均值不等式技巧

［思路］1）认真阅读弄清题意建立目标函数是解决应用性
问题的关键。 2）目标函数建立后利用均值不等式求最值 ［解题］解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y 值最小. 根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）
得b=（0＜a＜30 ① 于是 当a+2=时取等号，y达到最小值. 这时a=6，a=－10（舍去） 将a=6代入①式得b=3 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大. 由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0） 即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0） ∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30 当且仅当a=2b时，上式取等号. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18 即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18. ∴2b2＝18．解得b=3，a=6. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小. ［收获］本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解 决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最 小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理 解能力、建模能力.
第1变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。
［变题1］设x,y,z∈R+且x+y+z=1求证: + + ≥36. ［思路］从左到右事实上是求和式+ + 的最小值，需变式出现积为 定值的情况，而条件中是和为定值x+y+z=1，所以对待证式的左边需变 形出现积为定值的情况。 ［破解］证法一:巧用1代换 ++= ++ =14+(+)+(+)+(+) ≥14+4+6+12=36 当且仅当=,=,=,x+y+z=1取等号. 证法二:分式代换法 令x= ,y= , z= 则++ =++ =14+(+)+(+)+ (+) ≥14+4+6+12=36 当且仅当……取等号. 解法三: ∵x+y+z=1 ∴mx+my+mz=m, (m>0) ∴++=+++ mx+my+mz-m =(+ mx)+( + my)+( + mz)-m
6．设 α、β、γ∈,且 求函数 的最小值。 解:令 t >0 由基本不等式有:
三式相加有: 当且仅当 亦 t=1时取等号 从而有: 所以,ymin=1
第3变 均值不等式“一正、 二定、 三相等”的条 件中“相等”条件不成立， 补充基本函数的单调性。
［变题3］求函数y= 的最小值. ［思路］1）发现分子分母有相似之处，可将改写成后，y= = =+出现了均值不等式的结构特征。 2）需要认真探求均值不等式的“一正、 二定、 三相等”的条件是否具 备。 错解: y= = =+≥ ∵=时,得x2=-1 等号不能成立. 正解:单调性法 ∵y= = =+ 令z=≥ ∴y=z+(z≥) 设≤z1<z2 则y1-y2=(z1+)- (z2+) =(z1-z2)+(-) = 其中z1-z2<0, z1z2>0, z1z2-1>·–1>0 ∴y1-y2<0 ∴y=z+在[,+∞)上↑ ∴当z=时 ymin=+ = .
第 4变
高考应用，重在建模
［变题4］（1998全国文24、理22）如图6—1，为处理含
有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀 箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的 乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的 面积忽略不计）?
≥2+4+6-m 当且仅当= mx, = my, = mz 即x=,y=,z=时取等号 代入x+y+z=1解得m=36 ∴2+4+6–m=36. ［收获］由于不等式是分式形式,上述三种证明方法都是巧用1作代换, 构造倒数关系,使乘积为定值,从而取得最值.
［请你试试2—1］
1: 设a>0，b>0，求证：≥。 解题思路分析： 法一：比差法，当不等式是代数不等式时，常用比差法，比差法的 三步骤即为函数单调性证明的步骤。 左-右= ≥0 ∴ 左≥右 法二：基本不等式 根据不等号的方向应自左向右进行缩小，为了出现右边的整式形 式，用配方的技巧。 ∵ ≥ ≥ ∴ 两式相加得：≥ 2．已知a，b，c为正实数，a+b+c=1. 求证：(1)a2+b2+c2≥ (2)≤6 解：.(1)证法一：a2+b2+c2－=(3a2+3b2+3c2－1) =［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］ =［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ =［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥ 证法二： ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥
简介函数的性质 1．单调区间的分界点 由ax=得x=± 2．函数的单调区间 (-∞,-]、[,+∞)是增区间 [-,0)、(0, ]是减区间 3．函数的图象为 4．在[c,+∞)上,(c>0) 若c≤ 这时x=∈[c,+∞) 当x=时ymin=2 若c> ∴[c,+∞)是单调区间[,+∞)的一个子区间,故可先证单调性再求最值f(c).
x
≤= 当x=L-x时即x=取等号. 【注】构建相反变量x与-x. 解法二： 设宽为x,依题意知长为L-2x ∴S=x• (L-2x)= ·2x·(L-2x) ≤·( )2=

当2x=L-2x时即x=取等号. 【注】构建相反变量2x与-2x.
x y
解法三: 设长为x,宽为y,依题意知x+2y=L ∴S=xy=·x·2y≤·( )2 当即x=,y=时取等号. 【注】构建已知条件x+2y=L,产生定值L. 解法四:(利用二次函数) 在解法一与解法二中,均可利用二次函数求最值(略).
第2变 变结构，创造基本不等式“一正、 三相等”的条件求最值。
二定、
［变题2］（1）求函数的最小值。 ［思路］1）本题是求目标和式的最小值，需创造积为定值的条件， 要使积为定值，需将拆成两项的和。 2）由“相等”知应均分为相等的两项的和。 ［解题］，所以仅当。 ［收获］目标求和的最值，凑定积是关键，因此均分为相同的两 项，同时使得含变量的因子的次数和为零。思路不熟练，功底不扎实是
3．求函数的值域 。 误解：（仅当时取等号），所以值域为。 这里错误在于使用均值定理时忽略了条件： 正确解法：； 所以函数的值域是
4．已知，求的最小值。 解：，因此仅当
评析：已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，取倒数 法不失是一种有效的变形的技巧，值得欣赏。 5．一段长L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长宽各 为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少？ 解法一: 设长为x,由题意知宽为 ∴S=x·
证法三：∵∴a2+b2+c2≥ ∴a2+b2+c2≥ 证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ. ∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0 ∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2 =+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2 =+α2+β2+γ2≥ ∴a2+b2+c2≥ ∴原不等式成立. 证法二： ∴≤＜6 ∴原不等式成立. 3．甲乙两人在每个月里,总是相约到一家小铺里买两次白糖,假设白糖 的价格是变化的,而他们购买的方式不一样,甲每次买1千克,乙每次买1元 钱的白糖,试问两种买糖的方式哪一种更合算? 解: 设甲乙二人两次买每千克白糖的价格分别为m,n元 则甲花去m+n元,买了2千克糖, 平均每千克价格为元; 乙花去2元买了+千克糖, 平均每千克价格为元. ∵≤≤ ∴乙的购糖方式合算.
［请你试试2—2］
1． 错解： 所以的最大值为。 剖析：这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的， 所以不可能取到上述的最大值。 正解：仅当时取等，所以。如取 2．求函数的最大值。 解析： （仅当时取等号），即当。 另解： （仅当时取等号），即当。 评析：目标求积的最值，把变量都放在同一条件下的根号里或者将 原式两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键之 所在。
题根
已知都是正数，求证
［题根］已知都是正数，求证 ［思路］1) 平均值不等式≥（当且仅当，a=b时取“=”号）
2）需两次利用平均值不等式，要使得此不等式等号 成立，需两次取等号的条件一致或同时成立。即即时成立。 ［破解］：由都是正数，得： ［收获］1）多次运用平均值不等式，要使得不等式等号成立， 需这几次取等号的条件一致、相同或同时成立。 2）利用不等式的同向相乘性质时，需保证不等式两边同时为 正。
无法完成变形目标的。 （2）已知 ［思路］1）本题是求目标积式的最大值，需创造利用和为定值 的条件，变形时需扣紧题中的已知条件，目标 要明确。 2）题中条件中的次数相同，故需将拆成，再由来配前的系数。 ［解题］， 所以仅当。 ［收获］目标求积的最大值，凑定和是关键，因此由题中条件中的 次数相同，故需将拆成，再由来配前的系数。 在运用均值不等式求解函数的最值时，防错关键是：观察结构，合 理变形，充分重视运用过程中的三个条件：“一正二定三相等”。