湘教版2018-2019学年八年级数学上册全册教案

第1章 分式
1.1 分式
第1课时 分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地，如果一个整式f 除以一个非零整式g(g 中含有字母)，所得商f g
叫作分式，其中f 是分式的分子，g 是分式的分母，g ≠0.
2.(1)分式f g 存在的条件是g ≠0；(2)分式f g 不存在的条件是g ＝0；(3)分式f g
的值为0的条件是f ＝0，g ≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中，哪些是分式？
①2b －s ；②3 000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 2
2x －1
；⑪5x －7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
2.当x 取何值时，下列分式的值不存在？当x 取何值时，下列分式的值等于0?
(1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x
. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2的值不存在.当x ＝3时，分式3－x x ＋2
的值等于0. (2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 的值不存在.当x ＝－5时，分式x ＋53－2x
的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.
活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x 个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x 与y 的差除以4的商是多少.
解：(1)80x ；分式.(2)a ＋b ，a －b ；整式.(3)x －y 4
；整式. 例2 当x 取何值时，分式2x －5x 2－4的值存在？当x 取何值时，分式2x －5x 2－4
的值为零？ 解：当2x －5x 2－4
的值存在时，x 2－4≠0，即x ≠±2； 当2x －5x 2－4的值为0时，有2x －5＝0且x 2－4≠0，即x ＝52.
分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2 跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？
①4x ；②a 4；③1x －y ；④3x 4；⑤12
x 2. 解：①③是分式.
2.当x 取何值时，分式x 2
＋13x －2
的值存在？ 解：3x －2≠0，即x ≠23时，x 2＋13x －2
存在. 3.求下列条件下分式x －2x ＋3
的值. (1)x ＝1；(2)x ＝－1.
解：(1)当x ＝1时，x －2x ＋3＝－14
. (2)当x ＝－1时，x －2x ＋3＝－32.
活动3 课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.
第2课时 分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子
表示为f g ＝（f ²h ）g ²h
(h ≠0). 2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)；(2)x 3xy ＝x 2y
. 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ²c 2b ²c ＝ac 2bc
. (2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y .
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
2.填空，使等式成立：
(1)34y ＝3（x ＋y ）4y （x ＋y ）(其中x ＋y ≠0)；(2)y ＋2y 2－4＝1（y －2）.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.
3.约分：
(1)a 2bc ab ；(2)－32a 3b 2
c 24a 2b 3d
. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab
＝ac. (2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac 3bd .
活动1 小组讨论
例1 约分：
(1)－3a 3a 4；(2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）；(3)x 2
－1x 2－2x ＋1
. 解：(1)－3a 3a 4＝－3a
. (2)12a 3（y －x ）227a （x －y ）＝4a 2（x －y ）9
. (3)x 2－1x 2－2x ＋1＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2＝x ＋1x －1.
约分的过程中注意完全平方式(a －b)2＝(b －a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.
例2 先约分，再求值：x 2y ＋xy 22xy
，其中x ＝3，y ＝1. 解：x 2y ＋xy 22xy ＝xy （x ＋y ）2xy ＝x ＋y 2
. 当x ＝3，y ＝1时，x ＋y 2＝3＋12
. 活动2 跟踪训练
1.约分：
(1)－15（a ＋b ）2－25（a ＋b ）；(2)m 2－3m 9－m 2. 解：(1)－15（a ＋b ）2－25（a ＋b ）＝3（a ＋b ）5
. (2)m 2－3m 9－m 2＝m （m －3）（3＋m ）（3－m ）＝－m m ＋3
. 2.先约分，再求值：
(1)3m ＋n 9m 2－n 2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4.
解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13³1－2
＝1. (2)x 2－4y 2
x 2－4xy ＋4y 2＝（x ＋2y ）（x －2y ）（x －2y ）2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2³42－2³4＝－53
. 活动3 课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为f g ²u v ＝fu gv
. (2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u ≠0，则
规定f g ÷u v ＝f g ²v u ＝fv gu
. (二)自学反馈
1.计算x y ²y 2x 的结果是12
. 2.化简m －1m ÷m －1m 2的结果是m. 3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)b a ²a b ＝1；(2)b a
÷a ＝b ； (3)－x 2b ²6b x 2＝3b x ；(4)4x 3a ÷a 2x ＝23
. 解：(1)对.(2)错.正确的是b a 2.(3)错.正确的是－3x .(4)错.正确的是8x 23a 2.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)4x 3y ²y 2x 3；(2)ab 22c 2÷－3a 2b 24cd
. 解：(1)原式＝4x ²y 3y ²2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2. (2)原式＝ab 22c 2²4cd －3a 2b 2＝－ab 2²4cd 2c 2²3a 2b 2＝－2d 3ac
. 例2 计算：
(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1²a －1a 2－4；(2)149－m 2÷1m 2－7m
. 解：(1)原式＝（a －2）2（a －1）2²a －1（a ＋2）（a －2）＝（a －2）2（a －1）（a －1）2（a －2）（a ＋2）＝a －2（a －1）（a ＋2）
. (2)原式＝149－m 2²m 2－7m 1＝1（7＋m ）（7－m ）²m （m －7）1＝m （m －7）（7＋m ）（7－m ）＝－m 7＋m .
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)3a 4b ²16b 9a 2；(2)12xy 5a ÷8x 2y ；(3)－3xy ÷2y 23x
. 解：(1)原式＝3a ²16b 4b ²9a 2＝43a
. (2)原式＝12xy 5a ²18x 2y ＝12xy 5a ²8x 2y ＝310ax
. (3)原式＝－3xy ²3x 2y 2＝－3xy ²3x 2y 2＝－9x 22y .
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.
2.计算：
(1)x 2－4x 2－4x ＋3÷x 2＋3x ＋2x 2－x
； (2)2x ＋64－4x ＋x 2÷(x ＋3)²x 2＋x －63－x
. 解：(1)原式＝x 2－4x 2－4x ＋3²x 2－x x 2＋3x ＋2＝（x ＋2）（x －2）（x －3）（x －1）²x （x －1）（x ＋1）（x ＋2）＝x （x －2）（x －3）（x ＋1）
＝x 2－2x x 2－2x －3
. (2)原式＝2x ＋64－4x ＋x 2²1x ＋3²x 2＋x －63－x ＝2（x ＋3）（x －2）2²1x ＋3²（x ＋3）（x －2）－（x －3）＝－2（x ＋3）（x －2）（x －3）.
分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号. 活动3 课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.
第2课时 分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.
(一)知识探究 分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为(f g )n ＝f n
g n .(其中n 为正整数) (二)自学反馈
1.计算：
(1)(2ab )2；(2)(－b 2a
)3. 解：(1)(2ab )2＝4a 2b 2. (2)(－b 2a )3＝－b 6a 3. 2.计算：
(1)(－2a b )2²b 36a 2；(2)(3a 2b)2÷(－b 2a
)2. 解：(1)原式＝4a 2b 2²b 36a 2＝23
b. (2)原式＝9a 4b 2÷b 24a 2＝9a 4b 2²4a 2b 2＝36a 6.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)(n 2m )3；(2)(a 2
b －cd 3)3. 解：(1)(n 2m )3＝n 6m 3.
(2)(a 2b －cd 3)3＝（a 2b ）3（－cd 3）3＝a 6b 3
－c 3d 9.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.
例2 计算：
(1)m 3n 2÷(m n )3；(2)(－n 2m )2÷(n 2m 3)3²(2n m )3. 解：(1)m 3n 2÷(m n )3＝m 3n 2÷m 3n 3＝m 3n 2²n 3
m 3＝n 5. (2)(－n 2m )2÷(n 2m 3)3²(2n m )3＝n 24m 2÷n 6m 9²8n 3m 3＝n 24m 2²m 9n 6²8n 3m 3＝2m 4n .
分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式. 活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)2m 2n 3pq 2²5p 2q 4mn 2÷5mnp 3q
； (2)16－a 2a 2＋8a ＋16÷a －42a ＋8²a －2a ＋2
； (3)(a －1a ＋3)2÷(a －1)²9－a 2a －1
. 解：(1)原式＝2m 2n 3pq 2²5p 2q 4mn 2²3q 5mnp ＝12n 2. (2)原式＝（4＋a ）（4－a ）（a ＋4）2²2（a ＋4）a －4²a －2a ＋2＝－2（a －2）a ＋2
. (3)原式＝（a －1）2（a ＋3）2²1a －1²（3＋a ）（3－a ）a －1＝3－a a ＋3
. 2.计算：
(1)(－2x 4y 23z )3；(2)(2ab 3－c 2d )2÷6a 4b 3²(－3c b 2)3. 解：(1)原式＝（－2x 4y 2）3（3z ）3＝－8x 12y 627z 3. (2)原式＝4a 2b 6c 4d 2²b 36a 4²－27c 3b 6＝－18b 3a 2cd 2. 3.化简求值：b 2a 2－ab ÷(b a －b )2²a 2b a －b ，其中a ＝12
，b ＝－3. 解：化简结果是ab ；求值结果为－32.
化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3 课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.
1.3 整数指数幂
1.3.1 同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.
(一)知识探究 同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a ≠0，m ，n 是正整数，且m ＞n ，则a m a n ＝a n ²（a m －n ）a n ＝a m －n . (二)自学反馈
1.计算a 10÷a 2(a ≠0)的结果是(C)
A.a 5
B.－a 5
C.a 8
D.－a 8
2.计算：x 5÷(－x)2＝x 3；(ab)5÷(ab)2＝a 3b
3.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)（－x ）5x 3；(2)（xy ）8（－xy ）5. 解：(1)（－x ）5x 3＝－x 5－3＝－x 2. (2)（xy ）8（－xy ）5＝x 8y 8－x 5y 5＝－x 3y 3. 例2 计算：(x －y)6÷(y －x)3÷(x －y).
解：原式＝(x －y)6÷[－(x －y)]3÷(x －y)＝－(x －y)
6－3－1＝－(x －y)2
. 活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)a 5a 2；(2)（x 2y 3）2（－x 2y 3）2. 解：(1)原式＝a 3.(2)原式＝1.
2.计算：(p －q)4÷(q －p)3²(p －q)2.
解：原式＝(p －q)4÷[－(p －q)3]²(p －q)2＝－(p －q)²(p －q)2＝－(p －q)3. 活动3 课堂小结
同底数幂的除法的运算.
1.3.2 零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a 0＝1(a ≠0).
2.a －n ＝1a n (n 是正整数，a ≠0). (二)自学反馈
1.计算：30＝1；(－2)－3＝－18
. 2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016³10－4.
3.计算：23－(12)0－(12
)－2. 解：原式＝8－1－4＝3.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)3－2；(2)(10)－3；(3)(45
)－2. 解：(1)3－2＝132＝19.(2)10－3＝1103＝0.001. (3)(45)－2＝(54)2＝2516
. 例2 把下列各式写成分式的形式：
(1)3x －3；(2)2x －23y －3.
解：(1)3x －3＝3x 3.(2)2x －23y －3＝6x 2y 3. 例3 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 326 7；(2)－0.001 1.
解：(1)0.000 326 7＝3.267³10－4.(2)－0.001 1＝－1.10³10－3.
活动2 跟踪训练
1.计算：(－2)0＝1；3－1＝13
. 2.把(－100)0，(－3)－2，(－13)2按从小到大的顺序排列为(－100)0>(－13
)2＝(－3)－2. 3.计算：(－1)2 012³(3－π)0＋(12
)－1. 解：原式＝1³1＋2＝3.
活动3 课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.
1.3.3 整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.
(一)知识探究
1.a m ²a n ＝a
m ＋n (a ≠0，m ，n 都是整数). 2.(a m )n ＝a mn
(a ≠0，m ，n 都是整数).
3.(ab)n ＝a n b n (a ≠0，b ≠0，m ，n 都是整数).
(二)自学反馈
计算：
(1)a 3²a －5＝a －2＝1a 2；(2)a －3²a －5＝a －8＝1a
8； (3)a 0²a －5＝a －5＝1a
5；(4)a m ²a n ＝a m ＋n (m ，n 为任意整数).
a m ²a n ＝a m ＋n 这条性质对于m ，n 是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)(a －1b 2)3；(2)a －2b 2²(a 2b －2)－3
.
解：(1)原式＝a －3b 6＝b 6a 3. (2)原式＝a －2b 2²a －6b 6＝a －8b 8＝b 8
a 8. 例2 下列等式是否正确？为什么？
(1)a m ÷a n ＝a m ²a －n ；(2)(a b
)n ＝a n b －n . 解：(1)正确.理由：a m ÷a n ＝a
m －n ＝a m ＋(－n)＝a m ²a －n . (2)正确.理由：(a b )n ＝a n b n ＝a n ²1b
n ＝a n b －n . 活动2 跟踪训练
1.下列式子中，正确的有(D)
①a 2÷a 5＝a －3＝1a 3；②a 2²a －3＝a －1＝1a ；③(a ²b)－3＝1（ab ）3＝1a 3b 3；④(a 3)－2＝a －6＝1a
6. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.计算：[x(x 2－4)]－2²(x 2－2x)2＝
1（x ＋2）
2. 活动3 课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.
1.4 分式的加法和减法
第1课时 同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，f g ±h g ＝f ±h g
. 2.－f g ＝f －g ＝－f g ，－f －g ＝f g
. (二)自学反馈
1.计算：y x ＋2x ＝y ＋2x ；5y －a y ＝5－a y
. 2.计算：
(1)32－3x －1＋3x 2－3x ；(2)a 2a －b －b 2
－2ab b －a
. 解：(1)32－3x －1＋3x 2－3x ＝3－1－3x 2－3x ＝2－3x 2－3x
＝1. (2)a 2a －b －b 2－2ab b －a ＝a 2a －b ＋b 2－2ab a －b ＝（a －b ）2a －b
＝a －b.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)x －1x ＋1x ；(2)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2. 解：(1)原式＝x －1＋1x ＝x x
＝1. (2)原式＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y （x ＋y ）（x －y ）＝3（x ＋y ）（x ＋y ）（x －y ）＝3x －y
. 例2 计算：
(1)m m －1－11－m ；(2)5x x 2－x －51－x
. 解：(1)原式＝m m －1＋1m －1＝m ＋1m －1
. (2)原式＝5x x （x －1）－51－x ＝5x －1＋5x －1＝5＋5x －1＝10x －1
. 活动2 跟踪训练
1.化简x 2
x －1＋x 1－x
的结果是(D) A.x ＋1 B.x －1
C.－x
D.x
2.化简a 2a －b －b 2a －b
的结果是(A) A.a ＋b B.a －b
C.a 2－b 2
D.1
3.计算：(1)x ＋1x －1x ；(2)a b ＋1＋2a b ＋1－3a b ＋1
. 解：(1)原式＝x ＋1－1x ＝1.(2)原式＝a ＋2a －3a b ＋1
＝0.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
第2课时 通分
1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.
2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.12x ，13y
的最简公分母是6xy. 2.对分式y 2x ，x 3y 2，14xy
通分时，最简公分母是12xy 2. 3.通分：
(1)3c 2ab 2与－a 8bc 2；(2)x 4a （x ＋2）与x 6b （x ＋2）
. 解：(1)3c 2ab 2＝3c ²4c 22ab 2²4c 2＝12c 38ab 2c 2；－a 8bc 2＝－a ²ab 8bc 2²ab ＝－a 2
b 8ab 2
c 2. (2)x 4a （x ＋2）＝3bx 12ab （x ＋2），y 6b （x ＋2）＝2ay 12ab （x ＋2）.
活动1 小组讨论
例1 通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5
. 解：(1)最简公分母是2a 2b 2c.
32a 2b ＝3²bc 2a 2b ²bc ＝3bc 2a 2b 2c
， a －b ab 2c ＝（a －b ）²2a ab 2c ²2a ＝2a （a －b ）2a 2b 2c
. (2)最简公分母是(x ＋5)(x －5).
2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10x x 2－25
， 3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25
. 例2 通分：(1)2c bd 与3ac 4b 2；(2)1x 2－4与x 4－2x
. 解：(1)最简公分母是4b 2d.
2c bd ＝8bc 4b 2d ，3ac 4b 2＝3acd 4b 2d
. (2)最简公分母是2(x ＋2)(x －2).
1x 2－4＝1³2（x ＋2）（x －2）³2＝22x 2－8， x 4－2x ＝x －2（x －2）＝－x ²（x ＋2）2（x ＋2）（x －2）＝－x 2
＋2x 2x 2－8
. 活动2 跟踪训练
1.分式1x 2－4，x 2（x －2）的最简公分母为(B)
A.(x ＋2)(x －2)
B.2(x ＋2)(x －2)
C.2(x ＋2)(x －2)2
D.－(x ＋2)(x －2)2
2.分式1x 2－1，x －1x 2－x ，1x 2＋2x ＋1
的最简公分母是x(x ＋1)2(x －1). 3.通分：
(1)x 3y 与3x 2y 2；(2)x －y 2x ＋2y 与xy （x ＋y ）2；(3)2mn 4m 2－9与2m －32m ＋3
. 解：(1)x 3y ＝2xy 6y 2，3x 2y 2＝9x 6y 2. (2)x －y 2x ＋2y ＝x 2－y 22（x ＋y ）2，xy （x ＋y ）2＝2xy 2（x ＋y ）2. (3)2mn 4m 2－9＝2mn 4m 2－9，2m －32m ＋3＝（2m －3）24m 2－9
. 活动3 课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.
第3课时 异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.
(一)知识探究 异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式1x ＋1x （x －1）
的结果是(C) A.x B.1x 2 C.1x －1 D.x x －1
2.下列计算正确的是(D)
A.1x ＋12x ＝13x
B.1x －1y ＝1x －y
C.x x ＋1＋1＝1x ＋1
D.1a －1－1a ＋1＝2a 2－1
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)3x ＋2y ；(2)1a ＋1－1a －1
. 解：(1)原式＝3y xy ＋2x xy ＝3y ＋2x xy
. (2)原式＝a －1（a ＋1）（a －1）－（a ＋1）（a ＋1）（a －1）＝－2（a ＋1）（a －1）
. 例2 计算：
(1)(1－b a ＋b )÷a a 2－b 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q
. 解：(1)原式＝a ＋b －b a ＋b ²a 2－b 2a ＝a a ＋b ²（a ＋b ）（a －b ）a
＝a －b. (2)原式＝2p －3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝2p －3q ＋2p ＋3q （2p ＋3q ）（2p －3q ）＝4p 4p 2－9q 2. 活动2 跟踪训练
1.计算(a 2a －3＋93－a )÷a ＋3a
的结果为(A) A.a B.－a
C.(a ＋3)2
D.1
2.化简(1＋4a －2)÷a a －2
的结果是(A) A.a ＋2a B.a a ＋2
C.a －2a
D.a a －2
3.化简x 2－1x 2－2x ＋1²x －1x 2＋x ＋2x 的结果是3x
. 4.化简(1－1m ＋1)(m ＋1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：化简过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式加减运算的方法思路：
异分母相加减
――→
通分转化为同分母
相加减
――→
分母不变分子（整式）
相加减
2.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
3.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的意义.
2.了解分式方程的基本思路和解法.(重点)
3.理解分式方程可能无解的原因，并掌握验根的方法.(重点)
自学指导：阅读教材P32～34，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
2.在检验分式方程的根时，将所求的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根.
3.解分式方程有可能产生增根，因此解分式方程必须检验.
(二)自学反馈
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①x－2
2
＝
x
3
；②
4
x
＋
3
y
＝7；③
1
x－2
＝
3
x
；④
x（x－1）
x
＝－1；⑤
3－x
π
＝
x
2
；⑥2x＋
x－1
5
＝10；⑦x－
1
x
＝2；
⑧2x ＋1x
＋3x ＝1. 解：①⑤⑥是整式方程，②③④⑦⑧是分式方程.
判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数.
2.解分式方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结.
活动1 小组讨论
例1 解方程：2x －3＝3x
. 解：方程两边同乘x(x －3)，得2x ＝3(x －3).
解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0.
所以，原分式方程的解为x ＝9.
例2 解方程：x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）
. 解：方程两边同乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.
解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0.
所以x ＝1不是原方程的解.所以，原方程无解.
活动2 跟踪训练
解方程：
(1)12x ＝2x ＋3；(2)x x ＋1＝2x 3x ＋3＋1；(3)2x －1＝4x 2－1；(4)5x 2＋x －1x 2－x
＝0. 解：(1)方程两边同乘2x(x ＋3)，得x ＋3＝4x.化简得3x ＝3.解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，2x(x ＋3)≠0.所以x ＝1是方程的解.
(2)方程两边同乘3(x ＋1)，得3x ＝2x ＋3x ＋3.解得x ＝－32
. 检验：当x ＝－32
时，3x ＋3≠0. 所以x ＝－32
是方程的解. (3)方程两边同乘x 2
－1，得2(x ＋1)＝4.解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，x 2－1＝0，所以x ＝1不是方程的解.所以原方程无解.
(4)方程两边同乘x(x ＋1)(x －1)，得5(x －1)－(x ＋1)＝0.解得x ＝32
. 检验：当x ＝32
时，x(x ＋1)(x －1)≠0. 所以x ＝32
是原方程的解.
方程中分母是多项式，要先分解因式再找公分母.
活动3 课堂小结
解分式方程的思路是：
第2课时 分式方程的应用
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结.(重难点)
自学指导：阅读教材P35～36，完成下列问题.
(一)知识探究
列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题设未知数；
(2)找等量关系列方程；
(3)去分母，化分式方程为整式方程；
(4)解整式方程.
(5)验根是否符合实际意义；
(6)答题.
(二)自学反馈
重庆市政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半.后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半.乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖12÷4＝1
8，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要
x 天，那么一天挖1x ；两台挖土机一天共挖18＋1x ；两台一天完成另一半.所以列方程为18＋1x ＝1
2；解得
x ＝83，即乙单独挖需8
3
天.
认真分析题意.根据等量关系列方程.
活动1 小组讨论
例 甲、乙两人分别从相距36千米的A ，B 两地相向而行，甲从A 出发到1千米时发现有东西遗忘在A 地，立即返回，取过东西后又立即从A 向B 行进，这样两人恰好在AB 中点处相遇.已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度各是多少？
分析：
路程 速度 时间 甲 18＋1³2 x ＋0.5 18＋1³2
x ＋0.5
乙
18
x
18x
等量关系：t 甲＝t 乙.
解：设乙的速度为x 千米/小时，则甲的速度为(x ＋0.5)千米/小时. 根据题意，列方程得 18＋1³2x ＋0.5＝18
x .
解得x ＝4.5.
检验：当x ＝4.5时，x(x ＋0.5)≠0. 所以x ＝4.5是原方程的解.则x ＋0.5＝5.
答：甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4.5千米/小时.
等量关系是时间相等，那么就要找到相等时间里每个人所走的路程，甲的路程比乙的路程
多两个1千米. 活动2 跟踪训练
1.A 、B 两地相距135千米，有大、小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度. 解：设大汽车的速度为2x 千米/小时，则小汽车的速度为5x 千米/小时. 根据题意，列方程得135－2x ³5
2x ＝135－12³5x
5x .
解得x ＝9.
检验：当x ＝9时，10x ≠0. 所以，x ＝9是原方程的解. 则2x ＝18，5x ＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时
间.
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x 天，则甲队独做需x 天，乙队独做需(x ＋3)天，根据题意，列方程得 2x ＋x
x ＋3
＝1.解得x ＝6. 检验：当x ＝6时，x(x ＋3)≠0.所以，x ＝6是原方程的解. 答：规定日期是6天. 活动3 课堂小结
1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和写答案.
第2章 三角形
2.1 三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
1.通过具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素.
2.学会三角形的表示及根据“是否有边相等”对三角形进行的分类.
3.掌握三角形三条边之间的关系.(重点)
自学指导：阅读教材P42～44，完成下列各题. (一)知识探究
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.等边三角形：三条边都相等的三角形.
3.等腰三角形：有两边相等的三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
4.不等边三角形：三条边都不相等的三角形.
5.三角形按边的相等关系分类：
三角形⎩⎪⎨⎪
⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 6.三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边.
三角形两边之和大于第三边指的是三角形任意两边之和大于第三边，即a ＋b>c ，b ＋c>a ，
c ＋a>b 三个不等式同时成立. (二)自学反馈
1.找一找，图中有多少个三角形，并把它们写下来.
解：图中有5个三角形.分别是△ABE 、△DEC 、△BEC 、△ABC 、△DBC. 2.下列长度的三条线段能否组成三角形？ (1)3，4，8；(不能) (2)2，5，6；(能)
(3)5，6，10；(能)
(4)5，6，11.(不能)
用较短的两条线段之和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能.
活动1 小组讨论
例如图，D是△ABC的边AC上一点，AD＝BD，试判断AC与BC的大小.
解：在△BDC中，有BD＋DC>BC(三角形的任意两边之和大于第三边).
又因为AD＝BD，
则BD＋DC＝AD＋DC＝AC，
所以AC>BC.
活动2 跟踪训练
1.现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取(B)
A.10 cm的木棒
B.20 cm的木棒
C.50 cm的木棒
D.60 cm的木棒
2.看图填空，如图：
(1)如图中共有4个三角形，它们是△ABC、△EBG、△AEF、△CGF；
(2)△BGE的三个顶点分别是B、G、E，三条边分别是BE、EG、BE，三个角分别是∠B、∠BEG、∠BGE；
(3)△AEF中，顶点A所对的边是EF；边AF所对的顶点是E；
(4)∠ACB是△ACB的内角，∠ACB的对边是AB.
3.用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米.则x＋2x＋2x＝18.解得x＝3.6.
所以三边长分别为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米.
(2)①当4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4＋2x＝18.解得x＝7.
所以等腰三角形的三边长为7厘米、7厘米、4厘米；
②当4厘米长为腰长，设底边长为x厘米，可得4³2＋x＝18.解得x＝10.
因为4＋4<10，所以此时不能构成三角形.
即可围成等腰三角形，且三边长分别为7厘米、7厘米和4厘米.
活动3 课堂小结
1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.三角形的对、角、顶点及表示方法.
2.三角形的分类：按边和角分类.
3.三角形的三边关系：三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边的差小于第三边.
第2课时三角形的高、角平分线和中线
1.能找到一个三角形的高，知道三角形的角平分线和中线的含义，了解三角形的重心.(重点)
2.能应用三角形的高、角平分线和中线解决相关的问题.(难点)
自学指导：阅读教材P44～45，完成下列问题.
(一)知识探究
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
2.在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
3.在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线；三角形的三条中线相交于一点，我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.
(二)自学反馈
1.如图，过△ABC的顶点A作BC边上的高，以下作法正确的是(A)
2.如图所示，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，那么下列说法中不正确的是(D)
A.在△CDE中，∠C的对边是DE
B.BD是△ABC的中线
C.AD＝DC，BE＝EC
D.DE是△ABC的中线
3.如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线(D)
A.△ABE
B.△ADF
C.△ABC
D.△ABC，△ADF
活动1 小组讨论
例如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高.
(1)图中共有几个三角形？请分别列举出来.
(2)其中哪些三角形的面积相等？
解：(1)图中有6个三角形，它们分别是△ABD ，△ADE ，△AEC ，△ABE ，△ADC ，△ABC. (2)因为AD 是△ABC 的中线， 所以BD ＝DC.
因为AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 又S △ABD ＝12BD ²AE ，S △ADC ＝1
2DC ²AE ，
所以S △ABD ＝S △ADC .
活动2 跟踪训练
1.一定能将三角形面积平分成相等两部分的是三角形的(B) A.高线 B.中线 C.角平分线 D.不确定
2.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，把△ABC 沿直线AC 翻折180°，使点B 落在点B ′的位置，则线段AC(D)
A.是边BB ′上的中线
B.是边BB ′上的高
C.是∠BAB ′的角平分线
D.以上都对
3.如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC ＝4 cm 2
，则S △ABE 的面积是1cm 2
.
活动3 课堂小结
三角形中几条重要线段：高、角平分线、中线.
第3课时三角形内角和定理
1.知道三角形的内角和是180°，能应用此性质解决相关问题.
2.知道三角形的分类，并会用数学符号表示直角三角形.
3.会找一个三角形的外角，能应用三角形外角的性质解决相关问题.(重点)
自学指导：阅读教材P46～48，完成下列问题.
(一)知识探究
1.三角形的内角和等于180°.
2.三角形中，三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.
3.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
(二)自学反馈
1.△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是(B)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
2.在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝50°.
3.求下列各图中∠1的度数.
解：75°，125°.
活动1 小组讨论
例在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有3x＋x＋(x＋15)＝180.
解得x＝33.
所以3x＝99，x＋15＝48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
活动2 跟踪训练
1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C的度数为(C)
A.45°
B.60°
C.75°
D.90°
2.如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是(A)
A.63°
B.83°
C.73°
D.53°
3.如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，则∠D的度数为20°，∠ACD的度数为110°.
活动3 课堂小结
2.2 命题与证明
第1课时定义与命题
1.知道“定义”和“命题”，能判断给出的语句哪些是命题.
2.能把简单的命题写成“如果……，那么……”的形式，能找到命题的条件和结论.(重点)
3.知道什么是“原命题”、“逆命题”和“互逆命题”，能写出已知命题的逆命题.(重难点)
自学指导：阅读教材P50～52，完成下列问题.
(一)知识探究
1.对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.
2.对某一件事情作出判断的语句(陈述句)叫作命题.
3.命题通常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.
4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每一个命题都有逆命题.
(二)自学反馈
1.下列语句中，属于定义的是(D)
A.两点确定一条直线
B.平行线的同位角相等
C.两点之间线段最短
D.直线外一点到直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离
2.下列语句中哪些是命题，哪些不是命题？
(1)负数都小于零；
(2)当a＞0时，|a|＝a；
(3)平角与周角一定不相等.
解：(1)(2)(3)都是命题.
3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式.
(1)对顶角相等；
解：如果这两个角是对顶角，那么这两个角相等.
(2)同位角相等.
解：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
活动1 小组讨论
例1判断下列语句哪些是命题？哪些不是？
(1)画一个角等于已知角；(2)两直线平行，同位角相等；(3)同位角相等，两条直线平行吗？(4)鸟是动物；(5)若x－5＝0，求x的值.
解：(2)(4)是命题；(1)(3)(5)不是命题.
例2指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.
(1)两直线平行，同位角相等；
解：条件是“两直线平行”，结论是“同位角相等”.
可以改写成“如果两直线平行，那么同位角相等”.
逆命题是：同位角相等，两直线平行.
(2)垂直于同一直线的两条直线平行；
解：条件是“垂直于同一直线的两条直线”，结论是“这两条直线平行”.
可以改写成“如果有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”.
逆命题是：两条直线平行，这两条直线会垂直于同一直线.
(3)对顶角相等.
解：条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”.
可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”.
逆命题是：相等的角是对顶角.
活动2 跟踪训练
1.下列语句中，是命题的是(B)
A.连接A、B两点
B.锐角小于钝角
C.作平行线
D.取线段AB的中点M
2.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并写出它的逆命题.
(1)能被2整除的数必能被4整除；
解：如果一个数能被2整除，那么这个数一定能被4整除.
(2)异号两数相加得零.
解：如果两个数异号，那么这两个数相加的和为零.
3.写出下列命题的逆命题.
(1)直角三角形的两个锐角互余；
解：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
(2)若a＝0，则ab＝0.
解：若ab＝0，则a＝0.。