[0, 1)；4、63；5、16；6、－18138或158738；7、7·2n −1−n 2−2n −3；8、53−1226； 9、1；10、343；
11、解（Ⅰ）∵(→AB )2＝→AB ·→AC ＋→BA ·→BC ＋→CA ·→CB ，∴ (→AB )2＝→AB ·(→AC ＋→CB )＋→CA ·→CB ，
即(→AB )2＝→AB ·→AB ＋→CA ·→CB ，即→CA ·→CB ＝0．∴△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．
∴sinA ＋sinB ＝sinA ＋cosA ＝2sin (A ＋π4)，A ∈(0，π2
) ，∴sinA ＋sinB 的取值范围为(1, 2]． （Ⅱ）在直角△ABC 中， a ＝csinA ，b ＝ccosA ．若a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )≥kabc ，对任意的满足
题意的a 、b 、c 都成立，则有a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc
≥k ，对任意的满足题意的a 、b 、c 都成立， ∵ a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc ＝1c 3sin A cos A
[c 2sin 2A (ccosA ＋c )＋c 2cos 2A (csinA ＋c )＋c 2(csinA ＋ccosA )] ＝1 sin A cos A [ sin 2AcosA ＋cos 2A sinA ＋1＋cosA ＋sinA ]＝cosA ＋sinA ＋1＋cos A ＋sin A sin A cos A
令t ＝sinA ＋cosA ，t ∈(1, 2]，设f (t )＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b ) abc ＝t ＋1＋t t 2－12
＝t ＋2t －1＝t －1＋2t －1
＋1． f (t )＝t －1＋2t －1
＋1，当t －1∈(0, 2−1]时 f (t )为单调递减函数，∴最小值为2＋32，即k ≤2＋32． ∴k 的取值范围为（－∞，2＋
12、证：设N ，K 分别是DF 、DE 的中点， 则Rt ⊿BFN ∽Rt ⊿DEM ，12DF BF FN DE ME ME == Rt ⊿CEK ∽Rt ⊿DFM ，12DE CE EK DF FM FM == ∴BF ·ME =12DF ·DE =CE ·FM ∴BF CE FM EM
=， 而∠BFM =∠CEM , ∴⊿BFM ∽⊿CEM ，于是∠BFM =∠CME
13、证明：如果b <0，显然方程无整数解，只需考虑b >0情况。

反证法，设有两组整数x ,y 与x 1，y 1都满足方程，
则13x ay +++3a ax y -+=1113x ay +++113
a ax y -+去掉绝对值并将各项的符号“+1”或“－1”
分别用m ，n ，m 1，n 1表示，则上式化为：13m x ay ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+3a n ax y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=113m x ay ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+13a n ax y ⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭ 即：()()11111111111133mx m x ny n y m m n x nx m y my n n a ⎡⎤--++-=-+-+-⎢⎥⎣⎦
此式左端为有理式，右端为无理式，故应分别为0，因此有
()1111113
mx m x ny n y m m --+=- …① ()1111113n x nx m y my n n -+-=- …② 由于m 1−m 以及n −n 1只能取2，−2，0，故必须都为0，否则将导致左端为整数，右端为既约真分数，矛盾。

∴m 1=m ，n =n 1 ①、②化为：11()()0m x x n y y ---= ③ 11()()0n x x m y y -+-= ④ 将③式乘以m ，④式乘以n ，然后相加得221()()0m n x x +-= 即12()0x x -= ∴1x x = 据此又得y =y 1, 这与假设x , y 与x 1，y 1是两组不同整数矛盾。

从而结论成立。