平行四边形的性质及判定

平行四边形
1.平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质
性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
注意：平行四边形是以对角线的交点为中心的对称图形，但不一定是轴对称图形.
3.平行四边形的判定
判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边；
（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定；
（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. 重点记忆：（1）夹在两平行线间的平行线段相等.
（2）如图31-1，四边形ABCD是平行四边形，则有
4.两平行线间的距离
定义：两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线间的距离.
1.平行四边形的性质
一.填空题.
1.如图4.1-1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.
F
E
D C
B
A
图4.1-1
2.已知平行四边形的周长是100cm, AB:BC=4 : 1,则AB 的长是________________.
3.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______________.
4.在平行四边形ABCD 中,∠A : ∠B=3:2,则∠C=_________ 度,∠D=_____________度.
5.用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为________短边长为__________.
6.如图4.1-2,在平行四边形ABCD 中, BC=2AB, CA ⊥AB,则∠B=______度,∠CAD=______度.
D
C
B A
图4.1-2
二.选择题.
7.平行四边形ABCD 的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC 的取值范围为( )
A. 6<AC<10
B. 6<AC<16
C. 10<AC<16
D. 4<AC<16 8. 在平行四边形ABCD 中,∠A=65°,则∠D 的度数是 ( )
A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 65° 9. 在平行四边形ABCD 中,∠B -∠A=20°,则∠D 的度数是 ( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
10. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ) Ａ． 周长 B. 一腰的长 C. 周长的一半 D. 两腰的和 11. 在以下平行四边形的性质中,错误的是 ( )
A. 对边平行
B. 对角相等
C. 对边相等
D. 对角线互相垂直
三. 解答题
12. 平行四边形ABCD 的两条对角线AC,BD 相交于O.
(1) 图4.1-3中有哪些三角形全等? 有哪些相等的线段?
(2) 若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.
O
D
C
B
A
图4.1-3
13. 如图4.1-4,平行四边形ABCD 中,∠ADC 的邻补角的平分线交BC 的延长线于E,延长ED 交BA 的延长线于F,试判断△FBE 的形状.
G
F
E
D
C
B
A
图4.1-4
四. 应用题
14. (1) 如图4.1-5,平行四边形ABCD 中,AB=5cm, BC=3cm, ∠D 与∠C 的平分线分别交AB 于F,E, 求AE, EF, BF 的长?
(2) 上题中改变BC 的长度,其他条件保持不变,能否使点E,F 重合,点E,F 重合时BC 长多少?求AE,BE 的长. (3) 由(1),(2)题,你想到了什么?请写下来与你同伴交流.
F E D
C
B
A
图4.1-5
五. 综合能力提高题
15. 如图4.1-6,平行四边形ABCD 的四个外角的平分线分别两两交于E,F. (1) 试判断∠AED, ∠BFC 的大小.
(2) 线段AE, ED, BF, FC, EC, HF 中哪些相等?
H G
F
E
D
C
B
A
图4.1-6
16. 如图4.1-7,BD 是平行四边形ABCD 的对角线,AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F. (1) 在图中,根据题意补全图形;
(2) 试问: △ABE 与△CDF 能全等吗?
请说明理由.
D
C
B A
图4.1-7
2. 平行四边形的判定
一. 填空题
1. 如图4.2-1,平行四边形ABCD 中,AE=CG, DH=BF,连结E,F,G,H,E,则四边形EFGH 是_________________.
2. 如图4.2-2,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,且AE=CF,连结B,F,D,E,B 则四边形BEDF 是______________.
H
G
F
E
D C
B
A
图4.2-1
G
F
E
D
C
B A
图4.2-2
3. 一组对边平行且相等的四边形一定是_____________形.
4. 有公共顶点的两个全等三角形,其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个重合,那么不共点的四个顶点的连线构成____________形.
5. 如图4.2-3,E,F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 与BC 的三分之一点,则四边形AECF 是________________形
.
F E
D
C
B A
图
4.2-3
F E D
C
B
A
图4.2-4
二. 选择题
6. 如图4.2-4,平行四边形ABCD 中,E,F 分别为边AB,DC 的中点,则图中共有平行四边形的个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 8. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( )
A. 一组对角相等
B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线互相垂直
D. 一对邻角的和为180°
9. 四边形ABCD 中,AD ∥BC,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ) A. ∠A+∠C=180° B. ∠B+∠D=180° C. ∠A+∠B=180° D. ∠A+∠D=180° 10. 平行四边形的一组对角的平分线 ( )
A. 一定相互平行
B. 一点相交
C. 可能平行也可能相交
D. 平行或共线 三. 解答题
11. 如图4.2-5,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.
O
M
N
D
C
B
A
图4.2-5
12. 如图4.2-6,AC 是平行四边形ABCD 的一条对角线,BM ⊥AC, DN ⊥AC,垂直分别为M,N,四边形BMDN 是平行四边形吗?你有几种判别方法?
N
M
D
C
B
A
图4.2-6 四. 应用题
13. 如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q. (1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?
N
M
Q
P D
C
B
A
图4.2-7
14. 已知如图4.2-8,在平行四边形ABCD 中,EF ∥DC,试说明图中平行四边形的个数.
N
M
H G F
E D C
B
A
图4.2-8
五. 综合能力提高题
15. 如图4.2-9,为公园的一块草坪,其四角上各有一棵树,现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍,又要四棵树不动,并使扩大后的草坪为平行四边形,试问这个想法能否实现,若能请你设计出草图,否则说明理由.
D
C
B
A
图4.2-9
16. 楠楠想出了一个测量池塘的两端A,B 引两条直线AC,BC 相交于点C,在BC 上取点E,G,使BE=CG,再分别过E,G 作EF ∥AB,交AC 于F,H.测出EF=8m, GH=3m,(如图4.2-10),她就得出了结论: 池塘的宽AB 为11m .你认为她说的对吗
?
图4.2-10
3.平行四边形性质和判定综合。