天津市河东区中考数学一模试卷

中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.tan60°的值是（）
A. B. C. D.
2.下面有四个“风车”图案，其中是中心对称图形的有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.根据国家统计局公布的统计数字，2009年全年我国原油产量为18949万吨，用科学
记数法表示这个数字，应为（）
A. 吨
B. 吨
C. 吨
D. 吨
4.要由抛物线y=-2x2平移得到y=-2x2-4x-2，则平移的方法是（）
A. 向左平移1个单位
B. 向上平移1个单位
C. 向下平移1个单位
D. 向右平移1个单位
5.在下列四个几何体中，以如图为俯视图的是（）
A. B. C. D.
6.某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，y=2x+3，5，5，6，已知这组数据的平均
数是4，则这组数据的中位数是（）
A. 2
B. 4
C.
D. 5
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD=，
CA=，则直径AB的长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.设实数a=，则a值的范围是（）
A. B. C. D.
9.如图，∠AOB=60°，过OA上到点O的距离分别为1，2，3，4，5，…的点作OA的
垂线与OB相交，得到一组梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，…．观察图中的规律，可知第20个梯形的面积S20等于（）
A. B. C. D.
10.如图，在矩形ABCD中，P是CD边上一点，PE⊥BD，垂足为E，
PF⊥AC，垂足为F，如果AB=4，AD=3，那么PE+PF等于（）
A. 3
B. 4
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.如果是整数，则正整数n的最小值是______．
12.如果一个一次函数的图象经过第一、二、四象限，那么这个一次函数的解析式可以
是______（只要求写一个符合要求的一次函数解析式）．
13.二次函数y=（x-1）2+2的最小值是______．
14.如图，已知AB∥DC，BD平分∠ABC，∠C=130°，则
∠CDB=______．
15.为估计某旅游景区国家保护动物穿山甲的只数，先捕捉10只穿山甲，给它们分别
作上标志然后放回，待有标志的穿山甲完全回归山林后，第二次再捕捉30只穿山甲，发现其中有2只是有标志的．据此可以估计，该景区大约有穿山甲______只．16.某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为42元，则
标价为______．
17.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆的直径DE=12cm．半
圆以2cm/秒的速度从左向右运动，在运动过程中，直径DE始终在直线BC上．设运动时间为t（单位：秒），当t=0秒时，半圆在△ABC的左侧，OC=8cm．当半圆运动了______秒时，△ABC的边AB所在直线与半圆相切，此时，半圆面与△ABC 重叠部分的面积为______cm2．
18.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是BC、
DC上的动点，且BE=DF．某小组的同学观察图形得出
五个结论：①AE=AF；②∠CEF=∠CFE；③△AEF≌△CEF；
④当点E、F分别是边BC、DC中点时，△AEF是等边三角形；⑤当点E在边BC
上且点F在边DC上，且满足BE=DF时，△AEF的面积为定值．其中，真命题是______（写出所有真命题的序号）．
三、计算题（本大题共3小题，共24.0分）
19.解方程：x2＋2x－1=0．
20.小凯想给小旭打电话，去查小旭电话号码的时候发现记着号码的纸被磨损了，只看
清前六位数字，而后面两位数字都看不清楚了．
①小凯回忆起小旭当初说过，他电话号码的最后两个数字是不重复的奇数并且都小
于6．若小凯依照此规则随机拨号，试用列表法或树形图列出小凯所有可能的拨号方法，并求出小凯一次拨对小旭号码的概率；
②如果这两位数字分别满足不等式组＞
，试写出它可能表示的所有数字．
21.如图，△ABC是边长为a的等边三角形，O为△ABC的中心．将
△ABC绕着中心O旋转120°．
①直接写出△ABC的内切圆半径r和外接圆半径R分别是多少？
②设点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=2DB，BE=2EC，
CF=2FA，试画出△DEF，说明它的形状，并计算它的周长；
③根据“线动成面”的道理，△ABC的三条边AB、BC和CA在旋转过程中扫过的
部分组成的平面图形的形状是什么？并计算出此图形的面积．
四、解答题（本大题共5小题，共42.0分）
22.如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数图象分别相交于A、B两点，其
中点B坐标为（-2，-1）．
①试确定一次函数及反比例函数的解析式；
②求△ABO的面积．
23.在一次数学活动中，兴趣小组的同学为了测量一棵银杏树AB的高，他们来到与银
杏树在同一平地且相距8米的建筑物CD上的C处观察，如图，测得树顶部A的仰角为30°，树底部B的俯角为60°，求银杏树AB的高．（精确到0.1米）（参考数
据：≈1.41，≈1.73）．
24.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以
BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并
延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积．
25.如图，学校准备利用图书馆后面的场地边用围栏圈建一个面积为60平方米的长方
形车棚ABCD，车棚的一边利用图书馆的后墙，墙长为
l．
①设车棚靠墙的一边AD的长是x，则x的取值范围是
______；
②用x表示矩形车棚的宽AB=______；
③建造车棚所需围栏的长=______；
④如果图书馆后墙长l=10米，学校现存有铁围栏总长为26米，要全部用上建造车
棚，则车棚靠墙的一边AD的长应为多少？
26.已知二次函数y=ax2+bx+c．
①若b=2a+c，那么函数图象一定经过哪个定点？
②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b2≤0．
③若函数图象上两点（0，y1）和（1，y2）满足y1•y2＞0，且2a+3b+6c=0，试确定
二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：由于tan60°=，
故选：D．
根据tan60°=进行解答即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
2.【答案】B
【解析】
解：结合中心对称图形的概念可知：
第一个图形没有对称中心，不是中心对称图形，
第二个图形是中心对称图形，
第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
第四个图形是中心对称图形．
故选B．
根据中心对称图形的概念求解．
本题重在考查我们对中心对称图形概念的掌握情况，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】
解：∵18949万吨写成189490000吨，
∴18949万吨用科学记数法表示为：1.8949×108吨．
故选C．
先把18949万吨写成189490000吨的形式，再根据科学记数法的表示方法解答即可．
本题考查的是科学记数法的概念，即把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．
4.【答案】A
【解析】
解：∵y=-2x2-4x-2=-2（x2+2x+1）=-2（x+1）2，
∴可见其对称轴为x=-1，
而y=-2x2的对称轴为x=0，
可见将抛物线y=-2x2向左平移一个单位即可得到y=-2x2-4x-2．
故选：A．
先将y=-2x2-4x-2表示成顶点式，即可判断出如何由抛物线y=-2x2平移得到y=-2x2-4x-2．
此题考查了抛物线的平移变换，找到抛物线的对称轴即可判断出抛物线的移动情况．
5.【答案】C
【解析】
解：从上面看，可知：A、圆柱的俯视图为圆，不符合题意；
B、长方体的俯视图为长方形，不符合题意；
C、圆台的俯视图是圆环，符合题意；
D、圆锥的俯视图是圆和圆心，不符合题意．
故选C．
根据俯视图是从上面看所得到的图形判断是圆环的即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6.【答案】B
【解析】
解：这组数据的平均数=（3+3+4+2x+3+5+5+6）==4，
解得x=-，
∴2x+3=2，
∴这组数据从小到大的排列是2，3，3，4，5，5，6，
∴这组数据的中位数是4．
故选B．
先求出这组数据的平均数，可得关于x的一元一次方程，求出x，可得2x+3的值，再把这组数据从从小到大的排列，从而可求出中位数．
本题考查了中位数、平均数的计算．解题的关键是求出x．
7.【答案】B
【解析】
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD=，
∴CE=，
在Rt△ACE中，
∵CE=，CA=，
∴AE===2，
连接OC，设此圆的半径为x，
则OE=2-x，
在Rt△OCE中，OC2=CE2+OE2，即x2=（）2+（2-x）2，
解得x=．
∴AB=2x=2×=3．
故选：B．
先根据垂径定理得出CE的长，在Rt△ACE中利用勾股定理可求出AE的长，连接OC，设此圆的半径为x，在Rt△OCE中利用勾股定理即可求出x的值，进而求出AB的值．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，能根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：a2=（）2=11，可知32=9＜11＜=，根据给出的选项便可知C符合题意．
故选C．
先求出a2的值，根据a2的大小估算a的取值范围．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】
解：由已知，观察图形得到第20个梯形的面积为距离点O的距离为21的三角形的面积减去距离点O的距离为20的三角形的面积．
即：×21tan60°×21-×20tan60°×20=，
所以第20个梯形的面积为：．
故选C．
由已知，观察图形得到第20个梯形的面积为距离点O的距离为21的三角形的面积减去距离点O的距离为20的三角形的面积．先由已知，∠AOB=60°求出两个直角三角形的另两条直角边，再求第20个梯形的面积．
此题考查的知识点是直角梯形，本题解答的关键是由已知通过观察图形得到第20个梯形的面积为距离点O的距离为21的三角形的面积减去距离点O的距离为20的三角形的面积．
10.【答案】D
【解析】
解：设矩形ABCD中对角线AC和BD交于点O，连接OP，如
图所示.
∵在直角△ABD中，AB=4，AD=3
∴BD==5
∴OD=OC=2.5
∵△ODC的面积=×矩形ABCD的面积=×4×3=3
即△ODP的面积+△OCP的面积=3
∴OD•PE+OC•PF=3
∴×2.5（PE+PF）=3
解得：PE+PF=．
故选D．
首先求得△ODC的面积，根据△ODC的面积=△ODP的面积+△OCP的面积=
OD•PE+OC•PF即可求解．
本题主要考查了矩形的性质，正确转化为三角形的面积的计算是解题的关键．
11.【答案】3
【解析】
解：∵==2，且是整数；
∴2是整数，即3n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为3．
故答案是：3．
因为是整数，且==2，则3n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3．
主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是
被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则=．除法法则
=．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
12.【答案】y=-x+1
【解析】
解：对于一次函数y=kx+b（k≠0），
∵一次函数的图象经过第二、四象限，
∴k＜0，
又∵一次函数的图象经过第一象限，
∴一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方，即b＞0，
∴这个一次函数的解析式可以是y=-x+1．
故答案为：y=-x+1．
由于一个一次函数的图象经过第一、二、四象限，根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质可得k＜0，b＞0．
本题考查了一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：当k＜0，图象经过第二、四象限，y 随x的增大而减小；当k＞0，经图象第一、三象限，y随x的增大而增大；当b ＞0，一次函数的图象与y轴的交点在x轴上方；当b＜0，一次函数的图象与y 轴的交点在x轴下方．
13.【答案】2
【解析】
解：二次函数y=（x-1）2+2开口向上，其顶点坐标为（1，2），
所以最小值是2．
本题考查二次函数最大（小）值的求法．
本题考查二次函数的基本性质，题目给出的是顶点式，若是一般式则需进行配方化为顶点式或者直接运用顶点公式．
14.【答案】25°
【解析】
解：∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠ABC=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×50°=25°．
∵AB∥DC，
∴∠CDB=∠ABD=25°．
故答案为：25°．
由AB∥DC，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由BD平分∠ABC，即可求得∠ABD的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠CDB的度数．
此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等．
15.【答案】150
【解析】
解：10=150（只）．
故答案为150．
30只穿山甲，发现其中2只有标志，说明在样本中，有标记的占到，而有标记的共有10只，根据比例可求出总数．
本题主要考查用样本估计总体，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体．
16.【答案】56元
【解析】
解：设标价是x元，根据题意则有：0.9x=42（1+20%），
解可得：x=56．
故答案为：56元．
根据题意，实际售价=进价+利润．九折即标价的90%；可得一元一次的关系式，求解可得答案．
本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量
关系列出方程解答．
17.【答案】4；9π
【解析】
解：如图，设半圆与AB相切于点F，连接CF，
∴CF⊥AB，又∠ABC=30°，BC=12cm，
∴CF=BC=6cm，
此时，圆心O与点C重合，半圆走了8cm，
∴t==4（秒），
又∵∠ACB=90°，
∴半圆面与△ABC重叠部分的面积：
=πr2=×36π=9π；
S
重合
故答案为：4；9π．
如图，设半圆与AB相切于点F，连接CF，则CF⊥AB，又∠ABC=30°，
BC=12cm，所以，CF=BC=6cm，此时，圆心O与点C重合，半圆走了8cm，
所以，t==4（秒），又∠ACB=90°，所以，半圆面与△ABC重叠部分的面积：S
重
=πr2=×36π=9π；
合
本题主要考查了切线的性质和扇形面积的计算，切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径；②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
18.【答案】①②
【解析】
解：∵点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边
BC、DC向点C运动，
∴BE=DF，
∵AB=AD，∠B=∠D，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，①正确；
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，②正确；③错误；
当点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=AB，DF=AD，
无法得出∠EAF的度数，④错误；
∵△AEF的面积=菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积，
=AB2-BE•AB××2-××（AB-BE）2，
=-BE2+AB2，
∴△AEF的面积是BE的二次函数，
∴当BE=0时，△AEF的面积最大，⑤错误．
故正确的序号有①②．
根据菱形的性质可证明△ABE≌△ADF，则AE=AF；CE=CF，∠CEF=∠CFE，当
点E，F分别为边BC，DC的中点时，BE=AB，DF=AD，无法求出∠EAF的度数，再由△AEF的面积=菱形ABCD的面积-△ABE的面积-△ADF的面积-△CEF的面积，即可得出△AEF的面积是BE的二次函数，即可求出，△AEF
的面积最大．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，是中考压轴题，难度较大．
19.【答案】解：∵x2+2x-1=0
∴x2+2x=1
∴x2+2x+1=1+1
∴（x+1）2=2
∴x=-1±
∴x1=-1+，x2=-1-．
【解析】
本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
由表可知，可能的拨号方法共有种，
∴一次拨对电话号码的概率是；
②解不等式2x-11＞0，得x＞，
解不等式x≤x+4，得x≤8，
∴不等式组的解集是：＜x≤8，其整数解是6，7，8，
∴这两位数字可能表示的数字是66，67，68，77，78，88，76，86，87．
【解析】
①首先根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与小凯一次拨对小旭号码的情况，再根据概率公式求解即可；
②首先解此不等式组，求其解集，然后即可确定这两位数字可能表示的数字．此题考查了树状图法与列表法求概率与不等式组的解法．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：①内切圆半径，外接圆半径；
②如图画出△DEF，可知它是等边三角形．
取BE的中点M，连接DM，
由BD=BM=a，且∠B=60°，得等边△BDM，
∴DM=ME=a，∠MDE=∠MED，
又∠BMD=60°，
∴∠MED=∠BMD=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BD=a，
∴等边△DEF的周长=；
③图形的形状是：三角形的外接圆与内切圆所形成的圆环．
∵圆环的大圆半径是△ABC外接圆半径R，小圆半径是△ABC内切圆半径r，
∴圆环的面积=πR2-πr2==．
【解析】
①O点到各定点的距离是外接圆半径R，O到各边的距离就是内接圆半径r；
②易知△DEF是等边三角形，可借助直角三角形求出其边长，继而得出其周长；
③△ABC旋转过程中扫过的部分组成的平面图形的形状是三角形的外接圆
与内切圆所形成的圆环，大圆的面积减去小圆的面积即可求得．
本题考查了旋转的性质、三角形的内、外接圆及圆面积的计算，考查了知识点比较多，熟记其计算公式，是解答的关键，考查了学生的空间想象能力．22.【答案】解：①把B（-2，-1）代入反比例函数解析式，得k=2，
∴一次函数解析式为y=2x+3，反比例函数解析式为y=；
②由，
解得：A（，4），
设直线与x轴交点为C，易知C（-，0），
∴S△ABO=•|x C|•|y B|+•|x C|•|y A|，
=••1+••4，
=．
【解析】
①将点B坐标为（-2，-1），分别代入函数解析式求出即可；
②利用两函数解析式得出交点坐标，即可得出对应线段之间的关系，即可得出△ABO的面积．
此题主要考查了待定系数法求一次函数与反比例函数解析式，根据图形得出三角形底与高的长度是解决问题的关键．
23.【答案】解：过点C作CM⊥AB于M，
则可得到Rt△ACM、Rt△BCM和矩形CDBM，
由题意知：∠1=30°，∠2=∠A=60°，
BD=CM=8，
在Rt△BCM中，tan∠2=，
∴BM=CM•tan60°=8，
在Rt△ACM中，tan∠1=，
∴AM=CM•tan30°=8×=，
∴AB=AM+BM=8+=≈18.5（米）．
答：银杏树高约18.5米．
【解析】
过点C作CM⊥AB于M，则可得到Rt△ACM、Rt△BCM和矩形CDBM，再在Rt△BCM与Rt△ACM中利用特殊角的三角函数值即可求出BM及AM的长．本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，再利用锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解是解答此题的关键．
24.【答案】（1）证明：如图，连接OE
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
（2）解：设⊙O半径为r，
由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴，
即，
∴r2-r-12=0，
解之得r1=4，r2=-3（舍），
经检验，r=4是原分式的解．
∴S⊙O=πr2=16π．
【解析】
（1）作辅助线，连接OE，根据切线的性质知OE⊥AC，已知∠ACB=90°，可知OE∥BC，得∠OED=∠F，再根据OD=OE，可知∠ODE=∠OED，从而可得
∠ODE=∠F，BD=BF；
（2）根据△AOE∽△ABC，可将⊙O的半径求出，代入圆的面积公式S⊙O=πr2，计算即可．
本题考查了圆的切线性质及相似三角形的判定定理，有一定的综合性．
25.【答案】0＜x≤l；；x+
【解析】
解：①0＜x≤l；
②；
③x+；
④解：由题意得：x+=26，（0＜x≤10）
去分母，整理得：x2-26x+120=0，
解得x1=6，x2=20，
经检验，x1、x2都是原方程的解，但x2不合题意，舍去．
∴x=6．
答：车棚靠墙的一边AD的长为6米．
（1）x要比0大，不大于墙的长度．
（2）用面积除以长x就是宽的长度．
（3）围栏的长为两个宽的长度加上一个长的长度．
（4）根据铁围栏总长为26米，可列出方程求解．
本题考查理解题意的能力，关键是知道围栏构成三面的墙，以及长方形的面积公式的计算等．
26.【答案】（1）解：由b=2a+c，可得4a-2b+c=0，
∵当x=-2时，y=4a-2b+c=0，
∴函数图象一定经过点（-2，0）；
（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax2+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．
∴顶点纵坐标≤1，
∴-b2≥4a，
∴4a+b2≤0；
（3）解：由2a+3b+6c=0，可得6c=-（2a+3b），
由题意，y1•y2=c•（a+b+c）＞0，
即6c•（6a+6b+6c）＞0，
∴-（2a+3b）•（4a+3b）＞0，（2a+3b）•（4a+3b）＜0，
两边同除以9a2，
∵9a2＞0，
∴ ＜0，
∴ ＜
＞
或
＞
＜
∴ ＜＜，
∴＜＜，即为所求．
【解析】
（1）将b=2a+c整理为4a-2b+c=0即可判断其经过的点的坐标；
（2）根据题目提供的条件求得其顶点的纵坐标，进一步整理即可得到答案；（3）将（0，y1）和（1，y2）分别代入函数的解析式，利用y1•y2＞0、2a+3b+6c=0，即可确定纵坐标的取值范围．
本题考查了二次函数的性质及抛物线与x轴的交点，另外还考查了二次函数图象上的点的特征，是一道比较复杂的二次函数综合题．。