第三章第二讲 找规律

10．一组按规律排列的数：2，0，4，0，6，0，…，其中第7个数是 ，第n 个数是 （n 为正整数）． 1、有一列数1234
,,,,n a a a a a 其中：1a =6×2+1，2a =6×3+2，3a =6×4+3，4a =6×5+4；…则第n 个数
n a = ，当n a =2001时，n = 。

7、观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … 11×13=143，而143=122-1 … … 将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

1、 观察算式：
(13)2(15)3(17)4(19)5
13,135,1357,13579,,2222
+⨯+⨯+⨯+⨯+=
++=+++=++++=按规
律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+(21)n -= ？ 4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。

A.333 B.334 C.335 D.336 6、读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
100
1
n n =∑，这里“∑”是求和符号，例如
“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为
50
1
(21);n n =-∑又如
“3333333333
12345678910+++++++++”可表示为10
3
1
n n
=∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下
列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ； （2）计算：
5
2
1
(1)n n
=-∑= （填写最后的计算结果）。

8、已知()()1216
1
3212
2
22++=
++++n n n n ，计算：112+122+132+…+192= ； 7、通过计算探索规律： 1、找规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25 22(12)14(11)+-=+； 252=625可写成100×2×（2+1）+25 22(22)24(21)+-=+ 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 22(32)34(31)+-=+ 452=2025可写成100×4×（4+1）+25 22(42)44(41)+-=+
752=5625可写成 第n 个式子呢？
………
归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952=
第28题.：老师在黑板上写出三个算式：225382-=⨯，229784-=⨯，22153827-=⨯， 王华接着又写了两个具有同样规律的算式：22115812-=⨯，22157822-=⨯，…… （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性． 答案：解：（1）写出两个正确的算式．
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
（3）证明：设m n ，为整数，两个奇数可表示为21m +和21n +， 则22(21)(21)4()(1)m n m n m n +-+=-++．
当m n ，同是奇数或偶数时，m n -一定为偶数，所以4()m n -一定是8的倍数． 当m n ，一奇一偶时，则1m n ++一定为偶数，所以4(1)m n ++一定是8的倍数． 所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．
13．（第二十届(2009年) 希望杯初一第2试第13题） 十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：
)
2(01234)10(100112121202021121619=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++=，
即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是 ． 4、已知111
1n n
a a +=
+(1,2,3,
,2006)n =求当11a =时，122320062007?a a a a a a +++=
7. 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
当输入数据是时，则输出的数据是 ；当输入数据是n 时，则输出的数据是
2、将正偶数按下表排成5列
根据上面的规律，则2006应在 行 列。

例8．将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7
第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在( D )
A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列
19．杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，他在所著的数学专著中介绍了用数字排成的“三角形”，在我国叫“杨辉三角”．请你仔细观察图中数字排列的规律，两个“？”处的数字分别为（ ）
A ． 15，15
B ． 12，12
C ． 10，10
D ． 8，8
3.小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：
由上，我们可知第100行的最后一个数是（ ）．A ．10000 B ．10020 C ．10120 D ．10200
15. (2008年湖州市)将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第 行第 列．
8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n 3的公式，并算出13+23+33+…+1003的值。

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数
时，结果为k n 2（其中k 是使k
n
2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：
26
13
44
11 第一次
F ② 第二次
F ① 第三次
F ② …
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．
分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n
为偶数时，结果为k
n
2
（其中k是使k
n
2为奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。

449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169，
169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1，
1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1，
我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。

再看运算的次数是449，奇数次。

因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1，所以，结果是8。

20．根据下表的规律，空格中应依次填写的数字是（）
A．100，001 B．011，001 C．100，011 D．011，100
18.（第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试第18题）从长度为1的线段开始，第一次操作将其三等分，并去掉中间的一段；第二次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段．此后每次操作都按这个规则进行．图6是最初几次操作的示意图，当完成第六次操作时，余下的所有线段的长度之和为
22．观察139713…，268426…等数字，它们都是由如下方式得到的：将第1位数字乘以3，若积为一位数，则将其写在第2位上；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位上，对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．若第1位数字是3，仍按上述操作得到一个多位数，则这个多位数第2012位数字是（）
A．3B．9C．7D．1
第5题：观察由等腰梯形组成的下图和所给表中数据的规律后回答问题：
当等腰梯形个数为2006时，图形的周长为（）
Ａ．2007Ｂ．8026Ｃ．6017Ｄ．6020
23. 如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想：①当黑色瓷砖为20块时，
白色瓷砖有____块；②当白色瓷砖为n2（n为正整数）块时，黑色瓷砖有____块．
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1 1
1
梯形个数 1 2 3 4 5
图形周长 5 8 11 14 17
答案：Ｄ
第15题：如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面．．．
涂色的小立方体共有 ．
答案：84n -或
4(21)n -
39.如图，依次连结第一个．．．正方形各边的中点得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点得到第三个正方形，按此方法继续下去．若第一个．．．正方形边长为１，则第．n 个．正方形的面积是________．
答案：1
12n -⎛⎫ ⎪
⎝⎭
1.【福建龙岩05】下列是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形．
仔细观察图形可知：
图①有1块黑色的瓷砖，可表示为
；
2
1
)11(1⨯+=
图②有3块黑色的瓷砖，可表示为；
2
2
)21(21⨯+=
+ 图③有6块黑色的瓷砖，可表示为；
2
3
)31(321⨯+=
++ 实践与探索：⑴请在图④的虚线框内画出第4个图形；（只须画出草图） ⑵第10个图形有 块黑色的瓷砖；（直接填写结果） ⑶第n 个图形有 块黑色的瓷砖．（用含n 的代数式表示）
解：⑴如右图；⑵55，1
2
n （n ＋1）（n 为正整数）；
10.(2010江西)如图所示，是一列用若干根火柴棒摆成的由正方形组成的图案．
…
图① 图② 图③ 图④
第1个 第2个 第3个
（1）完成下表的填空：
（2）某同学用若干根火柴棒按如上图列的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完第n 个图案时剩下了20根火柴棒，要刚好摆完第n ＋1个图案还差2根.问最后摆的图案是第几个图案？
25.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个
例2
方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？
⑸若原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ； ⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系．
解：⑴100×3＋1＝301，规律是：本次剪完后得到的小正方形的个数比上次剪完后得到的小正方形的个数多3个；
⑵A n ＝3n ＋1；
⑶若A n ＝22，则3n ＋1＝22，∴n ＝7，故需剪7次； ⑷若A n ＝2004，则3n ＋1＝2004，此方程无自然数解，
∴不能将原正方形剪成2004个小正方形；
⑸a n ＝12
n ；
⑹a 1＝12＜1，a 1＋a 2＝12＋14＝34＜1，a 1＋a 2＋a 3＝12＋14＋18＝7
8＜1，……从而猜想到：
a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＜1.直观的几何意义如图所示。

22. 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第5个图形中共有 个正六边形．
①
•••
②
③
1
a 1 a 2 a 3
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
1． 【大连课改05】在数学活动中，小明为了求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示）
，设计如图1所示的几何图形。

⑴请你利用这个几何图形， 求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值为 ； ⑵请你利用图
2，再设计一个能求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值的几何图形。

解：（1）1
12
n -；
（2）如图1或如图2或如图3或如图4等，图形正确。

1.已知，如图1在三角形ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC =90°+
21∠A =2
1
×180°+ 2
1
∠A , 如图2在三角形ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等角线分别对应交于点O 1 O 2，则∠BO 1C =32×180°+ 31∠A 、∠BO 2C =31×180°+ 3
2
∠A ，根据以上阅读理解，你能猜想（n 等分时，
内部有n －1个点）（用n 的代数式表示）∠BOn －1C = （ ）
2． 【归纳猜想】观察下列图形，如图所示，若第1个图形中的空白面积为1，第2个图形中非阴影部分
的面积为34，第3个图形中非阴影部分的面积为916，第4个图形中非阴影部分的面积为27
64，……探究：
第n 个图形中非阴影部分的面积为多少（用字母n 表示）？
解：当n ＝1时，S ＝1；当n ＝2时，S ＝34＝（34
）2－
1；
12
12
12
12
2
122
122122
123
12
312
312
3
1
24
124
12⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅图1 图2
1
2
2
123
1
24
12
当n ＝3时，S ＝916＝（34）3－1；当n ＝4时，S ＝2764＝（34）4－
1；
所以，第n 个图形中非阴影部分的面积为（34
）n －
1；
点拨：认真分析n 、S 与3
4
三者之间存在的内在关系探求其规律。

例3【安徽实验区05】下图中，图⑴是一个扇形AOB ，将其作如下划分：
第一次划分：如图⑵所示，以OA 的一半OA 1为半径画弧，再作∠AOB 的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB 、扇形AOC 、扇形COB 、扇形A 1OB 1、扇形A 1OC 1、扇形C 1OB 1；
第二次划分：如图⑶所示，在扇形C 1OB 1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图⑷所示；……依次划分下去.
⑴根据题意，完成下表：
⑵根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2005个？为什么？ 解：由5n ＋1＝2005，得n ＝2004
5，∵n 不是整数，∴不可能。

图⑷第三次划分 图⑴ A B O 图⑵第一次划分 A B O A 1 C B 1 C 1 图⑶第二次划分 A B O
A 1 C
B 1
C 1。