湖北省黄石市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷含解析

黄石市部分学校2023~2024学年度第一学期高二年级期末联考
数学试题卷（答案在最后）
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
已知(-是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角为（）
A.
π6
B.
π3
C.
2π3 D.
5π6
【答案】D 【解析】
【分析】由直线l 的方向向量可知直线l 的斜率，进而可得倾斜角.【详解】设直线l 的倾斜角为[)0,πα∈，
由直线l 的方向向量可知直线l 的斜率3
tan 3
k α==-，所以5π6α=.
故选：D.
2.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A.16 B.8
C.4
D.2
【答案】C 【解析】【分析】
利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值．
【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142
11115,
34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2
a q =⎧⎨=⎩，2
314a a q ∴==，故选C ．
【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．3.已知函数()f x 在2x =的附近可导，且()2
2lim
22
x f x x →-=--，()22f =，则()f x 在()()22f ,处的切线
方程为（）
A.260x y +-=
B.
220
x y --=C.260x y +-= D.220
x y -+=【答案】A 【解析】
【分析】由题意可知斜率，代入点斜式即可求解.【详解】由题知，
()2
2lim
22
x f x x →-=--，
∴函数()f x 在2x =处的切线斜率为：2k =-，
又 ()22f =，∴切线过点()2,2，代入点斜式有：()222y x -=--，即：260x y +-=.故选：A.
4.已知等比数列{}n a 满足10a <，则“14a a >”是“35a a >”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a >，即31
1a a q >，又10a <，则31q <，即1
q >则当1q >时，由()
2422
3511110a a a q a q a q q -=-=->，此时35
a a >即由“14a a >”可得到“35a a >”成立.
由35a a >，即24
11a q a q >，即21q >，即1q >或1
q <-()
33111141a a a q q a a -=-=-若1q >时，()3114
10a a a q =->-，14a a >成立
若1q <-时，()3114
10a a a q =-<-，则14a a >不成立
所以若“35a a >”则“14a a >”不成立.所以“14a a >”是“35a a >”的充分不必要条件故选：A
5.已知()3,3,Q M 为抛物线2
1:8C y x =上一动点，N 是圆22
2:430C x y x +-+=上一点，则
MQ MN +的最小值是（
）
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】B 【解析】
【分析】将MN 转化为2MC r -，再根据抛物线的定义考虑,,M T Q 三点共线时的情况，由此求解出
MQ MN +的最小值.
【详解】2
1:8C y x =的焦点为()2,0，准线为2x =-，
222:430C x y x +-+=即为()2
22:21C x y -+=，
所以圆心为()22,0C 即为1C 焦点，半径1r =，显然()3,3Q 在抛物线内部，过点M 作MT ⊥准线，交准线于T 点，记点,,M T N '''如下图所示：
所以21MQ MN MQ MC r MQ MT +≥+-=+-，
当且仅当,,M Q T 三点共线时取最小值，此时13214MQ MN QT +=-=+-=，所以MQ MN +的最小值为4，故选：B.
6.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列{}n a ，且{}1n n a a +-为等差数列，则数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前100项和为（
）
A.
99
100
B.
100101
C.
9950
D.
200101
【答案】D 【解析】
【分析】根据累加法求得n a ，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】1231,3,6a a a ===，21322,3a a a a -=-=，
由于{}1n n a a +-为等差数列，所以()12111n n a a n n +-=+-⨯=+，所以()()()
121321n
n n a a a a a a a a -=+-+-++- 11232
n
n n +=++++=
，1a 也符合，所以()()1121
1,2211n n n n a a n n n n +⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前100项和为1111112002121223100101101101⎛⎫⎛
⎫-+-++-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D
7.已知椭圆1L ：
22
12516
x y +=，椭圆2L 与椭圆1L 的离心率相等，并且椭圆1L 的短轴端点就是椭圆2L 的长轴端点，据此类推：对任意的*N n ∈且2n ≥，椭圆n L 与椭圆1n L -的离心率相等，并且椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，由此得到一个椭圆列：1L ，2L ，⋅⋅⋅，n L ，则椭圆5L 的焦距等于（
）
A.4
365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
B.4
465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
C.2
365⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
D.2
465⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
【分析】确定椭圆的离心率，根据椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，可得1n n a b -=，结合
222
22111n n n n b b e a b -=-=-可推出{}n b 为首项为4，公比为45的等比数列，即可求得3544
4()5a b ==⨯，进而利
用553
5
c a =
即可求得答案.【详解】由题意可设椭圆n L 的长半轴为n a ，短半轴为n b ，焦半距为n c ，对于椭圆1L ：
22
12516
x y +=，有1115,4,3a b c ===，则由题意可知所有椭圆的离心率都为
35
，由于椭圆1n L -的短轴端点就是椭圆n L 的长轴端点，故1n n a b -=，
则222
221,11n n n n n n c b b e e a a b -=∴=-=-，即2221134()1,55
n n n n b b b b --=-∴=，即{}n b 为首项为4，公比为4
5
的等比数列，故3
5444()5a b ==⨯，
所以34
5533444(3()5555
c a ==⨯⨯=⨯，
故椭圆5L 的焦距等于4
5426()5
c =⨯，
故选：B
8.双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，以C 的实轴为直径的圆记为D ，
过1F 作D 的切线与曲线C 在第一象限交于点P ，且122
4F PF S a = ，则曲线C 的离心率为（）
A.
B.
1
2
C.
1
D.
【答案】A 【解析】
【分析】设1AF O θ∠=，求出sin a c θ=
及cos b
c
θ=，由三角形面积及三角函数值得到14PF a =，由双曲线定义得到22PF a =，在12PF F △中，由余弦定理得到方程，求出2b
a
=，得到离心率.
【详解】设切点为A ，1AF O θ∠=，连接OA ，则1sin AO a OF c θ=
=
，cos b
c
θ==，
过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，则12
2
12142F PF S F F PE c PE a =⋅== ，故24a PE c
=，因为1sin PE a
PF c
θ=
=，解得14PF a =，由双曲线定义得122PF PF a -=，所以22PF a =，在12PF F △中，由余弦定理得222
2221122
112
1644cos 2242PF F F PF a c a b PF F F a c c
θ+-+-=
==⋅⨯⋅，
化简得2234a c ab +=，又222c a b =+，
所以2
2
440a b ab +-=，方程两边同时除以2
a 得2
440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，解得2b a =，所以离心率2
215b e a
=+故选：A
【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围).
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知曲线C 的方程为221()26x y k k k
+=∈--R ，则下列结论正确的是（
）
A.当26k <<，曲线C 为椭圆
B.当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为3y x =
C.“6k >或2k <”是“曲线C 为双曲线”的充要条件
D.不存在实数k 使得曲线C
的双曲线【答案】BCD 【解析】
【分析】根据椭圆双曲线方程的特点分别判断每个选项即可.
【详解】对A ，若4k =，则曲线方程222x y +=表示圆，故A 错误；
对B ，当0k =时，曲线方程为22
162
y x -=
，表示双曲线，其渐近线方程为y =，故B 正确；
对C ，要使曲线为双曲线，需满足()()260k k --<，解得6k >或2k <，故“6k >或2k <”是“曲线C 为双曲线”的充要条件，故C 正确；对D
，则c
a
=，则可得a b =，则26k k -=-或26k k -=-，两个方程均无解，故D 正确.故选：BCD.10.已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若
1089S S S <<，则下列说法正确的是
（
）
A.1 0a d >>
B.使得0n S >成立的最大自然数18
n =C.891011 a a a a +<+ D. n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为
1100
S a 【答案】ACD 【解析】
【分析】结合题意：利用等差数列及1089S S S <<，判断出10a d >>，并可以分析出91090a a a +<<，再利用数列的相关知识即可判断.【详解】根据题意：89989109109100,,0S S S S a S S S S a <-=>⎧⎧∴⎨
⎨<-=<⎩⎩ 即9110180
,90
a a d a a d -=--<⎧⎨=+<⎩两式相加，
解得：10
0a d >⎧⎨<⎩
，故A 正确.
由108S S <，可得到91090a a a +<<，所以8110a a +<，
()10118940a a a a d +-+=<，1011890a a a a +++<，
所以891011a a a a +<+，故C 正确；
由以上可得：123910110a a a a a a >>>⋯>>>>>⋯，
()
117179171702
a a S a +=
=>，而()
()1181891018902
a a S a a +=
=+<，
当17n ≤时，0n S >；当18n ≥时，0n S <；要使得0n S >成立的最大自然数17n =，故B 错误.
当9n ≤，或18n ≥时，
0n n S a >；当918n <<时，0n n
S
a <；由1011170a a a >>>⋯>，10111217S 0S S S >>>⋯>>,
所以n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为1100S a ，故D 正确.
故选：ACD.
11.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）
A.直线AB
的斜率为 B.||||
OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM ∠+∠<︒
【答案】ACD 【解析】
【分析】由AF AM =
及抛物线方程求得3(
,)42
p A ，
再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得6(
,)33
p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512p AB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅<
求得AOB ∠，AMB ∠为钝角即可判断D 选项.
【详解】
对于A ，易得(,0)2
p F ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为32
24
p
p
p +=，代入抛物线可得2
233242p y p p =⋅=，则36(,42p A ，则直线AB
的斜率为62
342
p
p p =-，A 正确；
对于B
，由斜率为AB
的方程为2p x y =+
，联立抛物线方程得
2
20y py p -=，设11(,)B x y
，则126p y p +=
，则13y =-
，代入抛物线得2
123p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭，解得13p x =，
则(
,33
p B -，
则32
p
OB OF =≠=，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：325244312
p p p AB p p OF =
++=>=，C 正确；对于D ，2
3663663(,(,)0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭ ，则AOB ∠为钝角，
又2225(,)(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则AMB ∠为钝角，
又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确.故选：
ACD.
12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1143n n n n a a a a ++⋅=-（1n =，2，…），则（）
A.13n n a a +<
B.51243
a =
C.1ln 1n n a ⎛⎫
<+
⎪⎝⎭
D.17114
n S ≤<
【答案】AD 【解析】
【分析】对于A 选项，只需判断0n a >；对于B 选项，通过通项公式可求得51241
a =
；对于C 选项，将条件转化为132n n e +-<，可判断错误；对于D 选项，将数列放缩成等比数列求和，可判断正确.
【详解】由条件1143n n n n a a a a ++⋅=-，两边同时除以1n n a a +⋅，得1134n n
a a +=-，∴
11123(2)n n a a ++=+∴111123(2)3n n n a a -+=+=，∴132
n n a =-，对于A 选项，∵1
032n n
a =>-，∴11430n n n n a a a a ++⋅=->，∴13n n a a +<，故A 选项正确；1032n n a =
>-，5
511
32241
a ==-，所以B 选项错误；对于C 选项，
1
32n n a =-，1ln ln(32)1n n
n a
⎛⎫=-<+ ⎪⎝
⎭
等价于132n n e +-<，由极限思想知，当n →+∞时，132n n e +->，故C 选项错误；
对于D 选项，
2
21111
222327331)31)33
n n
n n n
n a n -=
=≤=≥-⋅--（）
（（，
∴1012
11
1(1)111
1313111(1)173********
13
n n n n S ----≤+
+++=+⋅=+-⋅⋅⋅- 1173114143n -=
-⋅17
14
<，又∵11n S S ≥=，所以D 选项正确.故选：AD .
【点睛】本题考查了数列由递推公式求通项公式，以及关键对通项公式的形式进行分析，放缩，判断.属于较难题.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．【答案】12【解析】
【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.
【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，
由题意可知，O 为球心，在正方体中，2222222EF FG EG =+=+=，
即2R =
，
则球心O 到1CC 的距离为2222112OM ON MN =+=+，
所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱1CC 只有1个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.故答案为：12
14.已知函数()2x f x e =，()2ln(2)g x x =+，请写出函数()f x 和()g x 的图象的一条公共切线的方程为______.
【答案】2e 40x y -+=（或220x y -+=）【解析】
【分析】设切点坐标分别为(
)1
1,2e
x x ，()()2
2
,2ln 2x x
+，由切线斜率可得1
21
2e
x x =
-，结合公切线方程解得11x =-或10x =，进而可得公切线方程.
【详解】因为()2x f x e =，()2ln(2)g x x =+，则()2e x f x '=，2()2
g x x '=
+，设函数()f x 上的切点坐标为()
11,2e x
x ，切线斜率为12e x ，
函数()g x 上的切点坐标为()()
22,2ln 2x x +，切线斜率为
22
2
x +，由切线斜率可得1
222e 2x x =
+，即1
21
2e x x =-，可得公切线方程为()11
12e 2e
x
x y x x -=-，
代入点()()
22,2ln 2x x +可得()()11
2212ln 22e 2e
x
x x x x +-=-，
代入1212e x x =
-可得111
11122e 2e 2e x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭
，整理得()()
111e 10x
x +-=，解得11x =-或10x =，
所以切线方程为2e 40x y -+=或220x y -+=.故答案为：2e 40x y -+=（或220x y -+=）.
15.已知点()2,2A 在抛物线22y px =上，B ，C 是抛物线上的动点且CA CB ⊥，若直线AC 的斜率
1,22k ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则点B 纵坐标的取值范围是______．
【答案】[]3,2--【解析】
【分析】由已知得出1p =，即可设出211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,2y C y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则根据已知可得2212212CA CB k k y y y ⋅=
⨯=-++与211,222y y ⎡+-⎤
∈⎢⎥⎣⎦，211,222y y ⎡+-⎤∈⎢⎥⎣⎦与2
12222y ≤≤+可解出160y -≤≤，由221
2212CA CB k k y y y ⋅=
⨯=-++整理为()2
21212240y y y y ++++=，根据已知得出关于2y 的方程()2
21212240y y y y ++++=，在[]21,2y ∈-上有解，即可解出132y -≤≤-或16y ≥，综合即
可得出答案.
【详解】 点()2,2A 在抛物线22y px =上，
44p ∴=，解得1p =，即22y x =，
设211,2y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
22,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
则
222222222CA y k y y -=
=+-，222
221212
22
CB y y k y y y y -==+-， 直线AC 的斜率1,22k ⎡⎤
∈
⎢⎥⎣⎦
，
212222y ∴≤≤+，解得：212y -≤≤ ①，CA CB ⊥ ，2212212CA CB k k y y y ∴⋅=
⨯=-++，且211,222y y ⎡+-⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，由211,222y y ⎡+-
⎤
∈⎢⎥⎣⎦
解得：1212y y ≤--≤ ②，由+①②可得：160y -≤≤，
221
2212y y y ⨯=-++整理化简为：()221212240y y y y ++++=，则关于2y 的方程()2
21212240y y y y ++++=，在[]21,2y ∈-上有解，
则()()()()()211211211
Δ2424012240222240
y y y y y y ⎧=+-+≥⎪⎪
--+++≥⎨⎪++++≥⎪⎩
，解得：132y -≤≤-或16y ≥，
综上所述：点B 纵坐标的取值范围是[]3,2--，故答案为：[]3,2--.
16.已知各项都不为0的数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n n S a a +=，且11a =，则{}n a 的通项公式是______；设数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，若对*n ∀∈N ，2n n T T t ->恒成立，则t 的取值范围是______.【答案】①.n a n
=②.1,2⎛⎫-∞ ⎪
⎝
⎭
【解析】
【分析】根据n a 与n S 之间的关系分析可知11a =，22a =，112n n a a +--=，结合等差数列通项公式运算求解；设2n n n b T T =-，可知()min n b t >，结合数列单调性分析求解.【详解】因为12n n n S a a +=，且11a =，若1n =，则1122a a a =，可得22a =；
若2n ≥，则112n n n S a a --=，可得112n n n n n a a a a a +-=-，且0n a ≠，可得112n n a a +--=，
可知：数列{}n a 奇数项、偶数项均成等差数列，当n 为奇数，则1122n n a n -=+⨯=；当n 为偶数，则2
222
n n a n -=+⨯=；综上所述：n a n =；因为
11
n a n =，可知1112n T n
=++⋅⋅⋅+，设2111111111222122n n n b T T n n n n n
⎛
⎫⎛⎫=-=+
+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭，由题意可知：()min n b t >，因为111111123
22122n n b b n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+
⎪ ⎪
+++++⎝⎭⎝⎭()()
1111
021*******n n n n n =
+-=>+++++，可知数列{}n b 为递增数列，则数列{}n b 的最小项为112
b =，则12t <
，所以t 的取值范围是1,2∞⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
故答案为：n a n =；1,
2∞⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知直线:3450l x y -+=与圆22:6250E x y x y a +--++=相切.（1）求a 的值及圆E 的方程；
（2）已知直线:20m kx y -+=与圆E 相交于M ，N 两点，若MEN m 的方程.【答案】（1）1a =，()()2
2
314x y -+-=（2）答案见解析【解析】
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系列式求得1a =，进而可得圆的方程；
（2
）根据面积关系可得sin 2
MEN ∠=，分π3MEN ∠=和2π3MEN ∠=，结合点到直线的距离公式运
算求解.【小问1详解】
因为圆()()2
2
:315E x y a -+-=-，可知圆心()3,1E
，半径r =
，且5a <，
2==，解得1a =，
此时圆()()2
2
:314E x y -+-=.【小问2详解】
由（1）可知：圆心()3,1E ，半径2r =，
由题意可知：11
sin 22sin 22
MEN S EM EN MEN MEN =⋅⋅∠=⨯⨯∠
= 可得sin 2
MEN ∠=，且()0,πMEN ∠∈，若π3MEN ∠=，则圆心()3,1E
到直线m 的距离π
cos 6
d r ==
，
可得d
=
=36
k -=或36k -+=
，
此时直线m 的方程为326y x -
-=+或326
y x -=+；若2π3MEN ∠=，则圆心()3,1E 到直线m 的距离π
cos 13
d r ==，
可得1d =
=，解得0k =或34k =-，
此时直线m 的方程为2y =或3480x y +-=
；综上所述：直线m 的方程为326y x
-=
+或326
y x -=+或2y =或3480x y +-=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
2
n n n S a +=，11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足2,22,2n a n n n
n
n n b a a n a a ⎧⎪
=+⎨+-⎪+⎩为偶数为奇数
，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）n a n
=（2）1444321
n n
n +-+
+【解析】
【分析】（1）应用n S 与n a 的关系即可求解；（2）应用分组求和及等比数列求和公式即可求解.【小问1详解】因为1
2
n n n S a +=
，2n ≥时，112
n n n
S a --=,
两式相减得11
n n a n a n -=-，212a a =，323
2a a =，L ，11
n n a n a n -=-，相乘得
1
n
a n a =，所以(2)n a n n =≥，当1n =时符合上式，所以n a n =；【小问2详解】
2,22,2n n n b n n
n n
n ⎧⎪
=⎨++-⎪
+⎩为偶数为奇数，当n 为奇数时221
1112222n b n n n n ⎛⎫=+
+--=- ⎪++⎝⎭
，2422111
11222213352121n n T n n ⎛⎫=++++-+-++- ⎪
-+⎝⎭ 4(14)41421
n n
n -=+
-+
1444321n n n +-=+
+.
19.如图，在几何体ABCDE 中，,CA CB CD =⊥平面,,2ABC BE CD BE CD =∥.
（1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
（2）若,3,4CA AB BE AB ===，在棱AC 上是否存在一点F ，使得EF 与平面ACD 所成角的正弦值
为
7
？若存在，请求出AF AC 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2）存在，1
2
AF AC =【解析】
【分析】（1）取AB 的中点O ，连接CO ，取AE 的中点M ，连接,OM DM ，通过证明DM ⊥平面ABE 可得平面ADE ⊥平面ABE ；
（2）以O 为坐标原点，,,OB OC OM 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设
AF AC λ=
，利用向量法求出EF 与平面ACD 所成角的正弦值，然后解方程可得答案.
【小问1详解】
因为CD ⊥平面ABC ，且BE CD ，所以BE ⊥平面ABC ，
取AB 的中点O ，连接CO ，则CO ⊂平面ABC ，所以BE CO ⊥，又CA CB =，所以CO AB ⊥，
取AE 的中点M ，连接,OM DM ，则OM BE ∥，且1
2
OM BE =，又1
,2
BE CD CD BE =
∥，所以CD OM P ，且CD OM =，所以四边形OCDM 为平行四边形，所以DM CO ∥，所以,DM BE DM AB ⊥⊥，
又,AB BE ⊂平面,ABE AB BE B ⋂=，所以DM ⊥平面ABE ，因为DM ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ABE ；【小问2详解】
由（1）知,,OC OB OM 两两垂直，以O 为坐标原点，,,OB OC OM 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(
)(
)
()32,0,0,0,,0,,2,0,32A C D E ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，
所以()
()32,,0,0,,4,0,32AC CD AE ⎛⎫=== ⎪⎝
⎭
，
设平面ACD 的一个法向量(),,n x y z =
，
则0,0,n CD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即30,220,
z x ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩取1y =
，可得()
n = .
设()2,,0AF AC λλ==
，所以()
24,,3EF AF AE λ=-=--
，
记EF 与平面ACD 所成的角为θ，
所以sin cos ,7n EF n EF n EF θ⋅====⋅
，
解得12
λ=
，故F 为AC 的中点，即1
2AF AC =.所以在棱AC 上存在点F ，使得EF 与平面ACD 所成角的正弦值为
277
，且
12AF AC =.20.已知数列{}n a 满足14a =，当2n ≥时，()
1441n
n n a a n n --=--.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列1n n b na =-，证明：
1211149
n b b b +++< .【答案】（1）4n
n a n
=
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）当2n ≥时，由已知等式变形可得
1111
441
n n n n a a n n ---=--，利用累加法可求得n a 在2n ≥时的表达式，然后检验1n =时的情形，综合可得出数列{}n a 的通项公式；
（2）当1n =时，验证所证不等式成立，当2n ≥时，由放缩法可得出1
11
34n n b -≤⋅，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.【小问1详解】
解：当2n ≥时，在等式144(1)n n n a a n n --=--两边同除4n 后得1111441n n n n a a n n ---=--，所以，21
2323211
11442114423
11441n n n n a a a a a a n n --⎧-=-+⎪⎪
⎪-=-+⎪
⎨⎪⎪
⎪-=-+⎪-⎩ ，上述等式累加得1114n n a n -=-+，即14n n a n =，所以，4n
n a n =.
又1n =时，14a =满足4n
n a n
=该式，故()
4n n a n n *=∈N .
【小问2详解】
解：由141n
n n b na =-=-，所以，1
11144
1344134n n n n n b ----=⋅-=⋅+-≥⋅，
所以，1
11
34n n b -≤⋅，当1n =时，
111439
b =<，
当2n ≥时，21121111111111141441113444394914
n n n n b b b -⎛
⎫⋅- ⎪
⎛⎫⎛
⎫⎝⎭+++<++++=⋅=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .
综上所述，对任意的n *∈N ，
1211149
n b b b +++< .21.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
过点A ，且焦距为10．
（1）求C 的方程；
（2）
已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||
||||
GD HD GE HE =．【答案】（1）22
1169
x y -
=（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；
（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证
||||
||||
GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅ ，设出直
线:DE y x =
-，()()1122,,,G x y H x y
，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，
将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅
，计算结果为零，即证出．
【小问1详解】
由题意可得2232910a b
-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -
=．【小问2详解】
设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，
当x =2
321169
y -=，解得3=±y ，则||3t <，
双曲线的渐近线方程为34
y x =±，
故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE
方程为(3
4
y x =±
-，
令x =
2y =±
，故||2
t ≠．
则直线:DE y x =-．
由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得(
)
222292161440t x x t -+--=，所以2
1228229
x x t +=-，21221614429t x x t +=-
．(
)(
)(
)()
11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅-----⋅-
)()121212122232
x x y y x x t y y =+-+-+
+()222121232243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()
()
22222224894324432
2929t t t t t t t +++=-++--0=．
所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0
HE G G E D DH = 即||||||||
GD HD GE HE =
．【点睛】关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的
关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.
22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>
的离心率为2
，椭圆E 上的点与点(0,2)P 的距离的最大值为4.（1）求E 的方程；
（2）设x 轴上的一定点(,0)T t ，过点T 作直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，若在E 上存在一点A ，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值，求实数t 的取值范围.
【答案】（1）22
184
x y +=（2
）t >
或t <-【解析】
【分析】（1）根据离心率可得222a c =，b c =，设(),P x y ，根据两点间距离公式结合二次函数分析求解；
（2）分类讨论直线l 的斜率是否为0，设直线l 的方程为x y t λ=+，联立方程结合韦达定理整理得()()
()()20000022200228482AP AQ x y tx y x t k k x x t λλλ+-+-+=-+-，进而分析求解.
【小问1详解】
由题意可知2
c e a ==，则222a c =，所以2222b a c c =-=，即b c =．
设(),P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b +=，可得222222122y x a b y b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，所以
PQ ===注意到[],y b b ∈-，则有：
若02b <<
，则4PQ <<，不符合题意；
若2b ≥，当[]2,y b b =-∈-
时，max
4PQ ==，
解得2
b =，所以a =故椭圆C 的方程为22
184
x y +=．【小问2详解】
设()()()0011220102,,,,,,,A x y P x y Q x y x x x x ≠≠，
若直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x y t λ=+
，联立方程22
184x y x y t λ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()
2222280y t y t λλ+++-=，则2121222280,,22
t t y y y y λλλ-∆>+=-=++，可得()12121222242222t t x x y t y t y y t t λλλλλλλ⎛⎫+=+++=++=-+= ⎪++⎝⎭，()()()22
12121212x x y t y t y y t y y t λλλλ=++=+++2222
22228228222t t t t t λλλλλλλ--⎛⎫=⨯+-+= ⎪+++⎝⎭，()()()1221122112122x y x y y t y y t y y y t y y λλλ+=+++=++()222228216222t t t λλλλλλ-⎛⎫=+-=- ⎪+++⎝⎭
，由题意可得：()()()()()()01020201010201020102AP AQ
y y x x y y x x y y y y k k x x x x x x x x -⋅-+-⋅---+=+=---⋅-()()()000120122112
2012012
2x y x y y y x x x y x y x x x x x x -+-+++=-++000022222200222416222242822t t x y x y t t x x λλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭
()()
()()20000022200228482x y tx y x t x x t λλλ+-+-=-+-，
若上式为常数，则080tx -=，即08x t =
，而此时()()()20000222002482AP AQ x y y x t k k x x t λλ+-+=-+-，可得()()000002200042282y x t x y y x x t
x t -==---，
又因为0x -<<
8t
-<<
，解得t >
或t <-；若直线l 的斜率为0
，不妨设(
)(),P Q -，
则000200228AP AQ x y y k k x x t
+===--，符合题意；
综上所述：t >
或t <-，存在点A （满足08x t =
），使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值002y x t
-.【点睛】关键点睛：()()()()20000022200228482x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-对任意λ恒为定值，因为分子分母中同时含有λ，
这种情况下分子分母λ的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要080tx -=且()()000002200042282y x t x y y x x t x t -==---，即2λ项、常数项对应成比例.。