高考数学专题检测 等差数列

6.2 等差数列
一、选择题
1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a n }中,若a 2+a 3+a 4=6,a 6=4,则公差d=( )
A.1
B.2
C.13
D.23
答案 D ∵{a n }是等差数列,a 2+a 3+a 4=6,∴3a 3=6,a 3=2,又a 6=4,∴a 6-a 3=3d=2,∴d=23
. 2.(2021皖北协作体模拟,4)等差数列{a n }的公差为d,当首项a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,则下列选项中一定为定值的是( )
A.a 10
B.a 11
C.a 12
D.a 13
答案 B ∵等差数列{a n }的公差为d,∴a 2+a 10+a 21=a 1+d+a 1+9d+a 1+20d=3(a 1+10d)=3a 11.∵当a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,∴3a 11是定值,即a 11是一个定值.故选B.
3.(2022届河南三市联考,4)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )
A.5
B.7
C.9
D.11
答案 A 由等差数列{a n }的性质及a 1+a 3+a 5=3,得3a 3=3,∴a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2
=5a 3=5.故选A. 4.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,且a 4b 6=13,则S 7T 11
=( ) A.733 B.13 C.1433 D.711
答案 A S 7=7(a 1+a 7)2=7×2a 42=7a 4,T 11=11(b 1+b 11)2=11×2b 62=11b 6,∴S 7T 11=7a 411b 6=711×13=733
. 5.(2022届北京交大附中开学考,3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=a 3,且a 3≠0,则S 4S 3
=( ) A.1 B.53 C.83
D.3 答案 C 设等差数列{a n }的公差为d,∵S 3=a 3,且a 3≠0,
∴3a 1+3d=a 1+2d,∴-2a 1=d ≠0.
∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d =83. 6.(2022届北京一零一中学统练二,6)设{a n }是等差数列,下列结论中正确的是( )
A.若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0
B.若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0
C.若0<a 1<a 2,则a 2>√a 1a 3
D.若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0
答案 C 对于A,取a 1=1,a 2=0,a 3=-1,满足a 1+a 2>0,但a 2+a 3=-1<0,故A 中结论不正确. 对于B,取a 1=1,a 2=-1,a 3=-3,满足a 1+a 3<0,但a 1+a 2=0,故B 中结论不正确.
对于D,取a 1=-1,a 2=-2,a 3=-3,满足a 1<0,但(a 2-a 1)(a 2-a 3)<0,故D 中结论不正确.故选C.
7.(2022届西南名校联考,6)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若a 2<-a 11<a 1,则( )
A.S 11>0且S 12<0
B.S 11<0且S 12<0
C.S 11>0且S 12>0
D.S 11<0且S 12>0
答案 A 由题意知,a 1+a 11>0,a 2+a 11=a 1+a 12<0,得S 11=11(a 1+a 11)2>0,S 12=12(a 1+a 12)2
<0.故选A. 8.(2022届广西北海模拟,10)已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=10,且a 1,a 2,a 3+1成等比数列,则公差d=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A ∵S 4=10,∴4a 1+4×32
d=10,即2a 1+3d=5①, ∵a 1,a 2,a 3+1成等比数列,∴(a 1+d)2=a 1(a 1+2d+1),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+2a 1d+a 1,也即d 2
=a 1②,联立①②解得{d =1,a 1=1或{d =-52,a 1=254
(舍去). 9.(2021上海松江一模)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知点(n,a n )在直线y=10-2x 上,若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,则实数k 的取值范围是( )
A.(8,14]
B.(14,18]
C.(18,20]
D.(18,
814
] 答案 C 由已知可得a n =10-2n,
因为a n -a n-1=-2,n ≥2,所以数列{a n }为等差数列,首项为8,公差为-2,
所以S n =8n+n(n -1)2
×(-2)=-n 2+9n,当n=4或5时,S n 取得最大值,为20,因为有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,所以满足条件的n=4和n=5,因为S 3=S 6=18,所以实数k 的取值范围是(18,20].故选C. 二、填空题
10.(2022届四川绵阳第一次诊断,13)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=2,S 7=35,则a 6= . 答案 7
解析 由等差数列性质知S 7=7(a 1+a 7)2
=7a 4=35,故a 4=5.又∵a 1=2,∴公差d=1.∴a n =n+1,则a 6=7. 11.(2022届清华附中10月月考,11)已知数列{a n }满足a n+1-a n =3(n ∈N *
),a 3=1,则a 5= . 答案 7
解析 由数列{a n }满足a n+1-a n =3(n ∈N *
),得数列{a n }是以3为公差的等差数列, 又a 3=1,所以a 5=a 3+2×3=1+6=7.
12.(2022届北京一零一中学统练二,11)若数列{a n }满足a 1=-2,且对于任意的m,n ∈N *
,都有a m+n =a m +a n ,则a 3= ;数列{a n }的前10项和S 10= .
答案 -6;-110
解析 ∵对于任意的m,n ∈N *,都有a m+n =a m +a n , ∴取m=1,有a n+1-a n =a 1=-2,
∴数列{a n }是以-2为首项,-2为公差的等差数列,
∴a n =-2-2(n-1)=-2n.
∴a 3=-6.
数列{a n }的前10项和S 10=10×(-2-20)2
=-110. 13.(2022届广西模拟,15)在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使S n 达到最大值的n 是 .
答案 20
解析 因为a 1+a 3+a 5=3a 3=105,a 2+a 4+a 6=3a 4=99,所以a 3=35,a 4=33,从而公差d=-2,则
a 1=39,S n =39n+12
n(n-1)(-2)=-n 2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,S n 取最大值. 三、解答题
14.(2022届江苏泰州中学检测,20)已知数列{a n }满足a 1=6,a n-1a n -6a n-1+9=0,n ∈N *
且n ≥2. (1)求证:数列{1a n -3
}为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式;
(3)设b n =a n (n+1)2,求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)证明:当n ≥2时,a n-1a n -6a n-1+9=0⇒a n =6a n -1-9a n -1,∴1a n -3-1a n -1-3=a n -13a n -1-9-1a n -1-3=a n -1-33(a n -1-3)=13
.又∵1a 1-3=13,∴数列{1a n -3}是以13为首项,13
为公差的等差数列. (2)由(1)得1a n -3=13+(n-1)·13=n 3,∴a n =3(n+1)n
. (3)∵b n =a n (n+1)2=3n(n+1)=3(1n -1n+1
),∴T n =b 1+b 2+…+b n =3(1-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n -1n+1)=3(1-
1n+1)=3n n+1.
15.(2022届北京一七一中学10月月考,16)已知等比数列{a n }的各项均为正数,a 2=8,a 3+a 4=48.
(1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设b n =log 4a n 证明:{b n }为等差数列,并求{b n }的前n 项和S n .
解析 (1)设等比数列{a n }的公比为q,依题意知q>0,
∵a 2=8,a 3+a 4=48,∴a 1q=8,a 1q 2+a 1q 3
=48,
即8q+8q 2=48,解得q=2或q=-3(舍),∴a 1=a 2q
=4, ∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1·q n-1=2n+1.
(2)由(1)得b n =log 4a n =log 42n+1=(n+1)·log 42=n+12
, ∵b n+1-b n =n+22-n+12=12,∴数列{b n }是首项为1,公差d=12
的等差数列, ∴S n =nb 1+n(n -1)2d=n 2+3n 4
. 16.(2022届广东阶段测,17)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +a n-1=2n(n ≥2,n ∈N *).
(1)记b n =a 2n ,求数列{b n }的通项公式;
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解析 (1)依题意得,a 2+a 1=4,又a 1=1,故b 1=a 2=3.
因为a 2n+2+a 2n+1=4n+4,a 2n+1+a 2n =4n+2,
所以b n+1-b n =a 2n+2-a 2n =(a 2n+2+a 2n+1)-(a 2n+1+a 2n )=(4n+4)-(4n+2)=2.
因此,{b n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为b n =2n+1.
(2)解法一:因为a 2n +a 2n-1=4n,所以由(1)知a 2n-1=4n-a 2n =2n-1.
当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 3+…+a 2k-1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=(1+3+…+2k-1)+(3+5+…+2k+1)=(1+2k -1)·k 2+(3+2k+1)·k 2
=k(2k+2)=n(n+2)2
. 当n=2k-1(k ∈N *)时,S n =S n+1-a n+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)-12
. 因此,S n ={n(n+2)-12,n 为奇数,n(n+2)2
,n 为偶数. 解法二:当n=2k(k ∈N *
)时, S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1+a 2k )=4+8+…+4k=(4+4k)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2
. 当n=2k+1(k ∈N *
)时,
S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+6+10+…+(4k+2)
=1+(6+4k+2)·k 2=k(2k+4)+1=(n -1)(n+3)2+1=n(n+2)-12,S 1=a 1=1=1×3-12
也满足上式. 故S n ={n(n+2)-12,n 为奇数,n(n+2)2
,n 为偶数. 17.(2022届河南调研,18)已知数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1(n ∈N *
),设数列{a n }的前n 项和为S n .
(1)证明:数列{a n 2n }是等差数列. (2)求S n .
解析 (1)证明:由a n+1=2a n +2n+1,得a n+12n+1-a n 2n =1. 因为a 121=2,所以数列{a n 2n }是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得a n 2n =2+(n-1)×1=n+1,所以a n =(n+1)·2n ,所以S n =2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n ①,2S n =2×22+3×23+…+n×2n +(n+1)×2n+1②,①-②得-S n =2×21+22+…+2n -(n+1)×2n+1=-n ·2n+1,所以S n =n ·2n+1.
18.(2021湖南百校联考,17)在①a n+1a n =-12,②a n+1-a n =-16
,③a n+1=a n +n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的S n 存在最大值,则求出最大值;若问题中的S n 不存在最大值,请说明理由. 问题:设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=4, ,求{a n }的通项公式,并判断S n 是否存在最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.
解析 方案一:选①.
因为a n+1a n =-12,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公比为-12的等比数列.所以a n =4×(-12)n -1=(-12
)n -3, 当n 为奇数时,S n =4[1-(-12)n ]1+12
=83(1+12n ), 因为S n =83(1+12n )随着n 的增大而减小,所以S n 的最大值为S 1=4. 当n 为偶数时,S n =83(1-12n ),且S n =83(1-12n )<83
<4.综上,S n 存在最大值,且最大值为4. 方案二:选②.
因为a n+1-a n =-16,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公差为-16的等差数列,所以a n =4+(n-1)(-16)=-16n+256,由-16n+256
≥0,得n ≤25,
所以S n 存在最大值,且最大值为S 25(或S 24),因为S 25=25×4+25×242×(-16
)=50,所以S n 的最大值为50.
方案三:选③.
因为a n+1=a n+n-8,所以a n+1-a n=n-8,
所以a2-a1=-7,a3-a2=-6,……,a n-a n-1=n-9(n≥2),
则a n-a1=a2-a1+a3-a2+…+a n-a n-1=(-7+n-9)(n-1)
2=n2-17n+16
2,又a1=4,所以a n=
n2-17n+24
2,
当n≥16时,a n>0恒成立,故S n不存在最大值.。