河北省衡水中学2020届高三高考押题三文数试题

河北衡水中学 2020 年高考押题试卷
文数（三）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题 5 分, 共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有
一项为哪一项切合题目要求的．
1．已知会合A x x2 2x 0 ， B y y log 2 x 2 , x A ，则 A I B 为（）A．0,1 B ．0,1 C ．1,2 D ．1,2
2．已知i 是虚数单位， z 2 i i 2017，且 z 的共轭复数为z ，则 z 在复平面内对应的点在（）
2 i
A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
r r r
1 r r
3．已知平面向量a，b的夹角为，且 a 1 ， b ，则 a 2b （）
3
．3 2
A． 1 B ． 3 C．2 D
2
4．已知命题p：“对于x的方程x2 4x a 0 有实根” ，若p为真命题的充分不用要条件为 a 3m 1，则实数 m 的取值范围是（）
A．1, B ． 1, C ．,1 D ．,1
x y 3 0,
5．已知实数x，y知足x 2 y 6 0, 则z x y 的最小值为（）
3x y 2 0,
A． 0 B ． 1 C． 3 D ． 5
6．若x 表示不超出 x 的最大整数，则图中的程序框图运转以后输出的结果为（）
A． 48920 B ． 49660 C ． 49800 D ． 51867
7．数列a 知足 a1 2 ， a n 1 a n2（ a n 0），则 a n （）
n
A．10n 2 B ． 10n 1 C．102n 1 D ．22n 1
8．《中国诗词大会》的播出引起了全民的念书热，某小学语文老师在班里展开了一次诗词默写竞赛，班里
40 名学生得分数据的茎叶图以下图. 若规定得分不小于85 分的学生获取“诗词达人”的称呼，小于85 分且不小于 70 分的学生获取“诗词好手”的称呼，其余学生获取“诗词喜好者”的称呼，依据该次竞赛的成
绩依据称呼的不一样进行分层抽样抽
选10 名学生，则抽选的学生中获取“诗词好手”称呼的人数为（）
A． 2 B ． 4 C．5D ． 6
9．某几何体的正视图和侧视图如图（ 1），它的俯视图的直观图是矩形O1 A1B1C1（如图（2）），此中 O1 A1 3 ，O1C1 1，则该几何体的侧面积及体积为（）
A． 24，24 2 B ． 32，8 2 C．48，24 2 D．64，64 2
10．已知函数 f x 3sin x cos x 4cos 2 x （0 ）的最小正周期为，且 f 1 ，则
2
f
2
（）
A．5
B ．
9
C ．
11
D
13 2 2 2
．
2
11．已知双曲线x2 y 2
1（a 0 ， b 0 ）的左、右焦点分别为F1， F2，点P在双曲线的右支上，且a2 b2
uuur uuur
2
PF1PF2（ 1 ）， PF1 PF2 0 ，双曲线的离心率为，则（）A． 2 B ． 2 3 C．2 2 D．2 3
12．已知函数 f x x2 4x 5, x 1,
若对于 x 的方程 f x kx 1 恰有四个不相等的实数根，则实
ln x, x 1, 2 数 k 的取值范围是（）
A ． 1
, e
B ． 1
, e
C ． 1
, e
2
2 2 e
D
． 1 , e
2 e
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．在锐角 V ABC 中，角 A ，B 所对的边长分别为 a ，b ，若 2asin B
3b ，则 cos
3
A
．
2
14．以下图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A 1 B 1C 1D 1 中， E ， F 分别是 CC 1 ， AD 的中点，那么异面
直线 D 1E 和 A 1 F 所成角的余弦值等于
．
15．若 x ， y 都是正数，且 x
y 3 ，则
4
1 的最小值为
．
x 1 y
1
16．已知函数 2x 1, x
0,
若函数 g
x
f x 3m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围
f x
2 2x, x
x 0,
是
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在 V ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 3a cosC 2b 3c cos A .
（ 1）求角 A 的大小；
（ 2）已知等差数列
a n 的公差不为零，若 a 1 sin A 1，且 a 2 ， a 4 ， a 8 成等比数列， 求
4
的前 n 项
a n
a
n 1
和 S n .
18．如图，将直角三角形
PAO 绕直角边 PO 旋转组成圆锥，四边形 ABCD 是 e O 的内接矩形， M 为母线
PA 的中点， PA 2 AO .
（ 1）求证： PC ∥ 平面 MBD ；
（ 2）当 AM CD 2 时，求点 B 到平面 MCD 的距离 .
19．在中学生综合素质评论某个维度的测评中，分优异、合格、尚待改良三个等级进行学生互评. 某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了认识性别对该维度测评结果的影响，采纳分层抽样方法从高一年级抽
取了 45 名学生的测评结果，并作出频数统计表以下：表一：男生
表二：女生
（ 1）从表二的非优异学生中随机抽取 2 人谈话，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概率；
（ 2）由表中统计数据填写下边的 2 2 列联表，并判断能否有90%的掌握以为“测评结果优异与性别相关”.
n ad bc 2
参照公式：K 2
a b c b ，此中 n a b c d .
c d a d
参照数据：
P K 2 k0 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635
20．已知椭圆C：y
2 x2 1（a b 0 ）的上、下两个焦点分别为F
1， F2，过 F1的直线交椭圆于M ，a2 b2
N 两点，且V MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为 3 .
2 （ 1）求椭圆C的标准方程；
（ 2）已知O为坐标原点，直线l：y kx m 与椭圆C有且仅有一个公共点，点M ， N 是直线 l 上的两点，且 F1M l ， F2 N l ，求四边形F1M N F2面积S的最大值.
21．已知函数 f x bx 1 e x a （a，b R ）.
（ 1）假如曲线y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x ，求a， b 的值；
（ 2）若a 1，b 2 ，对于x的不等式 f x ax 的整数解有且只有一个，求 a 的取值范围.
请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．
22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程
x 1 3
t, 2
已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴成立
1 t
y
2
的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为 2 2 .
（ 1）求直线l被圆C截得的弦长；
（ 2）若M的坐标为1,0，直线l与圆C交于A，B两点，求MA MB 的值.
23．选修 4-5 ：不等式选讲
已知 f x x 1 x a （a为常数）.
（ 1）若f 2 f a 1，务实数a的取值范围；
（ 2）若f x 的值域为 A ，且 A2,3 ，务实数 a 的取值范围.
文科数学（Ⅲ）答案一、选择题
1-5:DAABD6-10:CDBCB11、12：BA
二、填空题
13． 3 14．2
15 ．
9
16 ．
1
,0
2 5 5 3
三、解答题
17．解：（ 1）由正弦定理可得 3 sin A cosC 2sin B cos A 3 sin C cos A ，进而可得3sin A C 2sin B cos A ，即 3 sin B 2sin B cos A .
又 B 为三角形的内角，因此sin B 0 ，于是cos A 3
，2
又 A 为三角形的内角，因此 A .
6
1
（ 2）设a n 的公差为 d ，由于a1sin A 1，且a2，a4，a8 成等比数列，因此 a1 2 ，且 a42 a2 a8，
sin A
因此 a1
2
a1 d a1 7d ，且 d 0 ，解得 d 2 ，3d
因此 a n
4 1
=
1
1
2n ，因此
n n+1 n
，a
n
a
n 1 n 1
因此 S n 1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 1 n .
2 2
3 3
4 n n 1 n 1 n 1
18．（ 1）证明：由于四边形ABCD 为矩形，因此连结AC ，则 BD 与 AC 订交于圆心 O .
连结 MO ，由于 O ， M 分别为 AC ， PA 的中点，
因此 PC ∥ MO .
又 MO 平面 MBD ， PC 平面 MBD ，
因此 PC ∥平面 MBD .
（ 2）解：当AM CD 2 时， PA 2 AM 2 AO 4 ，因此 AO BO AB 2 ，因此 V AOB 是等边三角形 .
连结 PD ，则 PA PD AC BD 4 ，易求得AD CM 2 3 ，又 AM CD ， DM DM ，因此V AMD≌VCDM ，
因此 S V CDM S
V AMD
1
S V PAD 39 .
2 2
又点 M 到平面 BCD 的距离1
PO
3，S
V BCD 2 3 ，V B CDM 1
S
V CDM 点 B 到平面 MCD 的距2 3
离V
M BCD 1
S V BCD 3 ，因此点 B 到平面 MCD 的距离为
4
39 .
3 13
19．解：（ 1）设从高一年级男生中抽出m 人，则m
45 ，
m 25
，则从女生中抽取 20 人，500 500 400
因此 x 25 15 5 5 ，y 20 15 3 2 .
表二中非优异学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为a，b，c，尚待改良的 2 人为A，B，则从这 5 人中任选 2 人的全部可能结果为a, b ， a,c ， b, c ， A, B ， a, A ， a, B ， b, A ， b, B ， c, A ，c, B ，共 10 种，
设事件 C 表示“从表二的非优异学生中随机选用 2 人，恰有 1 人测评等级为合格”，则C的结果为a, A，a, B ， b, A ， b, B ， c, A ， c, B ，共6种，因此P C 6 3 ，即所求概率为 3 .
10 5 5
（ 2）2 2 列联表以下：
由于 1 0.9 0.1，P K2 2.706 0.10 ，
45 15 5 15 10 2 2 2
而 K 2 45 15 5 9 1.125 2.706 ，因此没有90%的掌握以为“测评
30 15 25 20 25
30 15 20 8
结果优异与性别相关” .
20．解：（ 1）由于V MNF2 8，因此4a 8 ，因此 a c 3
，因此 c 3 ，因此
的周长为 2 .又由于
2
a
b a2 c2 1 ，
因此椭圆 C 的标准方程为x2y 21. 4
（ 2）将直线 l 的方程 y
kx m 代入到椭圆方程 x 2
y 2 1中，得 4 k 2 x 2 2kmx m 2 4 0 .
4
由直线与椭圆仅有一个公共点，知
4k 2 m 2 4 4 k 2
m 2
4 0
，化简得 m 2 4 k 2 .
3 m
3 m
设 d 1
FM
k 2
， d 2 F 2N
k 2
，
1
1
2
2
3
2 k 2 7
因此 d 1
2
d 22
m
3 m 3 2 m 2 ，
k 2 1
k 2
1
k 2
1 k
2 1
d 1d 2
3 m
3 m
m 2
3 1
，
k
2
1 k
2
1 k
2
1
因此 M N
F 1F 2
2
2
d 1 d 2
12
d 12 d 22 2d 1d 2
12k 2
k 2
.
1
F 1M N F 2 的面积 S
1 由于四边形 M N d 1 d
2 ，
2
因此 S 2
1 12k
2 d 12 d 22 2d 1d 2
4 k 2 1
3k 2 4k 2 16
2
k 2 1
.
令 k 2
1 t （ t 1 ），则
3 t 1
4 t 1 16
12 t 1 t 3
12 t 2
2t 3
2
S 2
12 12 3 1
1 1 ，
t 2
t 2
t 2
t
3 3
因此当
1
1 时， S
2 获得最大值为 16，故 S max 4 ，即四边形 F 1M N F 2 面积的最大值为
4.
t
3
21．解：（ 1）函数 f x 的定义域为 R ，
f x be x
bx 1 e x bx b 1 e x .
由于曲线 y
f x 在点 0,
f 0 处的切线方程为 y
x ，
因此
f 0
0,
a 1 0, a 1,
f
0 1,
得
1 解得
b
2.
b
1,
2 x （），
（ 2）当时， 1 e
b 2 f x x a a 1
对于 x 的不等式 f x ax 的整数解有且只有一个，
等价于对于 x 的不等式2x 1 e x a ax 0 的整数解有且只需一个. 结构函数
F x 2x 1 e x a ax ， x R ，因此 F x e x 2x 1 a .
①当 x 0 时，由于e x 1 ，2 x 1 1，因此 e x 2x 1 1，又 a 1 ，因此 F x 0 ，因此 F x 在 0,
内单一递加 .
由于 F 0 1 a 0 ， F 1 e>0 ，因此在0,上存在独一的整数x00 使得F x00 ，即
f x0 ax0.
②当 x 0 时，为知足题意，函数 F x 在,0 内不存在整数使 F x 0 ，即 F x 在, 1 上不存在整数使 F x 0 .
由于 x 1 ，因此 e x 2x 1 0 .
当 0 a 1时，函数 F x 0 ，因此 F x 在, 1 内为单一递减函数，因此 F 1 0 ，即
3
a 1；
2e
当 a 0 时， F 1 3
2a 0 ，不切合题意. e
综上所述， a 的取值范围为
3
,1
. 2e
22．解：（ 1）将直线l的参数方程化为一般方程可得x 3y 1 0 ，而圆C的极坐标方程可化为 2 8 ，化为一般方程可得x2 y2 8 ，
圆心 C 到直线 l 的距离为 d 1 1 ，
1 3 2
2
故直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 8 1 31
. 2
x 1 3 t,
（ 2）把
2 代入 x 2 y 2 8 ，可得
1
y t
2
t2 3t 7 0 .（*）
设 t1， t2 是方程（ * ）的两个根，则t1t2 7 ，
故MA MB t1t 2 7 .
23．解：（ 1）由f2 f a 1可得 1 a 2 a 1 1 ，即 a 1 a 2 2 .（*）
①当②当a 1 时，（ * ）式可化为 1 a 2 a 2 ，解之得 a
1 1
，因此 a ；
2 2 1 a 2时，（*）式可化为 a 1 2 a 2 ，即 1 2 ，因此 a ；
③当 a 2 时，（ * ）式可化为 a 1 a 2 2 ，解之得 a 5 5
，因此 a.
2 2
综上知，实数 a 的取值范围为1
U
5
. , ,
2 2
（ 2）由于 f x x 1 x a x 1 x aa 1 ，因此 a 1 f x a 1 ，
a 1 2,
1 2 ，
由条件只需
a 1 3,
即 a
解之得 1 a 3 ，即实数a的取值范围是1,3 .。