“高中数学变式教学的课堂教学研究”课题研究报告

教育研究
64学法教法研究
课程教育研究
一、课题提出的背景
大量的研究表明这样一个事实：不管是国际数学教育成就调查还是国际奥林匹克数学竞赛，中国中学生的成绩明显比其他国家的同龄生；但是中国学生在开放问题以及动手能力方面却逊于西方学生；这两个方面凸显出的问题被西方学者认为是大班教学下以教师为主导的典型的“强灌”和“填鸭式训练”产生的结果，被称作“中国学习者的悖论”。

2005年顾泠沅与黄荣金、瑞典学者马顿合作发表了《变式教学：促进有效的数学学习的中国方式》，认为“中国教师先提出问题，让学生探寻不同的解法，师生共同探讨各种解法的优缺点的课堂模式”要优于“美国教师先给出解法，让学生练习一批类似的问题的教学模式”，认为有变化的重复学习是有意义的学习，而不是机械学习，变式教学是中国数学课堂教学中的合理成分。

但是我国的专家学者对变式教学的理论研究比较多，实践研究相对较少，也很少有高中教师在教学实践中去深层次探索变式教学，所以本课题侧重研究高中数学变式教学的课堂教学研究。

我们正处在高考命题改革时期，在“以能力立意、不刻意追求知识覆盖面、重点知识重点考查、在网络知识的交汇点处命题、加大新增内容的考查力度、体现向量及导数的工具作用、回归教材、小题综合化以及向新课标靠拢”的背景下，近几年全国及各省市的高考在坚持对基础知识和基本技能的考查的同时，与前两年相比，更加重视数学思想与方法的考查。

试卷从多角度、多视点、多层次地考查数学理性思维，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。

而高三数学复习，时间紧迫，内容繁杂。

如何在比较紧的时间内，尽可能的提高复习效率和质量，提高学生分析问题、解决问题的能力呢？我们的方法就是在高三复习中以“变”应“变”，通过合理恰当地运用变式教学，把互相关联的知识通过变式教学融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，这样运用起来就会得心应手。

二、课题研究的意义
以往的课题研究对变式教学在课堂教学中的关注比较少。

对于新授和复习课中如何掌握变式教学没有给出明确的作法。

本课题尝试利用行动研究法将变式教学的理论运用到高中数学课堂教学中，从激发学生兴趣、拓展学生思维训练、提高学生探究和创新能力等角度去进行变式教学的课堂组织，既要提高学生解决问题的能力，培养良好的数学素养，也进一步促进教师教育观念的转变和科研意识的增强。

三、课题研究的理论基础1.脚手架理论
美国著名的心理学家和教育学家布鲁纳指出：“学生不是被动的知识接受者，而是积极的信息加工者。

”认为在学生学习活动中，学生不喜欢别人直接帮助自己完成任务或获得现成结果，而是希望在自己无法独立完成的任务时由父母、教师、同伴提供辅助物让他们进入下一阶段或水平的角色，最后由学生完全积极主动的展开学习，并通过学习建构出真正属于自己所理解、领悟、探索到的知识。

一旦学生能独立完成某种任务，这种辅助物就像建筑竣工后的脚手架，会被逐渐撤离。

脚手架促进了学习者在以前知识之上的能力发展，并将新的信息内化，获得知识结构上的完善和成长。

教师在数学课堂变式教学中运用“脚手架”理论，对学生前认知水平转向潜在水平的过渡起到支持和帮助，教师备课时所设置的“变式”就是帮助学生在认识新知而搭建的“脚手架”，从而降低了学生学习难度，促进学生知识的构建。

2.建构主义理论
建构主义认为，学习不是学生被动地接受，而是学生主动
建构自己的知识的过程，这种建构不可能由其他人代替。

在课堂教学过程中，教师要利用变式教学促进学生对概念的全方位多角度的理解、把握知识的形成过程、纠正学生知识上的错误。

教师应当成为学生学习活动的促进者，为学生的学习活动创造一个良好的学习环境，注意学生认知特点，重视对于学生的纠错，帮助学生完成知识体系的建构。

3.有意义的学习理论
奥苏伯尔有意义学习理论认为在学习一种新知识时，学生在教师提供的先行组织者引领下，尝试运用其既有的先备知识，从不同的角度去吸收新知识，最后纳入他的认知结构中，成为他自己的知识。

学生经由接受学习的历程，也并非全是主动的，要靠教师的教学技巧予以促成。

变式教学可以促进新知识与学生已有知识之间联系的建立，学生认识结构中新旧知识的同化，不仅使新知识获得了意义，而且旧知识也因得到了修饰而获得新的知识。

通过有意义学习，能有效提高学生的认知层次，促进认知发展。

四、课题研究的目标
1.在课堂教学中进行变式教学，引导学生主动参与教学活动，帮助学生在概念、习题和一题多解上进行思维拓展，形成多种数学变式教学的课型，促进学生双基能力和思维品质的提升。

2.以高效减负的前提下，开展课堂变式教学研究，完善教学环节的创设，形成有效的高中数学变式教学的模式。

五、课题研究的主要内容
1.在课堂教学中有意识地从知识的认知、条件的变化、学生的错误进行变式教学，形成高中数学变式教学的教学案例。

2.在新授课和高三复习课教学中，进行概念变式、习题变式、一题多解、一题多变的研究，形成多种数学变式教学的课型。

3.以目标导向、启迪思维、暴露问题等教学原则为指导，打造“问题引入—变式探究-归纳提升”等基本环节为脉络的高效变式教学模式。

六、课题研究的方法1.问卷调查法
设计问卷，了解教师对高中数学变式教学的认识、教师在教学中变式教学的运用情况、高中学生对“数学变式教学”的实施反馈意见，通过问卷调查，了解高中教师和学生对变式教学的看法和需求。

2.文献研究法
查阅变式教学、现象图示学、建构主义等理论文献资料，进行系统学习和整理，明确课题研究的最新进展，取得各个相关领域的理论支持。

3.行动研究法
在变式教学课堂实践中发现、思考、解决问题，边实践边反思，逐渐形成高中数学课堂变式教学的模式以促进学生数学思维的发展。

七、课题研究的主要过程（一）理论学习1.变式的定义
对于变式的定义古今中外观点不同，众多的研究者中，比较有代表性的观点有以下几个：
（1）黄俊峰《利用变式教学提高高三数学复习效果》认为所谓变式，即是指对数学概念、定义、定理、公式以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征保持不变。

（2）张志光《心理学》认为变式是指形成概念时提供的肯定样例在非本质特征方面有变化的形式。

“高中数学变式教学的课堂教学研究”课题研究报告
郝 耀
（河北省张家口市崇礼区第一中学 河北 张家口 076350）
【基金项目】本文系河北省教育科学研究“十二五”规划自筹经费重点课题《高中数学变式教学的课堂教学研究》（课题编号1403350）的研究成果。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）25-0064-04
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（3）吴宪芳、郭熙汉《中学数学教育概括》认为所谓变式，是通过变更对象的无关属性的表现形式，是变更人们观察事物的角度和方法，以突出对象的关键属性，突出那些隐蔽的关键要素，让学生在变式中思维，从而掌握事物的本质和规律。

（4）宋广文、杨昭宁、李寿欣《心理学》认为变式就是变更展示感性材料得形式，即从事物的不同角度，对其不同情况加以说明，使事物的本质属性全面地显示出来。

（5）刘长春、张文娣《中学数学变式教学与能力培养》变式是指相对于某种范式（即属性教材中具体的数学思维成果，含基本知识、典型问题等）的变化形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。

变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。

我认为所谓变式就是教师保留对象中的本质因素不变而对非本质特征如条件、结论、内容、形式不断变换，实现针对性的对命题进行合理的转化，从而使学生掌握数学对象的本质属性。

2.变式教学的定义
变式教学是教师在引导学生理解数学概念、定理或问题时，采用科学合理的手段，从不同的角度、层次、背景对非本质条件进行变换，保留本质因素，揭示不同知识点的内在联系的一种教学方式。

3.变式教学的原理
所谓变式教学就是利用变式方式进行教学，一般有概念性变式和过程性变式。

概念性变式就是利用概念变式和非概念变式来揭示数学概念的本质属性和非本质属性，使学生获得对数学概念的多层次多角度理解，进而建立新概念与己有的直接经验或间接经验的本质联系；过程性变式是指通过变式的过程来展示知识的发生、发展、形成的过程，从而理解知识的来龙去脉，形成完整的知识网，让学生能够抓住问题的本质，进而加深对问题的理解。

变式教学不仅是教学手段，更是教学思想，运用合理可以起到减负增效的作用，为学生创设求异、思变的空间，启发学生透过现象看问题的本质，探索规律和知识的内在联系，有利于帮助学生形成科学的概念。

变式教学是训练学生数学技能、数学思维的重要方式，对数学问题进行不同层次、不同角度的变式研究，有意启发引导学生参与意识，使学生实现理解、应用知识上的能力提升，从“变”的现象中抓住“不变”的本质，从“不变”的本质反馈到“变”的规律，形成良好的思维方式，发现、解决问题的能力和素养。

4.变式教学的原则
变式教学有三个原则：一是针对性原则，即数学变式教学一定要符合学生的认知水平，要针对具体的教学内容采用不同的变式，如概念新授课要进行概念变式，习题讲评课要进行解题思想和技巧的变式，复习课要进行不同知识点、不同解题技巧的变式。

二是适度性原则，即数学变式教学时变式的数量要适度，变式难度要适度。

变式的使用数量过多的变式，由于本质相似导致内容重复使学生产生思维疲劳。

进行变式教学要以学生认知水平为基准，在学生的最近发展区内开展变式，难度要循序渐进，过难会使学生丧失信心，产生抵触。

三是参与性，即教师要充分调动学生的积极性，让学生主动参与到变式的构造过程中，从而主动的去发现新知的本质属性，以及与旧知之间的联系，加深对新知的理解。

（二）问卷调查
设计《高中数学教师对变式教学认知情况》、《高中数学教师变式教学使用情况》调查问卷。

1.《高中数学教师对变式教学认知情况》问卷：（1）你认为变式教学是一种
A.教学现象
B.教学手段
C.教学思想
D.教学模式
E.说小清是什么
（2）你上学时，你的老师是否采用过变式教学
A.总是在用
B.经常用
C.偶尔用之
D.很少用到
E.没用过
（3）你认为数学教学中变式教学
A.必不可少
B.有一定作用
C.可有可无
D.完全没用
E.说不清
（4）在数学课堂教学中的“变式”主要体现在
A.一题多解
B.一题多变
C.一法多用
D.图形变式
E.教法、学法变式
F.其它
“你认为变式教学是一种”的回答中，认为是教学现象有0%，回答教学手段的有45%，认为是教学思想的有28%，认为是教学模式的有13%，认为是说不清是什么的有14%。

显示教师对变式教学的认识单一，欠缺理解.
认为自己上学时数学老师总是在用变式教学的为0%，经常用的占19%，偶尔用之的为48%，很少用到的为15%，没用过的为18%。

可见有些变式教学在教学中也不被经常使用，不被重视。

认为数学教学中变式教学必不可少的有46%，认为有部分用途的有33%，认为可有可无的为9%，认为完全无用的有0%，说不清的有12%。

由此可见教师对变式教学的作用不完全认同。

认为变式教学主要体现在“一题多解”、“一题多变”的较多，分别为42%和39%，认为“一法多用”“图发变式”和“教法、学法变式”的分别为6%、9%和4%。

认为其它的为0%。

显示对“一题多解”“一题多变”的做法比较认同，认为变式训练就是变式教学。

2.《高中数学教师变式教学使用情况》调查问卷（1）你对变式教学的使用情况是
A.总是在用
B.经常用
C.偶尔用之
D.很少用
E.没用过
（2）如果在你的教学中使用过“变式”，你是
A.课前有意识、有设计的
B.课中灵感，无设计的
C.受某些教学问题的启发
D.受学生的启发
E.受教学资料和其他教师的启发
（3）你会将变式教学用于下列哪个（或几个）环节
A.复习思考
B.创设情境
C.探究新课
D.巩固反思
E.小结练习
（4）在你的数学课堂教学中，对于“题多解”
A.总是在用
B.经常用
C.偶尔用之
D.很少用到
E.没用过
（5）在你的教学课堂教学中，对于“一题多变”
A.总是在用
B.经常用
C.偶尔用之
D.很少用到
E.没用过（6）在你的数学中，对于“一法多用”
A.总是在用
B.经常用
C.偶尔用之
D.很少用到
E.没用过
（7）在你的数学课堂教学中，引导学生挖掘、变化或引申某一内容吗?
A.总是这样
B.经常这样
C.很少这样
D.从未这样经过数据统计得到结论：在教学中对“一题多解”、“一题多变”、“一法多用”“挖掘、变化和引申某一教学内容”的态度多表现为“总是或经常用到”；使用“一题多解”最多，最关注解题方法的多样性。

（三）高中数学变式教学的实践研究1.变式教学材料的来源
（1）数学课本或教辅资料上的概念、定理或推论
变式教学是为了提高数学课堂教学效率而进行的一种教学方式，其依托的是考纲和教材，所以数学课本上的概念、定理和推论是变式教学选择的主题，依据课本上的概念、定理和推论进行变式既没有偏离教学目标，又有利于学生在非本质要素变化的基础上对本质属性认识的提升。

例：下列命题中正确的个数是 （ ）
①若直线上有无数个点不在平面α内，则∥α；
②若直线与平面α平行，则与平面α内的任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；
④若直线与平面α平行，则与平面α内的任 意一条直线都没有公共点。

A.0
B.1
C.2
D.3答案：B 变式1：已知互相垂直的平面交于直线.若直线m ，n 满足则（ ）
A.m ∥
B.m ∥n
C.n ⊥
D.m ⊥n 答案：C
变式2：若空间中四条直线两两不同的直线1.2.3.4，
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满足1⊥2，2∥3，3⊥4，则下列结论一定正确的是（ ）。

A. B.　。

C.1.4既不平行也不垂直
D.1.4的位置关系不确定答案：D 。

（2）数学课本上例题、习题
数学课本上的例题、习题是展示或拓展课本上概念、知识或推论的部分，是知识的应用、补充和拓展练习，与教学目标和教学大纲相吻合，是变式训练的最佳素材。

2.变式教学的方法（1）变换条件或结论
高中数学教学过程中，可以将一道题从条件或结论进行多种变形，有利于对学生思维进行拓展，让学生掌握知识的本质，从而使学生全面掌握知识的内涵外延，学会知识的运用能力。

（2）将条件一般化
数学理论的发现、推导和形成都是由一般化到特殊化、从特殊化再到一般化的推理归纳过程。

在高中数学教学中教师要巧妙把特殊化的条件一般化，帮助学生理解数学理论形成过程，促进学生解题思路和方法的形成，提升学生解题技巧。

（3）联系生活实际
数学知识来自于生活实践，与日常生活息息相关，所以教师在进行高中数学教学时可以将复杂的数学公式、定理化为生活案例进行变式教学，既有利于激发学生探索问题的激情，又可以帮助学生理解数学模型的构建与应用过程。

3.变式教学的应用
（1）变式教学在概念课中的应用
概念课重在使学生认识、理解和巩固概念，把抽象的概念用图形、曲线或生活实例变式呈现出来，有利于学生抓住概念的本质，拓展概念的内涵和外延，切实地透彻地把握概念。

（2）变式教学在习课课中的应用
习题课是帮助学生消化、巩固和应用数学概念、定理和推论，并促使学生形成数学思维和数学方法的一个教学过程。

对教材练习题进行变式既增加了学生摸索概念、定理、推论应用的机会，也使得学生形成一定的解题技巧，加深了学生对概念本质属性的把握。

（3）变式教学在复习课中的应用
复习课是是学生对所学知识进行梳理，形成知识网络、知识系统的一个过程。

大题海战术并不适用于复习知识，而把一道习题从多个层次、多个角度进行变形，有利于学生掌握知识的内涵和外延，从而整体去建构知识结构。

变式训练不但不会增加学生学习的负担，反而会起到减负高效的作用。

例：求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程。

变式1：求过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程是。

变式2：直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求直线 的方程。

（四）变式教学的课堂实施形式1.知识变式
（1）概念定义变式
概念教学重在帮助学生参与到概念的形成过程、生活实际应用和概念形成的条件限定等内容，使学生对概念的理解深入，对知识的应用多能，不仅要培养学生积极主动参与学习过程，也要完成学生自主学习能力的形成。

（2）定理公式法则变式
数学定理、公式和法则来自于生活实例，但是其应用又具有一定的条件和适用范围，所以对于实际问题的推理演算要选用合适的定理、公式，要求学生掌握严密的数学逻辑推理能力和演算能力，变式教学就是有效的教学手段。

2.题目变式（多题一解）
用同一种数学知识解决不同的数学问题我们称之“多题一解”。

在高中数学复习课中，教师为强化某一数学知识、某一解题思想，可将一些相关的习题串编在一起，让学生把该知识、该方法的应用能够驾轻就熟、举一反三、触类旁通，切实提高学生的解题能力。

3.方法变式（例：F 2作垂直于x 轴的
直线AB ，交椭圆于A F 1是椭圆的左焦点.（1）求
的周长；（2）
如果AB 不垂直于x 轴，
的周长有变化吗？为什么？
变式：，右焦点分
别为，点P 且，则此双
曲线的离心率e 的最大值为______.
又已知
，由余弦定理，
得e 的最大值，即
求的最小值，当时，.即e
解二：设，，∴
，∴e 的最大值为
（五）数学变式教学的授课基本模式高三数学复习课变式教学流程：知识归纳—精选典例—探索变式—问题解决—总结提升（1）知识归纳
复习课的任务是帮助学生回顾和梳理知识结构，重温知识的内涵和外延，为学生的创新性学习打下坚实基础。

教师要设计针对性强的问题，激发学生参与和探究的激情，帮助学生回顾和反思知识的联系，建立稳固的知识体系。

（2）精选典例
典型例题具有针对性、可变性、典范性和综合性的特点，其本质属性和非本质属性直观可见、容易区分，也具有很大的可塑性，利于教师进行变式训练，利于学生思维的拓展和提升。

（3）探索变式
变式环节中，教师要诱思激趣、鼓励探索、适时点拨、及时评价。

学生活动体现在：独立思考、小组合作、交流经验、纠错创新去开发题目的各种变式。

（4）问题解决
对变式产生出的新问题，师生共同归类，采取自我解决、教师详解、教师点拨、书面作业、课下讨论等多种模式完成，促进学生解题思想、方法和技巧的积累和提升。

（5）总结提升
一方面对变式习题进行方法、技巧和规律的总结，帮助学生很好梳理知识体系。

另一方面对变式教学的教学、学习方式总结推广。

八、课题研究成果1.理论成果
在新授课和高三复习课教学中，进行概念变式、习题变式、一题多解、一题多变的研究，通过课堂教学中的变式教学，激发学生参与教学活动，促进学生双基能力和思维品质的提升，形成多种数学变式教学的课型。

以目标导向、启迪思维、暴露问题等教学原则为指导，打造“知识归纳—精选典例—探索变式—问题解决—总结提升”等环节为脉络的高三复习课变式教学模式。

2.实践成果
通过变式教学的实施，使学生对概念、定理和公式理解到位，使学生的思维得到了更好的训练，课堂效率得到了提高，学生的课外作业负担得到减轻。

教师教学水平、授课技巧得到了提高。

实施变式教学，促使教师从钻研大纲、教材、备课、教学方法等方面得到了统一模式的思考和应用。

陈树伟老师论文《高中数学变式教学的课堂研究》发表在《新教育时代（教师版）》2016年14期，杜秀芳老师论文《高中数学变式教学探究》发表在《读写算-素质教育论坛》2016年17期，刘智慧老师论文《新课标下高中数学变式教学研究》发表在《课程教育研究：新教师教学》2016年第10期，刘玉焕老师论文《高中数学高效课堂的构建》发表在《课程教育研究（新教师教学）》。