第一章 集合典型例题(2)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练

专题02 集合中的典型题（2）（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分
一、选择题：
1.若集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，B={(x,y)|y2=2x}，则A∩B中元素的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.集合M={y|y=8
x+3
,x，y∈N}的元素个数是()
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
3.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()
A. P=Q
B. P⊆Q
C. P⊇Q
D. P∩Q=ϕ
4.已知集合M={x∈N|−2≤x<4},N={x|x+1
3−x
≥0}，则集合M⋂N中的元素的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.设P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2}，则P,Q的关系是()
A. P⊆Q
B. P⊇Q
C. P=Q
D. P∩Q=⌀
6.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()
A. 3
2⩽m <1
3
B. m⩾0
C. m⩾3
2
D. 3
2
<m<1
3
二、多选题
7.设全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是()
A. M∩∁U N
B. N∩∁U M
C.
D.
8.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，
用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()
A. M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素
9.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法
中不正确的是
A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合
D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
三、单空题
10.设集合A={x|2<x<3},B={x|x>a}，若A⋃B=B，则实数a的取值范围为________．
11.已知集合A={x|−2⩽x⩽7}，B=x|m+1<x<2m−1.若B⊆A，则实数m的取值范围是．
12.已知集合A={x|0<x<2}，集合B={x|−1<x<1}，集合C={x|mx+1>0}，若(A∪B)⊆C，则
实数m的取值范围是_________．
13.已知集合A={0,1},B={a2,2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}记作A∗B，若
集合A∗B中的最大元素是2a+1，则a的取值范围是．
四、解答题
14.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}．
(1)求A⋃∁R B；
(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．
15.全集U=R，A={x∈R|a+1+x>0}，不等式组{2x+1≥x−3,
的解集为B．
3x+2<0
(1)若a=1，求A⋂B，(∁U B)∪A；
(2)要使集合A中的每一个x值至少满足不等式“1<x<3”，和“x>4或x<2”中的一个，求a的
集合．
16.已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|1≤2x+5≤15}，
(1)已知a=3，求(C R P)∩Q
(2)若P∪Q=Q，求实数a的取值范围．
17.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，
(1)若A∪M=R，求实数a的取值范围；
(2)若B∪(∁R M)=B，求实数b的取值范围．
专题02 集合中的典型题（2）
（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分
一、选择题：
1.若集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，B={(x,y)|y2=2x}，则A∩B中元素的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了交集及其运算，集合中元素的个数问题，考查学生的计算能力
根据题意可知A={(x,y)|x=0或x=2，y∈R}，再根据交集的定义即可得A∩B，从而即可得A∩B中元素的个数．
【解答】
解：∵集合A={(x,y)|x2−2x=0，y∈R}，
∴A={(x,y)|x=0或x=2，y∈R}，
又∵B={(x,y)|y2=2x}，
所以A∩B={(0,0)，(2,2)，(2,−2)}，
故选C．
,x，y∈N}的元素个数是()
2.集合M={y|y=8
x+3
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了集合中元素的个数，考查了用赋值法分析和解决问题
根据题中给出的条件，x，y∈N，分别从最小的自然数0开始给x代值，求相应的y的值，直到得出的y<1为止，求出y∈N的个数．
【解答】
,x，y∈N}，
解：因为M={y|y=8
x+3
∉N；
所以，当x=0时，y=8
3
=2∈N；
当x=1时，y=8
1+3
当x=2时，y=8
2+3=8
5
∉N；
当x=3时，y=8
3+3=4
3
∉N；
当x=4时，y=8
4+3=8
7
∉N；
当x=5时，y=8
5+3
=1∈N；
当x≥6时，y=8
x+3
<1，所以y∉N．
综上，M={y|y=8
x+3
,x，y∈N}={2，1}，元素个数是2个，
故选A．
3.已知集合P={x|y=√x+1}，集合Q={y|y=√x+1}，则P与Q的关系是()
A. P=Q
B. P⊆Q
C. P⊇Q
D. P∩Q=ϕ
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得P={x|x≥−1}，Q={x|x≥0}，结合集合子集的定义，分析可得答案．
本题考查集合的表示方法．关键是注意到集合P、Q的不同意义．
【解答】
解：根据题意，集合P{x|y=√x+1}表示函数y=√x+1√x+1的定义域，即P={x|x≥−1}
集合Q表示函数y=√x+1的值域，即Q={x|x≥0}
分析可得Q是P的子集，即P⊇Q；
故选：C．
4.已知集合M={x∈N|−2≤x<4},N={x|x+1
3−x
≥0}，则集合M⋂N中的元素的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了交集及其运算，元素的个数问题，属于基础题.根据题意，求出集合M与N，进而可得由交集的定义可得M∩N，即可得答案．
【解答】
解： 根据题意，M ={x ∈N|−2⩽x <4}={0,1,2,3}，
N ={x ∣x+13−x ⩾0}={x|−1⩽x <3}，
则M ∩N ={0,1,2}，则集合M ∩N 中元素中有3个元素；
故选：C ．
5. 设P ={x|y =x 2},Q ={(x,y)|y =x 2}，则P,Q 的关系是( )
A. P ⊆Q
B. P ⊇Q
C. P =Q
D. P ∩Q =⌀
【答案】D
【解析】
【分析】 本题考查集合的表示法、判断集合间的关系，
利用集合的表示方法；判断出两个集合的元素一个是有数构成的，一个是由点构成的，判断出选项．
【解答】
解：集合P 表示y =x 2定义域，是实数集，
集合Q 表示曲线y =x 2上的点，是点集，
集合P 与集合Q 的元素不同，
所以P ∩Q =⌀，
故选D ．
6. 已知集合A =(1,3)，集合B ={x|2m <x <1−m}.若A ∩B =⌀，则实数m 的取值范围是( )
A. 32⩽m <13
B. m ⩾0
C. m ⩾32
D. 32<m <13 【答案】B
【解析】
【分析】 本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识，
分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围．
【解答】
解：由A ∩B =Ø，得：
①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =Ø，符合题意；
②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ≤1或{m <132m ≥3,
得0≤m<1
，或Ø，
3
，
即0≤m<1
3
∴m≥0，
∴实数m的取值范围m≥0．
故选B．
二、多选题
7.设全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是()
A. M∩∁U N
B. N∩∁U M
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查集合的运算及Venn图表达集合的关系及运算．
由Venn图结合集合运算，逐一判断求解即可．
【解答】
解：全集U是实数集R，则图中阴影部分的集合表示正确的是N∩∁U M或∁M∪N M或∁N(M∩N)，
故BCD正确，
而M∩∁U N⊆M，所以A错误．
故选BCD．
8.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，
用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=⌀，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是()
A. M={x|x<0},N={x|x>0}是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【解析】
【分析】
本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，集合中元素的性质，
由题意知，作为有理数集Q的两个子集：集合M与集合N，易判断它们中有无最大元素和最小元素．【解答】
解：M={x|x<0},N={x|x>0}，M∪N≠Q不是戴德金分割，A错误；
M={x|x<10,x∈Q}，N={x|x≥10,x∈Q}，显然集合M中没有最大元素，
集合N中有一个最小元素，即选项B可能;
假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，
M={x|x<√2,x∈Q}，N={x|x≥√2,x∈Q}，
显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项D可能．
故选BD．
9.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法
中不正确的是
A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合
D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，
根据集合M为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．
【解答】
解：A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时，2,4∈M，
而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．
B.设a,b是任意的两个正整数，
则a+b∈M，但a−b不一定属于M，
所以正整数集不为闭集合．
C.当M={n|n=3k,k∈Z}时，
设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z，
则a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=3(k1−k2)∈M，
所以集合M是闭集合．
D.设A1={n|n=3k,k∈Z}，A2={n|n=2k,k∈Z}
由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈(A1∪A2)，
而(2+3)∉(A1∪A2)，此时A1∪A2不为闭集合．
所以说法中不正确的是ABD．
故选ABD．
三、单空题
10.设集合A={x|2<x<3},B={x|x>a}，若A⋃B=B，则实数a的取值范围为________．
【答案】a≤2
【解析】
【分析】
本题考查集合的并集运算，直接由并集的定义求解即可．
【解答】
解：因为A∪B=B，
所以A⊆B，
所以a≤2．
故答案为a≤2．
11.已知集合A={x|−2⩽x⩽7}，B=x|m+1<x<2m−1.若B⊆A，则实数m的取值范围是．【答案】(−∞,4]
【解析】
【分析】
本题考查子集与真子集，集合关系中的参数取值问题，考查分类讨论思想，
按B =⌀和B ≠⌀讨论即可求得实数m 的取值范围．
【解答】
解：∵A ={x|−2⩽x ⩽7}，B ={x|m +1<x <2m −1}，
当m +1≥2m −1，即m ≤2时，B =⌀⊆A ，符合题意，
当m +1<2m −1，即m >2时，若B ⊆A ，必须{m +1≥−22m −1≤7
, 解得−3≤m ≤4与m >2交得2<m ≤4，
综上，实数m 的取值范围是(−∞,4]．
故答案为(−∞,4]．
12. 已知集合A ={x|0<x <2}，集合B ={x|−1<x <1}，集合C ={x|mx +1>0}，若(A ∪B)⊆C ，则
实数m 的取值范围是_________．
【答案】−12≤m ≤1
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，
根据集合的包含关系得到关于m 的不等式，解出即可．
【解答】
解：由题意可知，A ∪B =(−1,2)，集合C ={x|mx +1>0}．
当m =0时，C =R ，符合题意；
当m >0时，C =(−1m ,+∞)，由于(A ∪B)⊆C ，则有−1m ≤−1，解得m ≤1，
结合m >0，故0<m ≤1；
当m <0时，C =(−∞,−1m )，由于(A ∪B)⊆C ，则有−1m ≥2，解得m ≥−12，
结合m <0，故−12≤m <0；
综上，实数m 的取值范围为−12≤m ≤1． 13. 已知集合A ={0,1},B ={a 2,2a }，其中a ∈R ，我们把集合{x |x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B }记作A ∗B ，若
集合A ∗B 中的最大元素是2a +1，则a 的取值范围是 ．
【答案】0<a <2
【解析】
【分析】
本题考查了集合和解不等式的知识，注意对新定义的理解．
根据题意可知集合A∗B中元素，然后由2a+1为集合A∗B中的最大元素，列出不等式即可求出．
【解答】
解：由题意可知集合A∗B中的元素可能包含a2，2a，a2+1，2a+1，
显然a2+1>a2，2a+1>2a，a2≠2a，a2+1≠2a+1，
故集合A∗B中的最大元素为2a+1或a2+1，且2a+1≠a2+1．
∵2a+1为集合A∗B中的最大元素，
∴可列不等式2a+1>a2+1，
解不等式得0<a<2，
故答案为：0<a<2．
四、解答题
14.已知集合A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}．
(1)求A⋃∁R B；
(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】解：(1)∵A={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}={x|x>2}，
∴∁R B={x|x≤2}；
∴A∪∁R B={x|x⩽3}
(2)当a≤1时，C=⌀，此时C⊆A，
当a>1时，C⊆A，则1<a≤3，
综上所述，a的取值范围是(−∞,3]．
【解析】本题考查集合交、并、补集的混合运算，集合关系中的参数取值问题，对数不等式的解法，(1)先求出集合B，再利用补集和并集的运算即可求解；
(2)由(1)中集合A，结合集合C，分C=⌀和C≠Φ两种情况即可．
15.全集U=R，A={x∈R|a+1+x>0}，不等式组{2x+1≥x−3,
的解集为B．
3x+2<0
(1)若a =1，求A⋂B ，(∁U B)∪A ；
(2)要使集合A 中的每一个x 值至少满足不等式“1<x <3”，和“x >4或x <2”中的一个，求a 的集合．
【答案】解：(1)当a =1时，A ={x|x >−2}，B ={x|−4≤x <−23}，
则A⋂B ={x|−2<x <−23}，
又因为∁U B ={x|x <−4或x ≥−23}，则(∁U B )⋃A ={x|x <−4或x >−2}．
(2)设集合M ={x|1<x <3}⋃{x|x >4或x <2}={x|x >4或x <3}；
依题意有A ⊆M ，故−a −1≥4，解得a ≤−5．
所以a 的集合为(−∞,−5]．
【解析】略
16. 已知集合P ={x|a +1≤x ≤2a +1},Q ={x|1≤2x +5≤15}，
(1)已知a =3，求(C R P)∩Q
(2)若P ∪Q =Q ，求实数a 的取值范围．
【答案】解：(1)Q ={ x|−2≤ x ≤ 5}，
当a =3，P ={x|4⩽x ⩽7}，∴∁R P ={x|x <4或x >7}，
∴(∁R P)∩Q ={x|x <4或x >7}∩{x|−2⩽x ⩽5}={x|−2⩽x <4}．
(2)若P ∪Q =Q ，则P ⊆Q ，
①当P =ϕ时，满足P ⊆Q ，有2a +1<a +1，即a <0；
②当P ≠ϕ时，满足P ⊆Q ，则有{2a +1⩾a +1
2a +1⩽5a +1⩾−2
,∴0⩽a ⩽2 综上①②，实数a 的取值范围为(−∞,2]
【解析】本题考查集合关系中的参数取值取值范围问题和交、并、补集的混合运算，
(1)将a的值代入集合P中的不等式，确定出P，找出P的补集，求出补集与Q的交集即可；
(2)根据P为Q的子集列出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a的范围．
17.已知集合A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，
(1)若A∪M=R，求实数a的取值范围；
(2)若B∪(∁R M)=B，求实数b的取值范围．
【答案】解：A={x|a≤x≤a+9}，B={x|8−b<x<b}，M={x|x<−1，或x>5}，
(1)当A∪M=R时，应满足{a≤−1
a+9≥5，
解得−4≤a≤−1，
所以实数a的取值范围是{a|−4≤a≤−1}；
(2)∁R M={x|−1≤x≤5}，
B={x|8−b<x<b}，
B∪(∁R M)=B，
∴∁R M⊆B，
∴{8−b<−1
b>5，
解得b>9；
∴实数b的取值范围是b>9．
【解析】(1)根据A∪M=R，得出关于a的不等式组，求出解集即可；
(2)根据补集与并集的定义，列出关于b的不等式组，即可求出b的取值范围．
本题考查了并集、交集与补集的定义和应用问题，。