双曲线的简单几何性质
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习.教科书P53练习第1、2、3题.
第16页/共20页
例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可设双曲线
的方程为
x2 a2
y2 b2
1
2a 16，即a 8
又e c 5 ,c 10 a4
0
叫做双曲线
y B2
F1 a
F2
x2 a2
y2 b2
1 的渐近线.
A1 O A2 x b
B1
第9页/共20页
新课讲授
4．渐近线
y2 a2
x2 b2 1
b
(a＞0, b＞0)的渐近线为
y
x y a
aA2
y x 0. a b
B1
b B2
O
x
A1
第10页/共20页
新课讲授
4．渐近线 a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
y
F1 O
c2＝a2＋b2 F2 x
y F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1(a＞0,b＞0)
y2 a2
x2 b2
1 (a＞0,b＞0)
焦点在x轴上，焦点 焦点在y轴上，焦点 是F1(－c, 0)、F2(c, 0). 是F1(0, －c)、F2(0, c).
第2页/共20页
2．对称性
双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是双曲线的对称轴． y 原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 F1
F2
双曲线的中心．
O
x
第6页/共20页
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴
有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
双曲线叫做等轴双曲线. 这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐
近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并 且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
第11页/共20页
新课讲授
4．渐近线 利用渐近线画双曲线草图 ⑴ 画出双曲线的渐近线； ⑵ 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲
线的大致图象； ⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
a叫做双曲线的实半轴长． b叫做双曲线的虚半轴长．
F1
A1
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线.
第8页/共20页
y B2
F2 O A2 x
B1
新课讲授
4．渐近线
经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a，
经条过直B线2、围B成1作一x个轴矩的形平(行如线图y)．＝两±条b，直四线
y
b a
x
x a
y b
第12页/共20页
新课讲授
5．离心率（刻画双曲线的开口程度） 双曲线的焦距与实轴长的比 e c ， a
叫做双曲线的离心率．
∵ c ＞a＞0， ∴e＞1．
b a
c2 a2
a
c2 a2
1
e2 1.
第13页/共20页
新课讲授
5．离心率
因此e越大，b 也越大，即渐近线 a
y b x的斜率的绝对值也越大，这时 a
b2 c2 a2 102 82 36
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
第17页/共20页
例题讲解
例2. 求中心在原点，对称轴为坐标轴， 经过点P(1， 3)且离心率为 2 的双曲 线标准方程.
第18页/共20页
复习引入
3. 椭圆的简单几何性质：
y b B2
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)
A-1a F1 围 对称性
顶点
-b B1
离心率
x a
图形关于x 轴、y轴、
y b 原点对称
(±a, 0) e c
(0, ±b)
a 0e1
第3页/共20页
新课讲授
利用双曲线的标准方程研究双曲线的 几何性质
课堂小结
1. 双曲线的几何性质：
范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、
渐近线方程
ybx a
；xb y a
离心率 e c , e＞1． b
a
a
e2 1.
双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．
2. 双曲线草图的画法.
第19页/共20页
谢谢您的观看！
第20页/共20页
以
x2 a2
y2 b2
1 (a＞0，b＞0)
为例．
第4页/共20页
新课讲授
1．范围
双曲线上点 (x, y)都满足
∴
x2 a2
1,
即 x2≥a2，
x2
y2
a2 1 b2 0
y
∴ |x|≥a (a＞0)．
F－1 a O
F2 ax
双曲线在不等式
x≥a与x≤－a所表示的区域内．
第5页/共20页
新课讲授
双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越大，它 的开口就越阔．
第14页/共20页
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
第15页/共20页
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
y
B2
y=b
这个令 方x程＝没0，有得实y数2＝根－，b2，F1A1 O 则双曲线和y轴无交点.
F2 A2 x
特殊点B1(0,－b)、B2(0, b).
B1 y=-b
第7页/共20页
新课讲授
3．顶点
线段A1A2 叫做双曲线的实轴． 线段B1B2叫做双曲线的虚轴.
实轴的长等于2a． 虚轴的长等于2b．
第16页/共20页
例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e 5 ，
4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方
程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：依题意可设双曲线
的方程为
x2 a2
y2 b2
1
2a 16，即a 8
又e c 5 ,c 10 a4
0
叫做双曲线
y B2
F1 a
F2
x2 a2
y2 b2
1 的渐近线.
A1 O A2 x b
B1
第9页/共20页
新课讲授
4．渐近线
y2 a2
x2 b2 1
b
(a＞0, b＞0)的渐近线为
y
x y a
aA2
y x 0. a b
B1
b B2
O
x
A1
第10页/共20页
新课讲授
4．渐近线 a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的
新课讲授
2. 双曲线的标准方程：
y
F1 O
c2＝a2＋b2 F2 x
y F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1(a＞0,b＞0)
y2 a2
x2 b2
1 (a＞0,b＞0)
焦点在x轴上，焦点 焦点在y轴上，焦点 是F1(－c, 0)、F2(c, 0). 是F1(0, －c)、F2(0, c).
第2页/共20页
2．对称性
双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的．
坐标轴是双曲线的对称轴． y 原点是双曲线的对称中心．
双曲线的对称中心叫做 F1
F2
双曲线的中心．
O
x
第6页/共20页
新课讲授
3．顶点
令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴
有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) .
双曲线和它的对称轴 有两个交点，它们叫做双 曲线的顶点．
双曲线叫做等轴双曲线. 这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐
近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并 且平分双曲线实轴和虚轴所成的角．
第11页/共20页
新课讲授
4．渐近线 利用渐近线画双曲线草图 ⑴ 画出双曲线的渐近线； ⑵ 画出双曲线的顶点、第一象限内双曲
线的大致图象； ⑶ 利用双曲线的对称性画出完整双曲线.
a叫做双曲线的实半轴长． b叫做双曲线的虚半轴长．
F1
A1
实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线.
第8页/共20页
y B2
F2 O A2 x
B1
新课讲授
4．渐近线
经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a，
经条过直B线2、围B成1作一x个轴矩的形平(行如线图y)．＝两±条b，直四线
y
b a
x
x a
y b
第12页/共20页
新课讲授
5．离心率（刻画双曲线的开口程度） 双曲线的焦距与实轴长的比 e c ， a
叫做双曲线的离心率．
∵ c ＞a＞0， ∴e＞1．
b a
c2 a2
a
c2 a2
1
e2 1.
第13页/共20页
新课讲授
5．离心率
因此e越大，b 也越大，即渐近线 a
y b x的斜率的绝对值也越大，这时 a
b2 c2 a2 102 82 36
双曲线的方程为 x2 y2 1 64 36
渐近线方程为y 3 x 4
焦点F1(10,0), F2 (10,0)
第17页/共20页
例题讲解
例2. 求中心在原点，对称轴为坐标轴， 经过点P(1， 3)且离心率为 2 的双曲 线标准方程.
第18页/共20页
复习引入
3. 椭圆的简单几何性质：
y b B2
x2 a2
y2 b2
1(a＞b＞0)
A-1a F1 围 对称性
顶点
-b B1
离心率
x a
图形关于x 轴、y轴、
y b 原点对称
(±a, 0) e c
(0, ±b)
a 0e1
第3页/共20页
新课讲授
利用双曲线的标准方程研究双曲线的 几何性质
课堂小结
1. 双曲线的几何性质：
范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、
渐近线方程
ybx a
；xb y a
离心率 e c , e＞1． b
a
a
e2 1.
双曲线的离心率越大，它的开口就越阔．
2. 双曲线草图的画法.
第19页/共20页
谢谢您的观看！
第20页/共20页
以
x2 a2
y2 b2
1 (a＞0，b＞0)
为例．
第4页/共20页
新课讲授
1．范围
双曲线上点 (x, y)都满足
∴
x2 a2
1,
即 x2≥a2，
x2
y2
a2 1 b2 0
y
∴ |x|≥a (a＞0)．
F－1 a O
F2 ax
双曲线在不等式
x≥a与x≤－a所表示的区域内．
第5页/共20页
新课讲授
双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越大，它 的开口就越阔．
第14页/共20页
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
第15页/共20页
例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半 轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
y
B2
y=b
这个令 方x程＝没0，有得实y数2＝根－，b2，F1A1 O 则双曲线和y轴无交点.
F2 A2 x
特殊点B1(0,－b)、B2(0, b).
B1 y=-b
第7页/共20页
新课讲授
3．顶点
线段A1A2 叫做双曲线的实轴． 线段B1B2叫做双曲线的虚轴.
实轴的长等于2a． 虚轴的长等于2b．