不定积分的概念与性质

式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求

1dx x
解:
ln x 1
x


1dx x

ln
dx sin 2
x

csc2
xdx


cot
x

C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求

2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx

( x2 1) x2 x2 ( x2 1) dx


1 x 2 dx


x
1 2
dx 1
1 arctan x C x
例10
求
x
x4 2
dx 1
解:
x
4 x2
1
3
dx x

ln
x

C
(4)
1
1 x
2
dx

arctan
x

C
(5)
1 dx arcsin x C 1 x2
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos2
x

sec2
xdx

tan
x

C
(9)
由曲线通过点(2，5)代入上式，得 C 1,
所求曲线方程为 y x2 1
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的
积分曲线。 显然，求不定积分得到一积分曲线族。
二、不定积分的性质
1.
d dx

f ( x)dx

f (x)
d[ f (x)dx] f (x)dx
2. F( x)dx F( x) C dF( x) F( x) C
x

C
例4 设曲线通过点(2，5)，且其上任一点处 的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求 此曲线方程。
解： 设曲线方程为 y f ( x) 根据题意知 dy 2x dx
即 f ( x)是 2 x 的一个原函数
2xdx x2 C
必 某个常数 C 使 f ( x) x2 C
dx
解：

1 dx x4


x 4dx

x 41 41

C


1 3x3

C
例6 求 x5 xdx
解： x5
xdx
1
x5 x 2dx
11
x 2 dx

111
x2 11 1

C
2

2
13
x2 C

2
x6
xC
13
13
例7 求 2xe2 xdx
解:
例12
求

sin
x(cos 2
x 2

sin
x )dx 2
解:

sin
x(cos 2
x 2

sin
x 2
)dx


(1 2
sin
x

1

cos 2
x )dx

1 2

sin
xdx

1 2


dx

1 2

cos
xdx
1 ( cosx x sin x) C 2
例13
求
sin 2
1 x cos2
dx x
1
解：
sin 2
x cos2
dx x

sin 2 sin
2xxccooss2 2xxdx


1 cos2
dx x


1 sin 2
dx x
tan x cot x C
说明：以上几例的被积函数都需要通过代数 或三角函数恒等变形，利用不定积分 的性质，才能把所求的积分化为基本 积分表中已有的形式，再求出不定积 分。这种方法叫做直接积分法。
2xe2 xdx (2e2 )xdx
(2e2 )x ln( 2e2 ) C
2x e2x C ln 2 2
例8
求
( 1
3 x2

2 )dx 1 x2
解：

( 1
3 x2

2 )dx
1 x2

3
1
1 x
2
dx

2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x C
1
1
1dx


(
x2
1)( x2 x2 1

1)dx


1 x2
dx 1
1 x3 x arctan x C 3
例11 求 tan2 xdx
解: tan2 xdx (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
tan x x C