上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

上海市青浦高级中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学
试卷
一、填空题
1．若扇形的圆心角为π
3
，半径为6，则扇形的弧长为.
2．等比数列{}n a 中，11a =且1238a a a =-，则公比为．
3．已知向量()2,1a m =r ，()1,3b m =-r ，若a b ⊥r r
，则实数m = 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4131a a +=则16S = 5．函数π
2cos(2)(0)3
y x ωω=->的最小正周期为π，则ω的值为．
6．已知A (2，0)，B (0，2)，若AC u u u r ＝13
AB u u u r
，则点C 的坐标是.
7．已知角α的终边经过点()1,2P -，则()cos πα+的值为.
8．若1是关于x 的实系数方程220x x c -+=的一个复数根，则c = 9．已知向量()cos ,sin m θθ=u r ，()1,2n =-r ，且m n u r r ∥，则21
cos sin 22
θθ-=．
10．如图，已知函数sin()y A x ωϕ=+（π
0,0,02
A ωϕ>><<
）的图像与y 轴的交点为 ()0,1，并已知其在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和
()02π,2x +-．记()y f x =，则π3f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
．
11．已知数列{}n a 为无穷等比数列，若1
2i i a +∞==-∑，则1
i i a +∞
=∑的取值范围为．
12．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a u r
，2a u u r ，3a u u r ，4u u
r a ，5a u u r ，以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1u u r d ，
2u u r d ，3u u r d ，4u u r d ，5u u r d .记{},,i j k ，{},,r s t 为{}1,2,3,4,5的两个三元子集，则()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r
的最小值为.
二、单选题
13．用数学归纳法证明“对任意偶数n ，n n a b -能被a b -整除时，其第二步论证应该是（ ）
A ．假设n k =（k 为正整数）时命题成立，再证1n k =+时命题也成立
B ．假设2n k =（k 为正整数）时命题成立，再证21n k =+时命2n k =题也成立
C ．假设n k =（k 为正整数）时命题成立，再证21n k =+时命题也成立
D ．假设2n k =（k 为正整数）时命题成立，再证2(1)n k =+时命题也成立 14．若复数5i
i 1
m z -=
-为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．5-
B ．5
C ．52-
D ．52
15．如图所示，O 为线段02025A A 外一点，若01,,A A 232025,,,A A A L 中任意相邻两点间的距离相
等，02025,OA a OA b ==u u u u r u u u u u u r r r ，则用,a b r
r 表示0122025OA OA OA OA ++++u u u r u u u r u u u u r L u u u u u u r ，其结果为（ ）
A ．2025()a b +r
r B ．2026()a b +r
r C ．1012()a b +r
r D ．1013()a b +r
r
16．已知数列{}n a 为无穷数列．若存在正整数l ，使得对任意的正整数n ，均有n l n a a +≤，则称数列{}n a 为“l 阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列{}n b 为无穷数列且cos 2
n n b n =-（n 为正整数），则数列{}n b 是“l 阶弱减数列”的充要条件是4l ≥；②数列{}n c 为无穷数列且
11n
n q c an q
-=+-（n 为正整数），若存在a ∈R ，使得数列{}n c 是“2阶弱减数列”，则11q -≤<．那
么（ ）
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，②是真命题
C ．①､②都是真命题
D ．①､②都是假命题
三、解答题
17．已知复数()121i z a a =++-，()2231i z a =++，a ∈R .
(1)若复数12z z +在复平面内的对应点落在第四象限，求实数a 的取值范围； (2)
若复数1z =12z z ⋅.
18．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . (1)
若2sin a B ，求角A 的大小；
(2)若BC 边上的高等于2a ，求c b
b c
+的最大值.
19．已知向量()1,2a =r
，()2,1b =-r ，(),1c λ=r ．
(1)若()2a b c +⊥r r r
，求λ值；
(2)若向量a b +r r 在c r 方向上的投影向量为15
c r
，求λ的值．
20．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍． (1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由． 21．若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1m
i i i a b =-∑.
(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离； (2)记A 为满足递推关系111n
n n
a a a ++=
-的所有数列{}n a 的集合，数列{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离1
2024m i i i b c =-≤∑，求m 的最大值；
(3)记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.。