中考数学压轴题因动点产生的等腰三角形问题[含答案]

因动点产生的等腰三角形问题
例1（20XX 年湖州市中考第24题）如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．
（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；
（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．
图1 图2
满分解答
（1）因为PC //DB ，所以
1CP PM MC
BD DM MB
===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．
（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．
①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得3
2
m =（如图3）．
②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得4
3m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．
③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得2
3m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．
综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或2
3
．
图3 图4 图5
（3）点H 5
．
考点伸展
第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：
①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，3
2m =．
②如图4，当P A ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得4
3
m =．
第（2）题的思路是这样的：
如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．
图6 图7
例2（20XX年盐城市中考第28题）如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数
4
3 y x =
的图象交于点A，且与
x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A 的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
图1
满分解答
（1）解方程组
7,
4
,
3
y x
y x
=-+
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
得
3,
4.
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
所以点A的坐标是(3，4)．
令70
y x
=-+=，得7
x=．所以点B的坐标是(7，0)．
（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8
APR ACP POR
CORA
S S S S
=--=
△△△
梯形
，得
111
3+7)44(4)(7)8
222
t t t t
-⨯-⨯⨯--⨯-=
（．整理，得28120
t t
-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．
因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．
如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，42
AB=，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．
因此∠AQP＝45°保持不变，∠P AQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．
此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．
我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．
在△APQ中，
3
cos
5
A
∠=为定值，7
AP t
=-，
5520
333
AQ OA OQ OA OR t
=-=-=-．
如图5，当AP＝AQ时，解方程
520
7
33
t t
-=-，得
41
8
t=．
如图6，当QP＝QA时，点Q在P A的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程72[(7)(4)]
t t t
-=---，得5
t=．
如7，当P A＝PQ时，那么
1
2
cos
AQ
A
AP
∠=．因此2cos
AQ AP A
=⋅∠．解方程
5203
2(7)
335
t t
-=-⨯，得
226
43
t=．
综上所述，t＝1或41
8
或5或
226
43
时，△APQ是等腰三角形．
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cos
AP AQ A
=⋅∠来求解．
例3（20XX年上海市闸北区中考模拟第25题）如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
(1)求证：MN∶NP为定值；
(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．
图1
满分解答
(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．
在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．
在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．
在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．
(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．
如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，
35AN AM =，所以
531025t t =-．解得3031
t =．此时CM 60
31=．
图2 图3 图4
(3)如图5，图6，图7中，
OP MP QN MN =，即245OP t =．所以8
5
OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，8
85
BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017
t =．此时CM 20
17=．
(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =
．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 5
2
=．
(Ⅲ)当PB ＝PN 时，1
4
25
BN BP =
．解方程()1481058255t t ⎛⎫
-=
- ⎪⎝⎭
，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况． ②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程
885105
t t -=-，得3011t =
．此时CM 60
11=．
图5 图6 图7
考点伸展
如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，
14
25
BN BP =，这样计算简便一些．
例4（20XX 年南通市中考第27题）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
（3）若12
y m
=
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
图1
满分解答
(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此
DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m
=-+．
(2)如图2，当m ＝8时，2211
(4)288
y x x x =-
+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2． (3) 若12
y m =，那么21218x x m m m
=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，
只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12
y m
=，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12
y m
=
，得m ＝2（如图4）．
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：
由第（1）题得到218y x x m m =-
+221116(8)(4)x x x m m m
=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，
BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．
再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程
218
x x x m m
=-
+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．
例5（20XX 年重庆市中考第26题）已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．
（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M
的横坐标为
5
6
，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3
）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．
图1 图2
满分解答
（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．
设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2
，那么⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=.
039,224,
1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．
因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为16
13
652++-
=x x y ． （2）把56=
x 代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DA DN FA MN =，即2
56
22512-
=-FA ．解得1=FA ． 因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ． （3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-
161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Q x x y -=，因此
11613652-=++-
x x x 。

由此得到点Q 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛57,512．
②如图4，当GP ＝GC ＝2时，点P 的坐标为（1，2）．此时点Q 的横坐标为1，点Q 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛613,
1． ③如图5，当PG ＝PC 时，点P 在GC 的垂直平分线上，点P 、Q 与点D 重合．此时点Q 的坐标为（2，2）．
图3 图4 图5
考点伸展
在第（2）题情景下，∠EDC 绕点D 旋转的过程中，FG 的长怎样变化？
设AF 的长为m ，那么82)2()2(222+=-++=
m m m FG ．
点F 由E 开始沿射线EA 运动的过程中，FG 先是越来越小，F 与A 重合时，FG 达到最小值22；F 经过点A 以后，FG 越来越大，当C 与O 重合时，FG 达到最大值4．
例6（20XX 年上海市中考第24题）在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM //x 轴（如图1所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y ＝x ＋b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的圆与圆O 外切，求圆O 的半径．
图1
满分解答
（1）因为点A 的坐标为（1，0），点B 与点A 关于原点对称，所以点B 的坐标为（－1，0）．将B （－1，0）代入y ＝x ＋b ，得b ＝1．将y ＝4代入y ＝x ＋1，得x ＝3．所以点D 的坐标为（3，4）．
（2）因为D （3，4），所以OD ＝5，3
cos 5
DOP ∠=
． ①如图2，当PD ＝PO 时，作PE ⊥OD 于E ．在Rt △OPE 中，3cos 5
OE DOP OP ∠==，52OE =，所以25
6OO =．此
时点P 的坐标为25
(
,0)6
． ②如图3，当OP ＝OD ＝5时，点P 的坐标为(5,0)．
③如图4，当DO ＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6,0)．
图2 图3 图4
（3）圆P 的半径P r PD =，两圆的圆心距为OP ．当两圆外切时，圆O 的半径O r OP PD =-． ①如图2，当PD ＝PO 时，0O r =，此时圆O 不存在．
②如图3，当OP ＝OD ＝5时，作DH ⊥OP 于H ．在Rt △DHP 中，DH ＝4，HP ＝2，所以25DP =．此时
525O r OP PD =-=-．
③如图4，当DO ＝DP 时，651O r OP PD =-=-=．
考点伸展
如图5，在本题情景下，如果圆P 与圆C 外切，那么点P 的变化范围是什么？
如图6，当圆P 经过点C 时，点P 在CD 的垂直平分线上，点P 的坐标为3(,0)2
． 因此当点P 在x 轴上点3(,0)2
的右边时，圆P 与圆C 外切．
图5 图6。