线性代数第五章

又因为c1 c 2 即
1 2
0
1 0 2 0
这与1 , 2 互异矛盾，所以假设不成立 即 c1 1 c 2 2 不是 A 的特征向量．
5. 实对称矩阵不相等的特征值所对应的特征向量正交 例 设3阶实对称矩阵 A 的特征值为6,3,3，特征值6对应 的特征向量为 p1
关于实对称矩阵的特征值和特征向量有非常好的 性质，尤其是实对称矩阵正交相似对角阵的过程， 综合考查了求行列式、求解齐次线性方程组、求特 征值和特征向量、正交化及规范化、相似对角化等 内容，加之有二次型的应用背景，非常重要，应熟 练掌握．
典型题目
1. 求方阵的 k 次方
例
2 设A 0 4 1 2 1 1 0 3
A 的 2 重特征值刚好有两个线性无关的特征向量， 所以 A 可以对角化. 即存在可逆的矩阵
1 P ( p1 , p 2 , p 3 ) 0 1 2 1 4 0 0 1 1
使得
1 1 P AP
2
以上就是判断 A 是否可对角化，以及求相似变换 矩阵的过程。这一过程在实对称矩阵和二次型里还 经常用到。
证明 反证法 假设 c1 1 c 2 2 是 A 的特征向量，所对应的特征值为 则有 展开
A ( c1 1 c 2 2 ) ( c1 1 c 2 2 )
Α ( c 1 1 c 2 2 ) c 1 ( Α 1 ) c 2 ( Α 2 ) c 1 1 1 c 2 2 2
det A 1 2 n
1 2 n a11 a 22 a nn
② 设 Ax x ，则有 f ( A ) x f ( ) x 这个式子说明 f ( A ) 的特征值是 f ( ) ，特征向 量不变．
• 设 Ax x ，则有 f ( A ) x f ( ) x 若 f ( A ) O 则 f ( ) 0 上述结论说明当 f ( A ) O 时，A 的所有特征值一 定满足 f ( ) 0 ，即 一定是 f ( x ) 0 的根． ③ A 的不相等的特征值所对应的特征向量线性 无关． 4. 相似对角化 对n 阶方阵A 和B，若有可逆矩阵P 使得
x1 x 2 x 3 0
上述方程组的基础解系为
p 2 ( 1,1, 0 ) , p 3 ( 1, 0 ,1)
T
T
则 p 2 , p 3 即为 2
3 3
所对应的特征向量
1 1 0 1 0 1 3
记
1 P ( p1 , p 2 , p 3 ) 1 1
100
2
100
1
100
32 2
100
1
1 0 102 2 1 2
100
2. 已知抽象矩阵的特征值，求行列式
例 设 A 3 3 的特征值为1,1,-2，则 det(
解 此题用到的定理1 记
f ( A) A 2 A 4 E
2 2
A 2A 4E )
2
0
称 为A 的特征值；x 为A 的属于 的特征向量．
③ 对A 的每一个特征值 i ，求齐次方程组 ( A i E ) x 0 的基础解系，即为 i 对应的特征 向量．
3. 特征值、特征向量的性质
① 设A
( a ij ) n n 的特征值为 1 , 2 , , n ，则有
作业集P31，第1.3题 ，它所对应的函数为
f ( x) x 2 x 4
所以 f ( A ) 的特征值为 f (1), 此题用到的定理2 有 det( 所以
f (1), f ( 2 )
A 2 A 4 E ) det f ( A ) f ( A )
2 2
的特征值的乘积
对 1
1，求解方程组 ( A E ) x 0
1 1 1 1 0 1 A E 0 3 0 0 1 0 4 1 4 0 0 0 x1 x 3 T 同解方程组为 得基础解系 p1 (1, 0 ,1) x2 0
矩阵
A
kA
k
特征值
i
ki
特征向量
x x x x
x
A
i
k
f ( A)
1
f (i )
1
A
i
A
A
*
det A
i
x
T
i
未知
重点与难点解读
本章的知识点不多，但几乎每一个知识点都是考点． 这一章的题目会用到前面每一章的内容，而又和第六 章的知识联系紧密． 矩阵的特征值和特征向量的定义、性质和计算是 一个考点 方阵的相似对角化是另一个考点，要会判断什么 样的矩阵可以对角化，会求相似变换矩阵和对角 阵．利用相似对角化，可以求 k 次方和反求 A ．
，求 A 100 ． 作业集P22，第8题
求方阵的 k 次方的题目不常出现，但是这一题的计 算里面包含了求特征值特征向量，以及相似对角化 的判断，这是很基础的计算． 解 方法：求方阵的 k 次方，如果矩阵里的零元素 很少，就要考虑 A 是否可对角化．
A 的特征多项式
2 det( Α Ε 0 ) 2 4
x 1
x
1

x (

)x
Bx (
1

)x 1
所以 B 的一个特征值为

例2 则k
2 设A 1 1
1 2 1
1 1 1 ，且 x k 为 A 1的一个特征向量， 1 2

1
作业集P29，第1.5题
则有
P
1
AP
A PP
1
4 1 1
6 3 1 1 4 1 1 4
6. 相似矩阵特征值相同
作业集P23，第9题
0 1 0 0 0 2
例
1 设A a 1
a 1 b
1 0 B b， 0 0 1
，且 A 与 B 相似．
（1）求 a，b； （2）求一可逆矩阵 P ，使 P 1 AP A 与 B 相似，则 A 的特征值为0,1,2 由 det
线性代数
答疑课
主讲：安晓虹
第五章 矩阵的相似变换
本章内容要点 重点难点解读 典型题
本章内容要点
1. 特征值、特征向量的定义 对于n 阶方阵A，若存在数 和向量 x 满足 Ax x 2. 特征值、特征向量的求法 ① 求A 的特征多项式 det( A E ) ② 求解A 的特征方程 det( A E ) 0 ，其根即 为A 的特征值； n 阶方阵一定有n 个特征值．
1
解 由前面的复习知， 的特征值为 A

，特征向量还是 x
也就是说 x 若是A 1 的特征向量，则它也是 A 的特征向量 设矩阵 A 的对应于特征向量
Ax x
x
的特征值为 ，即有
把已知的数值代入
2 1 1
1 2 1
1 1 1 1 k k 1 2 1
Ax x
1
作业集P37，第1.5题 的特征向量为 x ，则有
1
由前面的复习知， 的特征值为 A 即有
A
1

，特征向量还是 x
x
1

x
将已知 AB
A E 两端同时左乘 A
2
1
，有
B A A
1
将上式两端同时右乘
Bx ( A A
1
x
，有
1
) x Ax A
1 1 0 1 3
2 因此 A 的特征方程 det( Α Ε 0 ) ( 1)( 2) 的三个根1 1， 2 3 2 就是 A 的三个特征值
A 的三个特征值中有重特征值，需要求其相应的特征 向量，才能判断 A 是否能对角化. 下面对每一个特征值求相应的特征向量.
5. 实对称矩阵的性质 实对称矩阵的特征值都是实数； 实对称矩阵的不相等的特征值对应的特征向 量正交； 实对称矩阵一定正交相似于对角阵． n 阶方阵Q 满足 Q T Q
E 时，称Q
为正交阵．

若存在正交矩阵Q 使得满足 Q T AQ A 能正交相似于对角阵．
时，称
6. 与 A 相关矩阵的特征值和特征向量
100
1 0 1
1 4 0
0 1 1
1
1 0 1
1 4 0
0 ( 1) 1 1
100 100 100
2
2
4 1 1 3 4
1 1 1
1 1 4
4 2 1 0 3 102 42
det( A 2 A 4 E ) f (1) f (1) f ( 2 )
( 1)( 1)( 4 ) 4
3. 与 A 相关矩阵的特征值和特征向量 例1 设可逆矩阵 A n n 的一个特征值为 ，矩阵 B n n 满足 AB A 2 E ，则 B 的一个特征值为 解 设矩阵 A 的相对应于
2 k 1 1 2 k 1 k 1 k 2
展开得到方程组 解之得
k 1或 k 2
4. 利用不相等的特征值所对应的特征向量线性无关 来证明
例 设 1 , 2 是方阵 A 的两个不同特征值， 1 , 2 分别为 对应于1 , 2 的特征向量，证明：当 c1 c 2 0 时， c1 1 c 2 2 不是 A 的特征向量． 作业集P36，第五题
P
1
AP B
称A 相似于B，记做
A~ B
相似矩阵特征值 相同
若A 能和对角阵相似，则称A 可对角化． 4. 相似对角化的条件 n 阶方阵A 可对角化 A 有n 个线性无关的特 征向量 n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，则A 可对角 化 好用，但不能解决所有问题 n 阶方阵A 的全体互异特征值为1 , 2 , , m， 则A 可对角化 A 的 ri 重特征值 i 刚好有 ri 个 线性无关的特征向量． 常用的判别方法
( c 1 1 c 2 2 ) c 1 1 c 2 2
移项并合并有
( 1 ) c1 1 ( 2 ) c 2 2 0
由于 1 , 2是 A 的不相等的特征值所对应的特征向量， 所以它们线性无关 因此有 所以
( 1 ) c1 0 ( 2 )c2 0
(1,1,1)
T
，求 A ． 作业集P24，第16题
6, 2 3 3
T
解 记实对称矩阵 A 的特征值为 1
1 6
所对应的特征向量为 p1
(1,1,1)
记2
3 3 所对应的特征向量为
p 2 ( x1 , x 2 , x 3 )
T
因为1 2 ，所以 p1 , p 2 正交 即有
k
A P P
1 k
1
(PΛP
P
1 0 1
100
) Λ P P P P Λ P PΛ
k个
1
1
1
100
P
1
1 4 0
0 1 1 1
2
2
对 2

3 2 ，求解方程组 ( A 2 E ) x 0
同解方程组为 x 2 得基础解系
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0
4 x1 x 3
T T
p 2 (1, 4 , 0 ) , p 3 ( 0 , 1,1)