高中数学第二章平面向量2.1向量的线性运算2.1.3向量的减法示范教案新人教B新人教B高一数学教案

2.1.3 向量的减法
示范教案
整体设计
教学分析
向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
三维目标
1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念；理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．
2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．3．能熟练地通过作图，求作两个向量的差．
重点难点
教学重点：向量的减法运算及其几何意义．
教学难点：对向量减法定义的理解．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比联想导入)上节课，我们学习了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们进一步学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．
推进新课
新知探究
提出问题 1向量是否有减法？ 2怎样定义向量的减法运算？ 3如何理解向量的减法？ 4向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？
活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？
引导学生思考，相反向量有哪些性质？
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量．
于是－(－a )＝a .
我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．
任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.
所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.
(1)平行四边形法则
如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －
b .
图1
又b ＋BC →＝a ，
所以BC →＝a －b .
由此，我们得到a －b 的作图方法．
(2)三角形法则
如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可
以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
图2
讨论结果：(1)向量也有减法运算．
(2)定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．
与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫作a 的相反向量，记作－a .
(3)向量减法的定义．我们定义
a －
b ＝a ＋(－b )，
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
规定：零向量的相反向量是零向量．
(4)向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．
应用示例
思路1
例1如图3，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？
图3
活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，
同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .
变式训练
1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )
A ．a ＋b ＋c
B ．a －b ＋c
C ．a ＋b －c
D ．a －b －c
解析：如图4，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD
→＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .
图4
答案：B
2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .
①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？
②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?
③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？
④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？
解：如图5，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线．
图5
由平行四边形法则，得
AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .
由此问题就可转换为：
①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)
②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)
③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a |＝|b |)
④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)
例2如图6，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b ＋c .
活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
解：在平面上任取一点O ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b .
再作B C →＝c ，并以BA 、BC 为邻边作BADC ，
则B D →＝B A →＋B C →＝a －b ＋c (如图7)．
图6 图7
变式训练
1．在ABCD 中，下列结论中错误的是( )
A.AB →＝DC →
B.AD →＋AB →＝AC →
C.AB →－AD →＝BD →
D.AD →＋BC →＝0
解析：A 显然正确，由平行四边形法则，可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →＋BC
→＝AD →＋DA →＝0正确．
答案：C
2．已知向量a ，b ，c 与d ，求a －b ，c －d (图8)．
图8
解：作OA →＝a ，OB ＝b ，作BA →，则
a －
b ＝OA →－OB →＝BA →
；
作OC →＝c ，OD →＝d ，作DC →，则 c －d ＝OC →－OD →＝DC →
.
思路2
例1判断题：
(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．
(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.
(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．
(4)|a ＋b|≥|a －b |.
解：(1)若a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；
若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，
此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．
(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论．
(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．
(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定；
当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.
综上所述，只有(2)正确．
例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )
A ．[3,8]
B ．(3,8)
C ．[3,13]
D ．(3,13)
解析：BC →＝AC →－AB →.
(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；
(2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；
(3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13.
综上，可知3≤|BC →|≤13.
答案：C
点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解.
三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.
证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且a ∥\\ b ，b ∥\\ c ，c ∥\\ a ，
(1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ，
另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.
由于CA →与AC →是一对相反向量， ∴有AC →＋CA →＝0，故有a ＋b ＋c ＝0.
(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0，
∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.
∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形.
3已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.
解：如图9，设AB →＝a ， AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作ABCD ，则AC →＝a ＋b ， DB →＝a －
b .
图9
因为|a ＋b |＝|a －b |，
所以| AC →|＝|DB →|.
又四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形．故AD⊥AB.
在Rt△DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理，得|DB →|＝
|AB →|2＋|AD →|2 ＝62＋82＝
10.所以|a ＋b |＝|a －b |＝10. 课堂小结
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业
课本本节练习A 组 1,2.
设计感想
1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．
2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
3．关于向量减法，在向量代数中常有两种定义方法，第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫作a 与b 的差，记作a －b .这样作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ， OB →＝b ，则BA →
就是a －b .这种定义向量减法，学生较难理解定义本身，但很容易作a －b .
第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量加法定义，即定义a －b ＝a ＋(－b )．用这种方法定义，通过类比数的减法，学生容易接受a －b ＝a ＋(－b )，但作图较繁．实际上这两种定义方法没有本质的区别．
备课资料
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是：若两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．
只要学生理解法则内容，那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：
例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.
解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.
例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.
解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.
二、备用习题
1．下列等式中，正确的个数是( )
①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )
图10
A.FD →
B.FC →
C.FE →
D.BE →
3．下列式子中不能化简为AD →的是( )
A ．(A
B →＋CD →)＋B
C → B ．(A
D →＋MB →)＋(BC →＋CM →)
C.MB →＋AD →－BM →
D.OC →－OA →＋CD →
4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△ABC 的( )
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
5．若非零向量AB →与AC →满足|AB →＋AC →|＝|BC →|，则△ABC 的形状是( )
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
6．已知两向量a 和b ，求证：|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是a 的方向与b 的方向垂直． 参考答案：
1．B 2.D 3.C 4.A 5.C
6．证明：(1)充分性：
设OA →＝a ，OB →＝b ，使OA →⊥OB →，以OA 、OB 为邻边作矩形OBCA ，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.
∵四边形OBCA 为矩形，∴|OC →|＝|BA →|，故|a ＋b|＝|a －b |.
(2)必要性：
设OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形，则|a ＋b |＝|OC →|，|a －b |＝|BA →|.
∵|a ＋b|＝|a －b |，∴|OC →|＝|BA →|. ∴OBCA 为矩形．∴a 的方向与b 的方向垂直．。