一次函数、二次函数与幂函数复习

{y|y∈R 且 y≠0}
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
单调性 增
定点
x∈[0,＋∞)
时,增
x∈(－∞， 增
增
0]时，减
(0,0)，(1,1)
x∈(0，＋∞)时，减 x∈(－∞，0)时，减
(1,1)
(2)二次函数的解析式
①二次函数的一般式为 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
.
②二次函数的顶点式为 y＝a(x－h)2＋k (a≠0) ，其中顶
据已知条件灵活选用． 2．二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系，因此单调
性的判断通常用数形结合法来判断． 3．幂函数 y＝xα(α∈R)，其中 α 为常数，其本质特征是以幂的
底 x 为自变量，指数 α 为常数，这是判断一个函数是否是幂 函数的重要依据和唯一标准．应当注意并不是任意的一次函 数、二次函数都是幂函数，如 y＝x＋1，y＝x2－2x 等都不是 幂函数． 4．在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近 x 轴(简记为 “指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数 图象越远离 x 轴．
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二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之
间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
y＝ax2＋bx＋c 的图象 (a>0)
方程 ax2＋bx＋c＝0 的解 ax2＋bx＋c>0 的解集 ax2＋bx＋c<0 的解集
x1，x2 x0
(x1பைடு நூலகம்x2)
{x|x>x2 {x|x∈R
或 x<x1} 且 x≠x0}
第二章
二次函数和幂函数
§2.6 一次函数、二次函数与幂函数
基础知识 自主学习
要点梳理 1．一次函数、二次函数的图象及性质
(1)一次函数 y＝kx＋b，当 k>0 时，在实数集 R 上是 增函数，当 k<0 时在实数集 R 上是减函数．b 叫纵 截距，当 b＝0 时图象过原点，且此时函数是奇函数； 当 b≠0 时函数为非奇非偶函数．
性 ＝－2ba时，y有最小 质
值，y最小＝4ac4－a b2
2ba时，y有最大值，y最大＝
4ac－b2 4a
三、三个二次(二次方程ax2＋bx＋c＝0，二次函数y ＝ax2＋bx＋c，二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)(或<0))的 关系
[难点正本 疑点清源] 1．二次函数、二次方程、二次不等式的区别与联系
{x|x1<x<x2}
∅
Δ<0
无解 R ∅
幂函数考点：一；考察基本函数形态。 二；比较大小。
二次函数题目问题一定要结合图像继续判断解题。特别 要注意根据对称轴位置解题。
零点问题首先了解零点定义，（函数与x轴的交点即 为零点）一般可以通过图像法处理
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．二次函数的解析式有三种形式：一般式、顶点式和两根式．根
点为 (h，k) . ③二次函数的两根式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中
x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．(也就是函数的零 点)
根据已知条件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求
解析式．
解题技巧 1．解答二次函数问题时，一定要注意根据题设条件的不 同，选取不同形式的解析式．经过三点时，用一般式；已知 顶点时用配方式(即顶点式y＝a(x－m)2＋n)；已知函数与x轴 两交点时，用分解式(即两根式y＝a(x－x1)(x－x2))等等． 2．二次函数的单调性、值域(最值)问题，一般都是从开 口方向和对称轴入手讨论，或利用导数讨论．
2．幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是 自变量 ，α 为 常数 . (2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
特征
函 数
y＝x
性质
定义域 R
y＝x2
R
1
y＝x3 y x 2 R [0，＋∞)
y＝x－1
{x|x∈R 且 x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞)
失误与防范 1．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第
四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇 偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果 幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．幂函数的定义域的求法可分 5 种情况：①α 为零；②α 为正 整数；③α 为负整数；④α 为正分数；⑤α 为负分数． 3．作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶 性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的 奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象． 4．利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的 单调性及在实际问题中的应用等类型的问题．进一步培养学 生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法．
抛物线开口向下，且向下无限伸展 在区间_－__∞__，__－__2b_a_上是增函数，在区
减函数，在区间__－__2_ba_，__＋__∞ 间__－__2_ba_，__＋__∞____上是减函数 上是增函数
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
顶点为最低点，当x 顶点为最高点，当x＝－
二、二次函数的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0
a<0
图 象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
抛物线对称轴是x＝－2ba，顶点是－2ba，4ac4－a b2
抛物线开口向上，且向上无
限伸展 性 质 在区间___－__∞__，__－__2b_a__上是