高一数学解三角形试题

高一数学解三角形试题
1.△ABC中，a、b、c成等差数列，∠B=30°，=，那么b =
【答案】
【解析】由已知得，
【考点】等差数列性质，余弦定理
2.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得
，两点的距离为海里.
（1）求的面积；
（2）求，之间的距离.
【答案】（1）平方海里；（2）海里
【解析】（1）在△ABD中，由题可知∠BAD=，∠ADB=，利用正弦定理
，即可求得AD，代入三角形面积公式即可求得三角形ABD的面积；（2）
由题可知∠ABC=，又知所以∠BCA=，所以AB=AC=，在△DBC中，利用余弦定理即可求出CD.
试题解析：（1）如图所示,在中
由正弦定理可得，， 4分
则的面积
（平方海里） 8分
（2），
12分
在中，由余弦定理得，
即（海里）
答：的面积为平方海里，，间的距离为海里. 16分
考点:正弦定理；余弦定理；三角形面积公式；运算求解能力
3.在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：
①若，则；
②若，则为等边三角形；
③必存在，使成立；
④若，则必有两解.
其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）.
【答案】①④
【解析】对于①，在中，当时，有，又由正弦定理，则,，,由有>>,所以有
成立，故①正确；对于②，由正弦定理，且因为
，所以且，则，且角
B,C为锐角，所以,故②不正确；对于③，
=
,故③不正确；对于④，如图：
因为，且，所以必有两解，故④正确.
【考点】正弦定理，三角形边角关系，化归与转化的数学思想.
4.已知是的三条边的长，对任意实数，有（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为的三边长，判别式
，又三角形中两边之和大于第三边，
，又，关于x的方程
与x轴没有交点，二次项系数，故恒成立
【考点】根的判别式，三角形三边的关系
5.在分别是角A、B、C的对边，，且．
(1)．求角B的大小；
(2)．求sin A＋sin C的取值范围．
【答案】（1）B=；（2）．
【解析】（1）由，可得，等式中边角混在了一起，需要进行边角的统一，根据正弦定理可得，进一步变形化简可得，∴B；（2）由（1）可得，即，因此可以将sinA+sinC进行三角恒等变形转化为关
于A的函数，即，从而可以得到
sinA+sinC取值范围是．
（1）由，得
由正弦定理得：，
又
又又；
∵，∴，
∴，
∵，∴，∴，∴．
故sin A＋sin C的取值范围是．
【考点】1、平面向量垂直的坐标表示；2、三角恒等变形．
6.在钝角三角形ABC中，若，，则边长的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，且中必有一角为钝角，由正弦定理得
，代入得，化简得，当时，，
所以，当时，，所以，综合选D.
【考点】解三角形与不等式的综合运用.
7.已知点A（1，3）， B（3，1 ）， C（-1，0），则的面积为（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解析】根据题意，由于A（1，3），B（3，1 ），C（-1，0）那么可知该三角形的AB=，AC=，BC=结合三边的长度可知，该三角形的一个角A, ,结合
正弦面积公式可知得到，的面积为5，故答案为A.
【考点】三角形的面积
点评：主要是考查了解三角形的面积公式的运用，属于基础题。

8.在中，．
(1)求边长的值；
(2)求的面积．
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）由正弦定理得……5分
（2）由余弦定理 7分
8分
所以 10分
【考点】正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积。

点评：中档题，本题考查知识点较多，但解题思路比较明确，牢记公式（定理），细心计算是关键。

9.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则a∶b∶c等于
A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，由于△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,内角和为180度，可知A,B,C 分别是，可知为直角三角形，利用特殊角的三角函数值可知，
a∶b∶c=sinA:sinB:sinC=.,故选D.
【考点】解三角形
点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。

10.如图, D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明;
（2）若AC=DC,求的值.
【答案】（1）根据两角和差的公式，以及诱导公式来得到证明。

（2）
【解析】解：(1)．，
即．
（2）．在中，由正弦定理得
由(1)得，
即．
【考点】两角和差的公式
点评：主要是考查了两角和差的三角公式的运用，以及正弦定理的运用，属于中档题。

11.在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则
A．B＝45°或135°B．B＝135°C．B＝45°D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】根据题意，由于△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，结合正弦定理可知
,由于a>b,A>B，故可知角B为45°，选C.
【考点】解三角形
点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。

12.已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求边c及S
△ABC
【答案】或
【解析】由余弦定理，得
即，解之，得c＝3或c＝5
当c＝3时，当c＝5时，
【考点】解三角形
点评：解三角形时常借助于正余弦定理及三角形面积公式求解，本题中用到了三角形的余弦定理
及三角形面积公式
13.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=.
（1）求+cos2A的值;
（2）若a=,求bc的最大值.
【答案】（1）－
（2）.
【解析】解：（1）sin2+cos2A
=［1－cos（B+C）］+（2cos2A－1）
=（1+cosA）+（2cos2A－1）=－.
（2）∵=cosA=, ∴bc=b2+c2－a2≥2bc－a2，
∴bc≤a2. 又∵a=,∴bc≤.
当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是.
【考点】正弦定理和余弦定理
点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于中档题。

14.若，则的最大值是。

【答案】
【解析】根据题意，由于，那么可知c=2,b= ,可知=
,由于余弦定理可知，
,那么=
，故答案为
【考点】解三角形
点评：主要是考查了三角形的面积公式的运用，属于基础题。

15.在中，，，则=（）
A．B．7C．D．13
【答案】A
【解析】由余弦定理得
【考点】解三角形
点评：解三角形时常用正余弦定理实现边与角的互相转化，本题中用到了余弦定理
16.在中，若，，，则= .
【答案】1
【解析】由余弦定理可得
【考点】解三角形
点评：解三角形常利用正余弦定理实现边与角的互相转化，本题中用到了余弦定理
求边长
17.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则此人（）
A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形
【答案】D
【解析】设三条边分别是，由面积可知，最大角为C，
能作出一个钝角三角形
【考点】解三角形
点评：本题借助于三角形面积由高的比可得三边长长度比，再由余弦定理可求出内角大小
18.在△ABC中，若，则=___________________
【答案】
【解析】根据已知中，那么结合余弦定理可知，，
故可知答案为
【考点】解三角形
点评：主要是考查了余弦定理的运用，属于基础题。

19.如图，在四边形中，已知,=60°，=135°,求的长。

【答案】
【解析】由正弦定理得：
即，解得，
由余弦定理得
解得
【考点】解三角形
点评：解三角形时一般应用正弦定理：，余弦定理：，
，实现边与角的互相转化
20.△ABC中，a=2bcosC，则此三角形一定是( )
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】过A作AD⊥BC，交BC于点D，
在直角三角形ACD中，cosC=得CD=bcosC，而a=2bcosC得bcosC=，所以CD=，
AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD得到三角形ABD≌三角形ACD，所以b=c，三角形
ABC为等腰三角形．故选C
【考点】本题考查了三角形形状的判断
点评：考查学生利用三角函数解直角三角形的能力．掌握用全等来证明线段相等的方法．
21.在中，角的对边长分别为，若，则的形状为
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】根据正弦定理，角的对边长分别为，若
,展开得到故可知等腰三角形，故选B 【考点】正弦定理、三角形的内角和
点评：本题考查正弦定理、三角形的内角和、两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．
22.在中，是边上的一点，，的面积是4，则AC长
为．
【答案】或4
【解析】因为，，所以，，
，
,
因在△BDC中：BD²=CD²+BC²－2CB×CD×cos∠DCB
或,
即BD=4；或BD=4。

由正弦定理得，
故，，即：或。

在△ABC中
即：
解得，AC的长为或4。

【考点】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式。

点评：中档题，本题综合考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式。

解答过程看似复杂，应注意结合三角形认真分析，防止漏解。

本题易错。

23.设矩形ABCD（AB>AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB=x,求△ADP的面积的最大值，及此时x的值.
【答案】△ADP面积的最大值为，此时
【解析】22、（12分）∵AB=x,∴AD=12-x,又DP=PB′,AP=AB′－PB′=AB－DP,即AP=x－DP, ∴(12－x)2+PD2=(x－PD)2,得PD=12－,∵AB>AD,∴6<x<12,∴△ADP的面积S=AD·DP
=（12－x）(12－)=108-6（x+）≤108-6·=108－
当且仅当即时取等号，∴△ADP面积的最大值为，此时
【考点】本题主要考查函数模型，应用导数研究函数的最值，均值定理的应用。

点评：中档题，利通过分析图形特征，构建函数模型，再利用导数研究函数的最值，后利用均值定理确定函数的最值，从而解决实际问题。

属于常见题目。

本解法应用均值定理求函数的最值，应注意“一正，二定，三相等”缺一不可。

24.在△中，角，，，的对边分别为.
已知向量，，.
（1）求的值；
（2）若，求△周长的范围.
【答案】（1）（2）
【解析】根据题意，由于，，，则可知有
，故有
（2）因为，那么则△周长L=a+b+c=
,则可以变形得到其表达式为
，故可知范围是
【考点】向量的数量积，三角形的余弦定理
点评：解决的关键是根据向量的数量积得到角A,然后借助于余弦定理和均值不等式来求解范围，属于基础题。

25.有一长为的斜坡，倾斜角为，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为，则坡地要延长（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设原来的斜坡为RtABC，B为直角顶点，AC为斜边，延长BC到D得新斜面ABD，则可知AC=CD，故可求. 解：设原来的斜坡为RtABC，B为直角顶点，AC为斜边，延长BC到D 得新斜面ABD，依题可知：∠ACB=，∠ADB= ,∠CAD=∠ACB-∠ADB=45°=∠ADB
故CD=AC=km故答案为：C
【考点】解三角形的实际应用
点评：本题的考点是解三角形的实际应用，主要考查角的计算，考查三角形模型的构建，属于中档题．
26.在中，角、、所对应的边分别为、、，且满足．
（I）求角的值；
（Ⅱ）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】（I）由正弦定理得， 1分
，即， 3分
由于，所以． 4分
（II）， 6分
因为，故， 8分
所以． 10分
【考点】正弦定理；二倍角公式；和差公式。

点评：我们在解三角形时，要注意三角形内的隐含条件：
；。

27.在中，，，，则 __________.
【答案】 7
【解析】据余弦定理：，
得7
28.在中，分别为的对边，已知成等比数列，且.
求：(1)A的大小； (2)的值.
【答案】（1）
【解析】成等比数列，，又因为，得
用余弦定理解得角；化为角或边，
解析:由已知得，因此可化为……3分
………………………5分
法一：在中，由正弦定理得……………7分
.……………………10分
法二：在中，由面积公式得.
29.在中，角、、所对应的边分别为，，
（1）求的值；
（2）若，求边长
【答案】（1）（2）
【解析】在解三角形问题时，应用小角对小边，决定角的大小；，的关系常用正弦定理。

，又即减少变量，解得未知数。

解：（1），为锐角……… 2分
……… 4分
（2）………… 6分
由正弦定理，，又，
即解得
30.中，若，则。

【答案】
【解析】解：由正弦定理有
故B为
31.已知△ABC的顶点，若△ABC为钝角三角形，则的取值范围
是；
【答案】
【解析】略
32.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆的半径为，则有，可得，所以这个圆心角所对的弧长为，故选A。

33.在△ABC中，a＝2,b＝3,C＝135°，则△ABC的面积等于 ( )
A．B．3C．D．3
【答案】C
【解析】.
34.（本小题满分12分）
在△ABC中,BC＝a,AC＝b,a,b是方程x2—2x＋2＝0的两个根,
且2cos(A＋B)＝1.
求:(1)C的度数; (2)AB的长度; (3)△ABC的面积.
【答案】解:(1)cos C＝cos［π—(A＋B)］＝—cos(A＋B)＝—.
∵0°＜C＜180°, ∴C＝120°……………4分
(2) 由题设得……………………6分
∴AB2＝AC2＋BC2—2AC·BC cos C＝a2＋b2—2ab cos120°
＝a2＋b2＋ab＝ (a＋b)2—ab＝(2)2—2＝10.
所以AB＝.……………………10分
(3)S
＝ab sin C＝×2×＝.……………………12分
△ABC
【解析】略
35.在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的面积，求的长．
【答案】
【解析】略
36.(本小题满分14分)
已知向量，其中角是的内角，分别是角的对边.
（1）求角C的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】解：（1）由得 -----------2分
------------3分
由余弦定理得： -----------5分
-----------6分
（2） --------------7分
- --------------8分
------------9分
------------11分
-----------12分
-------------13分
即- ----------14分
【解析】略
37.．.如图，某小区准备在一直角围墙内的空地上植造“绿地”，其中，长可根据需要进行调节（足够长），现规划在内接正方形内种花，其余地方种草，设种草的面积与种花的面积的比为，
（1）设角，将表示成的函数关系；
（2）当为多长时，有最小值，最小值是多少？
【答案】解：（1）因为，所以的面积为，，设正方形的边长为，则由，得，解得：，则，所以
，则。

（2）因为，所以：，
当且仅当，即时，有最小值1.
【解析】略
38.在中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
39.在中，若，则_________
【答案】60
【解析】略
40.在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝( )．
A．B．1＋C．D．2＋
【答案】B
【解析】略
41.在△中，角A、B、C的对边分别为、、．且．
（1）求的值；
（2）若，求的最大值．
【答案】解：（1）（2分）
（4分）
（6分）
（2）∵，（8分）
∴（10分）
∴．（12分）
【解析】略
42.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．
【答案】
【解析】【考点】解三角形．
分析：先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD 为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．
解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列
∴A+C=2B
∵A+B+C=π
∴∠B=
∵AD为边BC上的中线
∴BD=2，
由余弦定理定理可得AD==
故答案为：
43.（本题满分13分）
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且CosA=，向量 =，
=，且⊥
（1）求角C的值；
（2）求sinB的值；
（3）若c=5，求△ABC的面积。

【答案】
【解析】略
44.在中，若，则的形状一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【解析】略
45.在△ABC中，下列各式正确的是 ( )
A.=
B.asinC=csinB
C.asin(A+B)="csinA "
D.c2=a2+b2－2abcos(A+B)
【答案】C
【解析】略
46.在中，内角对边的边长分别是，已知，
，，则最短边的边长等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
47.在△ABC 中，，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】【考点】解三角形
由正弦定理可知，即，设，则，，所以
.
点评：此题考查正弦定理及余弦定理，属中低档题.
48.在中，角的对边分别为，下列四个命题
①若，则；②若，则满足条件的三角形共有两个；③若成
等差数列，成等比数列，则为正三角形;④若，则．其中正确命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】略
49.在中，，，，则 _________
【答案】7
【解析】此题考查余弦定理
解：由余弦定理得
点评：此题需用三角函数诱导公式.
答案：7
50.在中，若，，则（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
51.．在锐角中,设,则的大小关系为（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在锐角中，。

则，所以。

故选C。

【考点】三角恒等变换
点评：本题应用公式：
52.已知在中，，则ABC为
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．等边三角形
【答案】B
【解析】略
53.在中，内角对边的边长分别是，已知，
，则***．
【答案】
【解析】略
54.的内角的对边分别为，若，则等于（）A．B．2C．D．
【答案】 D
【解析】略
55.已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知选D．
【考点】二倍角公式的应用
56.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD="40" m,则电视塔的高度为多少？
【答案】40m．
【解析】本题是解三角形的实际应用题，根据题意分析出图中的数据，
即∠ADB=30°，∠ACB=45°，
所以，可以得出在Rt△ABD中，BD=AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．
在△BCD中，由余弦定理，得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，
代入数据，运算即可得出结果．
试题解析：根据题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB，
在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．
在△BCD中，由余弦定理，得
BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，
∴3AB2=AB2+CD2-2AB·CDcos120°
整理得AB2-20AB-800=0，
解得，AB=40或AB=-20（舍）．
即电视塔的高度为40 m
【考点】解三角形．
57.（本题满分12分）已知在中，分别是角的对边，，且满足
（1）求角的大小；（2）若，求的长。

【答案】（1）;（2）．
【解析】（1）可用二倍角公式,化一公式将变形为．根据
为三角形内角可得的范围,则可得的值．从而可得．（2）由三角形面积公式可得的值．用余弦定理可得的值,再转化为的值,解方程组可得的值．试题解析：解：（1），
，
（2），
，，
【考点】1二倍角公式,化一公式;2余弦定理．
58.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）
A．（1，2）B．（2，+∞）C．[3，+∞D．（3，+∞）
【答案】B
【解析】设成等差数列，所以，，因为是钝角三角形，所以最小角，，，，所以．
【考点】1．三角函数求范围；2．等差数列．
59.（本题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，
．
（1）求及的面积；
（2）求．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）首先利用余弦定理可求得边大小，再由三角形面积公式计算其面积；
（2）利用内角和定理将所求三角式整理化简，利用正弦定理求得代
入即可
试题解析：（1）由余弦定理，
，，或（舍去）， 2分
△ABC的面积； 4分
（2）， 6分
∵，∴角A是锐角，∴， 8分
∵ 10分
12分
【考点】1．正余弦定理；2．三角形面积；3．三角函数式化简
60.在中，已知tanA ，tanB是方程的两个实根，则．
【答案】-7
【解析】由根与系数的关系可得
【考点】1．根与系数的关系；2．两角和的正切公式。