大学物理动量 动量定理
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解： 子弹出枪口时 a bt 0 由冲量的定义 由动量定理
t a/b
I
a/b
0
2 a / 2b (a - bt )dt
I mv0 0
a2 m 2bv0
7
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中， 常引入平均冲力的概念。
mv
t1 mv2 mv1 F t 2 t1 t 2 t1
定义：力在一段时间内的累积量称为冲量， t 即： I Fdt
t0
恒力的冲量： I F (t t0 ) Ft t2 变力的冲量： I Fdt （冲量的方向一般不
t1
三、质点动量定理
t0
是力的方向）
t Ι ＝ Fdt P P0 mυ mυ0
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
p y m i viy C y pz m i viz C z
p x m i vix C x
17
3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果 系统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。在 碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力。
两木块速度相同均为v1
m1 m2
F t 2 m2v2 m2v1
23
F t1 m1 m2 v1 0
F t 2 m2v2 m2v1
F t1 v1 m1 m2
F t1 F t 2 v2 m1 m2 m2
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于 始末两个状态。
2
1
取坐标，将上式投影：
v1
I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy11 t
I x Fx dt mv2 cos30 (mv1 cos 45 ) Fx t
I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t
F
F(max)
v 2 gh 2 9.8 2 6.3 m/s
对地平均冲力为:
2mv 2 0.58 6.3 3.8 102 N F 0.019 t
F
t
O
0.019s
10
相当于 40kg 重物所受重力!
例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来， 被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为 0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。 解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。 y v 2 设挡板对球的冲力为 F 30º x 45º n 则 I Fdt mv mv
F （t1 t 2 ） m2v2 m1v1 － 0
再结合F t1 式，可得结果。
24
注意
内力不改变质点系的动量
v g 0 v b 0 0 mb 2mg 则 p0 0 初始速度 推开后速度 v g 2 v b 且方向相反 则 p 0
推开前后系统动量不变
p p0
15
二、动量守恒定理
由质点系的动量定理： t ( Fi )dt P PBaidu Nhomakorabea ΔP
I y Fydt mvy mv0 y
I z Fz dt mvz mv0 z t
0
t t0
t t0
t
6
例题 一颗子弹在枪筒内受合力为F = a – bt ，运 行到枪口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。 求：子弹在枪筒内运行的时间；子弹所受的 冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位制）
Fy 0.7N
tan Fy Fx
F Fx Fy 6.14N
2
2
0.1148
6.54
为平均冲力与 x 方向的夹角12
3.2 质点系动量定理 动量守恒定律 一、质点系的动量定理 （theorem of mometum of a system of particles） t2 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F2 t1 t2 F 21 F ( F F ) d t m v m v 12 2 2 2 20 2 21 F
t1
1
因为内力 F F 0，故：
12 21
m1
m2
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量 13 和为零。
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
质点系的动量定理：
一、动量
有 Fdt dp d ( mυ )
dp d ( mv) 由牛顿定律 F dt dt
--- 牛顿定律的微分形式 力在 t 0 ~ t 时间内的累积量为：
t
p mv
t0
Fdt p p0 m v m v0
4
二、冲量
涉及到动量功、能的概念
2
第三章
3.1 动量
动量
冲量
动量定理
动量定理
动量守恒定律
3.2 质点系的动量定理 教学基本要求：
理解动量、冲量概念, 掌握动量定理 和动量守恒定律 ，掌握用动量守恒定律解 决问题的特点和方法。
3
3.1 动量（momentum） 冲量（impulse） 动量定理 (theorem of momentum )
注意
t2
Fdt
mv1
F
mv2
t 越小，则 F 越大 .
在 p 一定时
Fm
F
F
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
o
t1
t2
t
8
例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打 在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间 为 Δt 。 求：重锤对地的平均冲力。 解： 重锤受两力： mg 和N 由动量定理： ( mg N ) Δt ΔP
I x Fx dt mv2 cos30 (mv1 cos 45 ) Fx t
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s
Fx 6.1N
我国长征系列火箭升空
22
例题： 一粒子弹水平地穿过并排静止放置 在光滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2 ，设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿 过后， 两木块各以多大速度运动？
解： 子弹穿过第一木块时，
F t1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
其 中P
t0
mi v i
Pi
当
Fi 0 时
P P0 0
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。
16
明确几点：
1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能 变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总 和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参 考系。 2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，则在该方向上动量守恒。
人相对于车的速度为：
υ
Mm υ' υ V υ M
设人在时间 t 内走到另一端，
t
M
V
Mm t Mm l υ' dt υdt x 0 0 M M M x l M m m X lx l Mm
20
例题：煤粉从漏斗中以 dm/dt 的流速竖直卸落在 沿平直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为M0， 初速为v0，求：1）在加载过程中某一时刻 t 的速 度和加速度。2）（忽略摩擦力）如果要使列车 速度保持v0，应用多大的力牵引列车？
0 m υ m 2 gh
对地平均冲力为:
m 2 gh N' N mg Δt
注 意 这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当 前项远大于后一项时，才能不计自重。 9
例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度 下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时 间仅0.019s。 求：对地平均冲力。 解： 篮球到达地面的速率
即：在给定的时间内，外力作用在质点上的 冲量，等于质点在此时间内动量的增量。 5
明确几点：
1）动量定理说明质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即冲量决定的。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是 与动量增量的方向相同 3） 动量定理 Ι ΔP 是矢量式，其直角坐标
mv mv I F dt x 0x x x 的分量式：
4、注意区别 F外 0 与 F外dt 0
前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始 末时刻动量相同。 5、动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高 速范围仍适用，是自然界最普遍，最基本的定 律之一 。 18
例题：质量为m的人站在一质量为M、长为 l 的 小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小 车各移动了多少距离? ( 不计摩擦 ) 解：水平方向上车和人系统不受外力作用， 故动量守恒； υ m 设车和人相对地面速度 M 分别为 V 和 υ V MV mv 0 m 即: V v ——两者运动方向相反 19 M
分析
dv F m dt
物质间 相互作用 瞬时关系
受到外部作用的质点或 系统的状态变化率
1
牛顿定律是瞬时关系 状态变化不是瞬时的，要经历一个过程 相互作用也不是瞬时的——持续作用 1）相互作用在时间上的持续
——力的时间累积 Fdt
涉及到动量、冲量的概念
2）相互作用在空间上的持续
——力的空间累积 F dr
t2
t1
n n ΣFdt m i υi m i υi 0 i 1 i 1
即： I p p0
质点系总动量的增量等于作用于该 系统合外力的冲量
强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。 质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改 变无贡献，但内力会使系统内各质点的动量发 14 生变化。
解：1）无牵引力和摩擦力，动量守恒。 dm dm M 0υ0 ( M 0 t )υ, υ M 0υ0 /( M 0 t) dt dt M 0v0 dm dt dv a dt ( M 0 t dm dt )2 Fdt ( M dm )v0 ( Mv 0 dm 0) 2）有牵引力： dm 21 F v0 dt
t a/b
I
a/b
0
2 a / 2b (a - bt )dt
I mv0 0
a2 m 2bv0
7
4）平均冲力
在冲击和碰撞等问题中， 常引入平均冲力的概念。
mv
t1 mv2 mv1 F t 2 t1 t 2 t1
定义：力在一段时间内的累积量称为冲量， t 即： I Fdt
t0
恒力的冲量： I F (t t0 ) Ft t2 变力的冲量： I Fdt （冲量的方向一般不
t1
三、质点动量定理
t0
是力的方向）
t Ι ＝ Fdt P P0 mυ mυ0
ΣFix 0 , ΣFiy 0 , ΣFiz 0 ,
p y m i viy C y pz m i viz C z
p x m i vix C x
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3、自然界中不受外力的物体是没有的，但如果 系统的内力>>外力，可近似认为动量守恒。在 碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 中，往往可忽略外力。
两木块速度相同均为v1
m1 m2
F t 2 m2v2 m2v1
23
F t1 m1 m2 v1 0
F t 2 m2v2 m2v1
F t1 v1 m1 m2
F t1 F t 2 v2 m1 m2 m2
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于 始末两个状态。
2
1
取坐标，将上式投影：
v1
I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy11 t
I x Fx dt mv2 cos30 (mv1 cos 45 ) Fx t
I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t
F
F(max)
v 2 gh 2 9.8 2 6.3 m/s
对地平均冲力为:
2mv 2 0.58 6.3 3.8 102 N F 0.019 t
F
t
O
0.019s
10
相当于 40kg 重物所受重力!
例题：质量为2.5g的乒乓球以10m/s的速率飞来， 被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。 求：1）乒乓球得到的冲量；2）若撞击时间为 0.01s，则板施于球的平均冲力的大小和方向。 解： 由于作用时间很短，忽略重力影响。 y v 2 设挡板对球的冲力为 F 30º x 45º n 则 I Fdt mv mv
F （t1 t 2 ） m2v2 m1v1 － 0
再结合F t1 式，可得结果。
24
注意
内力不改变质点系的动量
v g 0 v b 0 0 mb 2mg 则 p0 0 初始速度 推开后速度 v g 2 v b 且方向相反 则 p 0
推开前后系统动量不变
p p0
15
二、动量守恒定理
由质点系的动量定理： t ( Fi )dt P PBaidu Nhomakorabea ΔP
I y Fydt mvy mv0 y
I z Fz dt mvz mv0 z t
0
t t0
t t0
t
6
例题 一颗子弹在枪筒内受合力为F = a – bt ，运 行到枪口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。 求：子弹在枪筒内运行的时间；子弹所受的 冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位制）
Fy 0.7N
tan Fy Fx
F Fx Fy 6.14N
2
2
0.1148
6.54
为平均冲力与 x 方向的夹角12
3.2 质点系动量定理 动量守恒定律 一、质点系的动量定理 （theorem of mometum of a system of particles） t2 ( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 F2 t1 t2 F 21 F ( F F ) d t m v m v 12 2 2 2 20 2 21 F
t1
1
因为内力 F F 0，故：
12 21
m1
m2
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量 13 和为零。
推广到多质点系统，动量定理表达式为：
质点系的动量定理：
一、动量
有 Fdt dp d ( mυ )
dp d ( mv) 由牛顿定律 F dt dt
--- 牛顿定律的微分形式 力在 t 0 ~ t 时间内的累积量为：
t
p mv
t0
Fdt p p0 m v m v0
4
二、冲量
涉及到动量功、能的概念
2
第三章
3.1 动量
动量
冲量
动量定理
动量定理
动量守恒定律
3.2 质点系的动量定理 教学基本要求：
理解动量、冲量概念, 掌握动量定理 和动量守恒定律 ，掌握用动量守恒定律解 决问题的特点和方法。
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3.1 动量（momentum） 冲量（impulse） 动量定理 (theorem of momentum )
注意
t2
Fdt
mv1
F
mv2
t 越小，则 F 越大 .
在 p 一定时
Fm
F
F
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
o
t1
t2
t
8
例题：一重锤质量为m，从高h处自由落下，打 在地面不再跳起。设重锤与地面相互作用时间 为 Δt 。 求：重锤对地的平均冲力。 解： 重锤受两力： mg 和N 由动量定理： ( mg N ) Δt ΔP
I x Fx dt mv2 cos30 (mv1 cos 45 ) Fx t
t 0.01s v1 10m/s v2 20m/s m 2.5g I I x i I y j 0.061i 0.007 j N s
Fx 6.1N
我国长征系列火箭升空
22
例题： 一粒子弹水平地穿过并排静止放置 在光滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2 ，设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿 过后， 两木块各以多大速度运动？
解： 子弹穿过第一木块时，
F t1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
其 中P
t0
mi v i
Pi
当
Fi 0 时
P P0 0
P0 P
动量守恒定律：当系统所受的合外力为0时， 系统的动量守恒。
16
明确几点：
1、质点系受合外力为 0，每个质点的动量可能 变化，系统内的动量可以相互转移，但它们的总 和保持不变。各质点的动量必相对于同一惯性参 考系。 2、若合外力不为 0，但在某个方向上合外力分 量为 0，则在该方向上动量守恒。
人相对于车的速度为：
υ
Mm υ' υ V υ M
设人在时间 t 内走到另一端，
t
M
V
Mm t Mm l υ' dt υdt x 0 0 M M M x l M m m X lx l Mm
20
例题：煤粉从漏斗中以 dm/dt 的流速竖直卸落在 沿平直轨道行驶的列车中，列车空载时质量为M0， 初速为v0，求：1）在加载过程中某一时刻 t 的速 度和加速度。2）（忽略摩擦力）如果要使列车 速度保持v0，应用多大的力牵引列车？
0 m υ m 2 gh
对地平均冲力为:
m 2 gh N' N mg Δt
注 意 这里重锤自身的重量要考虑在内。只有当 前项远大于后一项时，才能不计自重。 9
例题：一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度 下落，到达地面后，以同样速率反弹，接触时 间仅0.019s。 求：对地平均冲力。 解： 篮球到达地面的速率
即：在给定的时间内，外力作用在质点上的 冲量，等于质点在此时间内动量的增量。 5
明确几点：
1）动量定理说明质点动量的改变是由外力和 外力作用时间两个因素，即冲量决定的。
2）冲量的方向不是与动量的方向相同，而是 与动量增量的方向相同 3） 动量定理 Ι ΔP 是矢量式，其直角坐标
mv mv I F dt x 0x x x 的分量式：
4、注意区别 F外 0 与 F外dt 0
前者保证整个过程中动量守恒，后者只说明始 末时刻动量相同。 5、动量守恒定律只适用于惯性系，在微观高 速范围仍适用，是自然界最普遍，最基本的定 律之一 。 18
例题：质量为m的人站在一质量为M、长为 l 的 小车一端，由静止走向车的另一端，求人和小 车各移动了多少距离? ( 不计摩擦 ) 解：水平方向上车和人系统不受外力作用， 故动量守恒； υ m 设车和人相对地面速度 M 分别为 V 和 υ V MV mv 0 m 即: V v ——两者运动方向相反 19 M
分析
dv F m dt
物质间 相互作用 瞬时关系
受到外部作用的质点或 系统的状态变化率
1
牛顿定律是瞬时关系 状态变化不是瞬时的，要经历一个过程 相互作用也不是瞬时的——持续作用 1）相互作用在时间上的持续
——力的时间累积 Fdt
涉及到动量、冲量的概念
2）相互作用在空间上的持续
——力的空间累积 F dr
t2
t1
n n ΣFdt m i υi m i υi 0 i 1 i 1
即： I p p0
质点系总动量的增量等于作用于该 系统合外力的冲量
强调：只有外力才能引起质点系总动量的改变。 质点系内力的矢量合为0，对系统总动量的改 变无贡献，但内力会使系统内各质点的动量发 14 生变化。
解：1）无牵引力和摩擦力，动量守恒。 dm dm M 0υ0 ( M 0 t )υ, υ M 0υ0 /( M 0 t) dt dt M 0v0 dm dt dv a dt ( M 0 t dm dt )2 Fdt ( M dm )v0 ( Mv 0 dm 0) 2）有牵引力： dm 21 F v0 dt