中考数学复习《几何最值—将军饮马》考点典型PPT课件
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（1）
B'
B'
B
Q
B'
B
（2）
【解析】解：
（1）如图，过点 B 作 BB’垂直于河岸，且使 BB’长度等于这条河宽，连接 AB’
交河的一岸于点 C，过点 C 作 CD 垂直于河岸，与另一岸交点为 D，则 CD 即为架桥最合适的
位置．
A
C
D
B'
B
（2）如图，过点 A 作 AA’垂直于距点 A 较近的河岸，且使 AA’长等于该河宽，同样，过点
典型例题
【答案】2 41
．
1
S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，
3
【解析】解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h．
1
∵S△PAB＝ S 矩形 ABCD，
3
1
1
2
3
∴ AB•h＝ AB•AD，
2
∴h＝3AD＝4，
∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，
一点，若 AE＝2，当 EF＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为多少？
【答案】∠ECF＝30º
【解析】解：过 E 作 EM∥BC，交 AD 于 N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD 是 BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD⊥BC，
上的动点，试求 CM＋MN 的最小值.
【答案】4
【解析】如图所示，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M'，过点 M'作 M'N'⊥BC 于 N'，
则 CE 即为 CM＋MN 的最小值.
∵BC＝
，∠ABC＝45º，BD 平分∠ABC，
∴△BCE 是等腰直角三角形，
∴ = ∙ 45° = 4 2 ×
B 作 BB’垂直于距点 B 较近的河岸，且使 BB’长等于河宽，连接 A’B’分别交两条河相邻
的河岸于点 N， P， 过点 N 作 NM 垂直于该河河岸，与另一岸交点为 M， 过 P 作 PQ 垂直于
该河河岸，与另一岸交点为 Q， 则 MN， PQ 即为架桥最合适的位置．
A
A'
M
N
P
Q
B'
B
4.如图，在锐角三角形 ABC 中，BC＝4 2，∠ABC＝45º，BD 平分∠ABC，M、N 分别是 BD、BC
∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E 和 M 关于 AD 对称，连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF，则此时 EF＋CF 的值最
小，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，
∴∠ECF＝
∠ACB＝30º.
3.（1）如图 1，在 A 和 B 两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥 CD，桥建在何处才
故 CM＋MN 的最小值为 4.
2
2
=4
本课结束
能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
（2）如图 2，在 A 和 B 两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是 MN 和 PQ，
桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂
直）
答案
A
A'
M
N
P
A
Q
B
C
D
【答案】
中考数学复习《几何最值—将军饮马》考点
典型PPT课件
考点
1.两定（异侧）
，一动
2.两定（同侧）
，一动
3.一定，两动
4.两动，两动
知识提炼：
折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，动点 P 满足 S△PAB＝
B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为
连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离．
在 Rt△ABE 中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝ 2 + 2 ＝ 102 + 82 ＝2 41，
即 PA+PB 的最小值为 2 41．故答案为：2 41．
2.如图，等边△ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上
B'
B'
B
Q
B'
B
（2）
【解析】解：
（1）如图，过点 B 作 BB’垂直于河岸，且使 BB’长度等于这条河宽，连接 AB’
交河的一岸于点 C，过点 C 作 CD 垂直于河岸，与另一岸交点为 D，则 CD 即为架桥最合适的
位置．
A
C
D
B'
B
（2）如图，过点 A 作 AA’垂直于距点 A 较近的河岸，且使 AA’长等于该河宽，同样，过点
典型例题
【答案】2 41
．
1
S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，
3
【解析】解：设△ABP 中 AB 边上的高是 h．
1
∵S△PAB＝ S 矩形 ABCD，
3
1
1
2
3
∴ AB•h＝ AB•AD，
2
∴h＝3AD＝4，
∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，
一点，若 AE＝2，当 EF＋CF 取得最小值时，则∠ECF 的度数为多少？
【答案】∠ECF＝30º
【解析】解：过 E 作 EM∥BC，交 AD 于 N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，
∵AD 是 BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD⊥BC，
上的动点，试求 CM＋MN 的最小值.
【答案】4
【解析】如图所示，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，交 BD 于点 M'，过点 M'作 M'N'⊥BC 于 N'，
则 CE 即为 CM＋MN 的最小值.
∵BC＝
，∠ABC＝45º，BD 平分∠ABC，
∴△BCE 是等腰直角三角形，
∴ = ∙ 45° = 4 2 ×
B 作 BB’垂直于距点 B 较近的河岸，且使 BB’长等于河宽，连接 A’B’分别交两条河相邻
的河岸于点 N， P， 过点 N 作 NM 垂直于该河河岸，与另一岸交点为 M， 过 P 作 PQ 垂直于
该河河岸，与另一岸交点为 Q， 则 MN， PQ 即为架桥最合适的位置．
A
A'
M
N
P
Q
B'
B
4.如图，在锐角三角形 ABC 中，BC＝4 2，∠ABC＝45º，BD 平分∠ABC，M、N 分别是 BD、BC
∵EM∥BC，∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，∴E 和 M 关于 AD 对称，连接 CM 交 AD 于 F，连接 EF，则此时 EF＋CF 的值最
小，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60º，AC＝BC，∵AM＝BM，
∴∠ECF＝
∠ACB＝30º.
3.（1）如图 1，在 A 和 B 两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥 CD，桥建在何处才
故 CM＋MN 的最小值为 4.
2
2
=4
本课结束
能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
（2）如图 2，在 A 和 B 两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是 MN 和 PQ，
桥分别建在何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂
直）
答案
A
A'
M
N
P
A
Q
B
C
D
【答案】
中考数学复习《几何最值—将军饮马》考点
典型PPT课件
考点
1.两定（异侧）
，一动
2.两定（同侧）
，一动
3.一定，两动
4.两动，两动
知识提炼：
折线问题→→→（利用轴对称的性质）→→→两点间线段最短问题
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，动点 P 满足 S△PAB＝
B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为
连接 AE，连接 BE，则 BE 的长就是所求的最短距离．
在 Rt△ABE 中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝ 2 + 2 ＝ 102 + 82 ＝2 41，
即 PA+PB 的最小值为 2 41．故答案为：2 41．
2.如图，等边△ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是 AD 边上的动点，E 是 AC 边上