人教版九年级上册数学作业课件 第二十四章学业质量评价

23．(10分)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE 是⊙O的直径，连接BF，过F作FG⊥BA，交BA的延 长线于G. (1)求证：FG是⊙O的切线；
证明：如图，连接OF，AO， 由题意可知AB＝AF＝EF， ∴ AB AF EF .∴∠AOF＝60°. ∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°.
②若AD＝4，DC＝2，求四边形ABCD的最大面积．
解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°.
∵AD＝4，DC＝2，∴AC＝ AD2 CD2 2 5 .
∴要使四边形ABCD的面积最大，则△ABC的面积最大．
∴当AC边上的高最大，即△ABC是等腰直角三角形时，
△ABC的面积最大．
∴四边形ABCD的最大面积为
(2)请你判断两位同学的作法是否正确？如果正确， 给出△ABC是正三角形的证明过程；如果不正确， 请说明理由．
解：两位同学的作法正确． 证明如下：如图，连接BO，BD，OC. ∵BC垂直平分OD，∴BO＝BD. 又OB＝OD，∴OB＝OD＝BD， 即△BOD为正三角形． ∴∠BOD＝60°， 则∠AOB＝180°－∠BOD＝120°.
15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差R－r ＝ 1.5 . 16．如图，在▱ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°， CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中 阴影部分的面积为 2 3 .
3
17．已知在平面直角坐标系内，以点P(－3，4)为圆 心，r为半径画圆，⊙P与坐标轴恰好有三个交点， 那么r的取值是 4或5 . 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2 上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点 Q，则线段OQ的最小值为 3 .
使用方法如图②所示，若要把∠MEN三等分，只需适 当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落 在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F， 则EB，EO就把∠MEN三等分了．为了说明这一方法 的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的 “已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明” 过程．
2
9．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆 弧都是四分之一圆周，OA＝OB＝OC＝2，则这朵三 叶花的面积为( C ) A．3π－3 B．6π－3 C．3π－6 D．6π－6
10．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10， AC CD BD，点E是点D关于AB所在直线的对称 点，M是AB上的一动点，下列结论： ①∠BOE＝60°； ②∠CED＝ 1 ∠DOB； ③DM⊥CE；2 ④CM＋DM的最小值是10. 其中正确的个数是（ C ） A．1 B．2 C．3 D．4
25．(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC 为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点 E，过点D作⊙O的切线交EC于点F. (1)求证：EF＝FC；
证明：∵AC是⊙O的直径，CE⊥AC， ∴CE是⊙O的切线． 又∵DF是⊙O的切线，且交CE于点F， ∴DF＝CF.∴∠CDF＝∠DCF. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. ∴∠DCF＋∠E＝90°，∠CDF＋∠EDF＝90°. ∴∠E＝∠EDF.∴DF＝EF.∴EF＝FC.(4分)
(2)①连接OD，当∠ACD的度数为 45°时，四边形 ODFC为正方形；(8分) 解析：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°. ∵∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∴∠DOC＝90°. ∴∠DOC＝∠ODF＝∠OCF＝90°. ∴四边形ODFC为矩形． ∵OD＝OC，∴四边形ODFC为正方形．
∵D，E关于AB所在直线对称， ∴连接CE交AB于M，此时CM＋DM＝CE最小． ∵∠COE＝60°＋60°＋60°＝180°， ∴CE为直径． ∴CM＋DM的最小值是10. ∴④正确．故选C.
二、填空题(每小题3分，共24分) 11．如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐 角顶点A在⊙O上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E， 则∠DOE的度数为 90° .
已知：如图②，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥ AC，垂足为点B， AB＝OB，EN切半圆O于F，M、 A、E三点共线 ．(2分) 求证： EB，EO把∠MEN三等分 ．(3分)
证明：∵EB⊥AC，∴∠ABE＝∠OBE＝90°. ∵AB＝OB，BE＝BE， ∴△ABE≌△OBE(SAS)．∴∠1＝∠2. ∵BE⊥OB，∴BE是⊙O的切线． ∵EN切半圆O于F，∴∠2＝∠3. ∴∠1＝∠2＝∠3. ∴EB，EO把∠MEN三等分．(10分)
∵OB＝OF， ∴∠OBF＝∠OFB＝30°. ∴∠ABF＝∠OFB. ∴AB∥OF. ∵FG⊥BA， ∴OF⊥FG. 又∵OF是⊙O的半径， ∴FG是⊙O的切线．(5分)
解：∵∠AOF＝60°，OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形． ∴∠AFO＝60°. ∴∠AFG＝30°. ∴AF＝2AG.
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠D＋∠ABC＝180°. 又∵∠EBC＋∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠EBC. ∵HF⊥AD，AE⊥DH， ∴∠H＋∠D＝90°，∠H＋∠HBE＝90°. ∴∠HBE＝∠D. ∴∠HBE＝∠EBC， 即BE平分∠HBC.(4分)
(2)如图②，当点E在⊙O内时，连接AC，AH， 求证：AC＝AH.
3．用尺规作三角形的内心O，下列作图痕迹符合要 求的是( D )
25
5．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆
锥的全面积是( A )
A．48π B．45π C．36π D．32π
6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，
AB＝2 2 ，则 AB 的长是( A )
A．π B. 3 π C．2π D. 1 π
2
2
7．如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB， 垂足分别为D、E.若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数 为( C ) A．140° B．70° C．110° D．80°
8．如图，PA、PB为⊙O的切线，直线MN切⊙O，且 MN⊥PA.若PM＝5，PN＝4，则OM的长为( D ) A．2 B. 6 C. 3 D. 5
解析：如图①，连接PQ、OP. ∵直线OQ切⊙P于点Q， ∴PQ⊥OQ. 在Rt△OPQ中， OQ＝ OP2 PQ2 OP2 1 . ∴当OP最小时，OQ最小． 如图②，当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2， ∴OQ的最小值为 22 1 3 .
三、解答题(共66分) 19．(8分)如图，在⊙O中，∠ABD＝∠CDB. 求证：AB＝CD. 证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴ AD BC ，
∴ AD AC BC AC . ∴ AB CD . ∴AB＝CD.(8分)
20．(8分)在学习圆与正多边形时，小昌、小雯两位 同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： ①如图，作直径AD； ②作半径OD的垂直平分线， 交⊙O于B，C两点； ③连接AB、AC，那么△ABC 为所求的三角形． (1)请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC； 解：△ABC如图所示．(3分)
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
解：由(1)得 BD CD ， ∴CD＝BD＝4.(5分) ∵∠BAC＝90°， ∴BC是直径． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝ BD2 CD2 4 2 . ∴△ABC外接圆的半径为 1 4 2 2 2 .(8分)
2
22．(10分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角， 而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上 一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们 根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器． 图①是它的示意图，其中AB与半圆O的 直径BC在同一直线上，且AB的长度与半 圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB 足够长．
同理∠AOC＝120°. ∴∠BOC＝360°－∠AOB－∠AOC＝120°. ∴AB＝AC＝BC，即△ABC为正三角形．(8分)
21．(8分)如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于 点D，∠ABC的平分线交AD于点E. (1)求证：DE＝DB；
证明：∵BE平分∠ABC，AD平分∠BAC， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD. ∴ BD CD . ∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAE.(2分) ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(4分)
第二十四章学业质量评价 满分：120分 时间：120分钟
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置 关系是( A ) A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 2．下列说法不正确的是( C ) A．圆既是中心对称图形又是轴对称图形 B．三角形的外心不一定在三角形的外部 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若直线l与圆没有公共点，则其位置关系是相离
解析：如图，∵点E是点D关于AB的对称点，
∴ BD BE .
∵ AC CD BD ，
∴∠BOE＝∠DOB＝∠COD＝∠AOC＝
1 3
×180°
＝60°.
∴①正确．
∠CED＝ 1
2
∠COD＝
1 2
×60°＝30°＝
1 2
∠DOB，
∴②正确．
连接AD. ∵ AC CD ， ∴AD⊥CE. ∴只有M和A重合时，DM⊥CE. ∴③错误．
12．如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O的 直径AB的延长线于点D.若∠D＝40°，则∠A的度 数为 25° .
13．如图，两同心圆的大圆半径长为5 cm，小圆半 径长为3 cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C， 则弦AB的长是 8cm .
14．如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且 AB : ADB ＝1∶5，则∠E＋∠C＝ 210 °.
1 2Leabharlann ×4×2＋1 2×2
5
5
＝9.(12分)
∵FG＝2
3
，∴
AF 2
1 2
AF
2
2
2
3.
∴AF＝4.∴AO＝4.
∵∠AFB＝∠OBF＝30°，
∴AF∥BE.∴S△ABF＝S△AOF. ∴图中阴影部分的面积等于扇形AOF的面积， 为 60 42 8 .(10分)
360 3
24．(10分)AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互 相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂 足为点F，直线BF交直线CD于点H. (1)如图①，当点E在⊙O外时，连接BC， 求证：BE平分∠HBC；
证明：如图②，连接CB. ∵AB⊥CD，BF⊥AD， ∴∠D＋∠BAD＝90°，∠ABH＋∠BAD＝90°. ∴∠D＝∠ABH. ∵∠D＝∠ABC，∴∠ABH＝∠ABC. ∵AB⊥CD，∴∠CEB＝∠HEB＝90°. 又∵BE＝BE，∴△BCE≌△BHE(ASA)． ∴EC＝EH.∴AC＝AH.(10分)