第五讲 考研高等代数选讲之线性空间

知识脉络图解
集合与映射
线性子空间 线性空间的定义
生成子空间 基本性质 同构映射 子空间的交与和 基与维数 线性空间的同构 元素的坐标
n 向量空间 P
子空间的直和
线性空间分解为 子空间的直和
基变换与坐标变换
重点、 重点、难点解读
线性空间是我们第一次用公理化的方法来定义的数 学结构，即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭， 学结构，即将一个具有加法与数乘运算且这些运算封闭， 并满足八条算律的集合定义为线性空间。 并满足八条算律的集合定义为线性空间。应该说这是在 数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念， 数学思想方法上是一次新的飞跃。有了这一概念，我们 就可以用统一的方法来处理许多数学对象。 就可以用统一的方法来处理许多数学对象。 本章的重点之一是线性空间的基与维数。 本章的重点之一是线性空间的基与维数。因为在 确定了有限维线性空间的基之后， 确定了有限维线性空间的基之后，一方面明晰了线性
例1、设V 是定义在闭区间 [ 0,1] 上所有实函数的集 、 上定义的加法为： 合，在V 上定义的加法为：对 f1 , f 2 ∈ V , f1 + f 2 为函数 ( f1 + f 2 )( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x ) 定义实数 k 乘函数 f ∈ V 为 ( kf )( x ) = k ⋅ f ( x ) （1）V 是实数域上的线性空间；并指出什么函数是 ） 是实数域上的线性空间； 零元素； 的负元素是什么函数； 零元素； f ∈ V 的负元素是什么函数； （2）证明：V 不是有限维线性空间。 ）证明： 不是有限维线性空间。 首先可证V关于加法与数乘封闭 ∀ 关于加法与数乘封闭。 证 首先可证 关于加法与数乘封闭。 f1 , f 2 ∈ V , k ∈ R, 显然， 上的实函数， 显然， f1 + f 2 和 kf1 仍为定义在闭区间 [ 0,1] 上的实函数， f 所以， 所以， 1 + f 2 , kf1 ∈ V . 再验证加法应满足的4条算律： f1 , f 2 , f 3 ∈ V , k , l ∈ R, 再验证加法应满足的 条算律： 条算律 ∀ 有
(α1 ,α 2 ) + ( −α1 , −α 2 ) = (θ1 ,θ 2 ) .
对数乘封闭， 其次由数乘的定义知 V1 × V2 对数乘封闭，且 百度文库⋅ (α1 ,α 2 ) = (α1 ,α 2 ) , k l (α1 ,α 2 ) = ( kl )(α1 ,α 2 ) ,
都成立。 上的线性空间。 都成立。所以 V1 × V2 是P上的线性空间。 上的线性空间 β 的一组基， （2）设 α1 ,α 2 ,L,α m 是 V1 的一组基， 1 , β 2 ,L , β n 是V2 ） 的一组基。 的一组基。令 γ 1 = ( α 1 , θ 2 ) , γ 2 = ( α 2 , θ 2 ) ,L , γ m = ( α m , θ 2 )
α = s1α1 + L + smα m , β = t1β1 + L + tn β n
γ = (α ,θ 2 ) + (θ1 , β )
= s1α1 + L + smα m + t1β1 + L + tn β n 线性表示， 即 γ 可由 γ 1 ,L , γ m , δ1 L , δ n 线性表示，它们为 V1 × V2 的一 组基， 组基， 从而 dim (V1 × V2 ) = m + n.
( k + l )(α1 ,α 2 ) = k (α1 ,α 2 ) + l (α1 ,α 2 ) , k (α1 , α 2 ) + ( β1 , β 2 ) = k (α1 , α 2 ) + k ( β1 , β 2 )
δ1 = (θ1 , β1 ) , δ 2 = (θ1 , β 2 ) ,L, δ n = (θ1 , β n )
f1 + f 2 = f 2 + f1 ,
( f1 + f 2 ) + f3 =
f1 + ( f 2 + f 3 )
规定零函数为
0 ( x ) = 0, x ∈ [ 0,1]
条中， 这4条中，只证 ( − f1 ) + f1 = 0 ，对 ∀x ∈ [ 0,1]，有 条中
( − f1 ) + f1 ( x ) = ( − f1 )( x ) + f1 ( x ) = − ( f1 ( x ) ) + f1 ( x ) = 0 = 0 ( x ) 最后验证数乘满足的4条算律 条算律： 最后验证数乘满足的 条算律： k ( f1 + f 2 ) = kf1 + kf 2 , ( k + l ) f1 = kf1 + lf1 k ( lf1 ) = ( kl ) f1 , 1 ⋅ f1 = f1
例3、在全体正实数集合V = R +中，规定 a ⊕ b = ab k o a = ak ∀a, b ∈ R + , k ∈ R 验证V 关于这两种运算构成R上的线性空间。
二、、线性空间的基与维数 、、线性空间的基与维数 是数域P上的线性空间 上的线性空间。 设V 是数域 上的线性空间。如果V 中有 n 个元素 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性无关，且 ∀α ∈ V ， α 可由 α1 ,α 2 ,L ,α n 线性无关， 唯一线性表示， 唯一线性表示，即
P 空间的结构（由基生成整个线性空间），另一方面将 空间的结构（由基生成整个线性空间），n另一方面将 ）， Pn 线性空间中抽象的元素及规定的运算与 中具体的向
量及向量的运算相对应， 量及向量的运算相对应，因此可归结为对 讨论，即它们具有相同的代数结构。 讨论，即它们具有相同的代数结构。 中向量的
本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。 本章的另一个重点与难点是子空间的和与直和。能 够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和， 够将一个线性空间分解为若干个子空间的直和，则这个 线性空间的研究就归结为若干个较简单的子空间的研究 。应掌握直和的概念和等价条件。 应掌握直和的概念和等价条件。
dim V = ∞. 即V 不是有限维线性空间。 不是有限维线性空间。
是数域P上的线性空间 上的线性空间， 例2、设 V1 ,V2 是数域 上的线性空间，对 k ∈ P, 、 ∀ (α1 , α 2 ) , ( β1 , β 2 ) ∈ V1 × V2 , 规定 (α1 ,α 2 ) + ( β1 , β 2 ) = (α1 + β1 ,α 2 + β 2 ) k (α1 , α 2 ) = ( kα1 , kα 2 ) V 关于以上运算构成P上的线性空间 上的线性空间； （1）证明： 1 × V2 关于以上运算构成 上的线性空间； ）证明： （2）设 dim V1 = m,dim V2 = n ，求 dim (V1 × V2 ) . ） 对加法封闭， 证 （1）由加法的定义知 V1 × V2 对加法封闭，并容 ） 易验证加法满足交换律与结合律。 易验证加法满足交换律与结合律。且 中的零元， 设 θ1 ,θ 2 分别是 V1 ,V2 中的零元，则(θ1 ,θ 2 ) 是V1 × V2 的 零元。 零元。 对 ∀ (α1 , α 2 ) ∈ V1 × V2 , 存在 ∀ ( −α1 , −α 2 ) ∈ V1 × V2 , 使得
则 0 + f1 = f1 规定 f1 的负元素为 ( − f1 )( x ) = − f1 ( x ) , x ∈ [ 0,1] 则 ( − f1 ) + f1 = 0
也只证第一式。 也只证第一式。对 ∀x ∈ [ 0,1] ，有 k ( f1 + f 2 ) ( x ) = k ( f1 + f 2 )( x ) = k f1 ( x ) + f 2 ( x )
第五讲 线性空间
线性空间是 n 维向量空间的推广。线性空间是在 维向量空间的推广。 不考虑集合的对象， 不考虑集合的对象，抽去它们的具体内容来研究规定 了加法和数乘的集合的公共性质，因此， 了加法和数乘的集合的公共性质，因此，线性空间具 有高度的抽象性和应用的广泛性学习时要深入理解各 个基本概念及其相互之间的联系， 个基本概念及其相互之间的联系，养成从定义出发进 行严格推理的习惯。 行严格推理的习惯。
一、线性空间的判定 1、线性空间的定义 、 对于线性空间的定义，我们应注意以下几点： 对于线性空间的定义，我们应注意以下几点： 线性空间具有一般性， ① 线性空间具有一般性，其中的元素不一定是通常 意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等。 意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等。 线性空间具有抽象性，这主要体现在两个运算上， ② 线性空间具有抽象性，这主要体现在两个运算上， 其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、 其中加法与数乘未必就是我们所熟悉的数、矩阵、多项式、 函数的加法与数乘运算，之所以这样称呼， 函数的加法与数乘运算，之所以这样称呼，是因为所定义 的这两种运算满足通常的加法与数乘运算所具有的运算规 律。在同一非空集合及同一数域上按不同规则来定义这两 种运算，所构成的线性空间是不同的。 种运算，所构成的线性空间是不同的。
l1γ 1 + L + lmγ m + k1δ1 + L + knδ n = θ
先证 m + n 个向量 γ 1 ,L , γ m , δ1 L , δ n ，线性无关。令 线性无关。
即
(l α
1
1
+ L + lmα m , k1δ1 + L + knδ n = (θ1 ,θ 2 )
)
于是 l1 = L = lm = k1 = L = kn = 0, 故 γ 1 ,L, γ m , δ1 L, δ n 线 性无关。 性无关。 又对 ∀γ ∈ V1 × V2 ，有 γ = (α , β ) ，其中 α ∈ V1 , β ∈ V2 , 有 从而
而
[ kf1 + kf 2 ] ( x ) = ( kf1 )( x ) + ( kf 2 )( x ) = k ⋅ f1 ( x ) + k ⋅ f 2 ( x ) = k f1 ( x ) + f 2 ( x ) 故 k ( f1 + f 2 ) = kf1 + kf 2 .
上的线性空间， 综上即证V 是R上的线性空间，零元素是零函数， 上的线性空间 零元素是零函数， 即 0 ( x ) = 0, x ∈ [ 0,1] f 的负元素为 ( − f1 )( x ) = − f1 ( x ) , x ∈ [ 0,1] （2）下证 dimV = ∞ ，即证存在任意多个线性无关 ） 的函数。 的函数。令 f 0 ( x ) = 1, f1 ( x ) = x, f 2 ( x ) = x 2 ,L , f n ( x ) = x n , x ∈ [ 0,1] 线性无关， 任意大， 则可证 f 0 , f1 ,L, f n 线性无关，由于 n 任意大，所以
线性空间定义中，当取不同的数域时， ③ 线性空间定义中，当取不同的数域时，线性空 间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质， 间的定义形式不改变，但线性空间中的一些性质，如 线性相关性、维数等，一般要改变。 线性相关性、维数等，一般要改变。 要验证一个非空集合是线性空间， 要验证一个非空集合是线性空间，除了需要验证其 元素对所规定的加法与数乘运算封闭外， 元素对所规定的加法与数乘运算封闭外，还需逐一验证 这两种运算应满足的八条算律； 这两种运算应满足的八条算律；而要否定一个非空集合 是线性空间， 是线性空间，只要说明两个封闭性及八条算律中有一条 不成立即可。 不成立即可。 2、线性空间的简单性质 、 是唯一的； （1）零元素 θ 是唯一的； ） 是唯一的； （2）任意元素α 的负元素 −α 是唯一的； ） （3）0α = θ , kθ = θ , ( −1) α = −α ; ） （4）如果 kα = θ ，则 k = 0 或 α = θ . ） (5)运算律都成立，交换律，结合律，分配律，消去律。 运算律都成立， 运算律都成立 交换律，结合律，分配律，消去律。