华师大版2019-2020学年河南省南阳市南召县八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3( )
A ．3
B ．3±
C D ．
2．（3( ) A ．1与2之间
B ．2与3之间
C ．3与4之间
D ．4与5之间
3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．3412a a a =
B ．347()a a =
C ．2363()a b a b =
D ．623a a a ÷=
4．（3分）下列各式中，能用平方差公式计算的是( ) A ．11()()22a b a b --
B ．11
()()22a b a b --+
C ．11
()()22
a b a b ---
D ．11
()()22
a b a b --+
5．（3分）如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于
F ，下列结论中不正确的是( )
A ．PE PF =
B ．AE AF =
C ．APE APF ∆≅∆
D ．AP P
E P
F =+
6．（3分）若2(3)(2)y y y my n +-=++，则m 、n 的值分别为( ) A ．5m =，6n =
B ．1m =，6n =-
C ．1m =，6n =
D ．5m =，6n =-
7．（3分）如图，AB AD =，AC AE =，则能判定ABC ADE ∆≅∆的条件是( )
A ．A
B AD =
B ．
C B ∠=∠
C ．
D
E ∠=∠
D ．BC D
E =
8．（3分）把多项式23()2()x y y x ---分解因式结果正确的是( )
A ．()(322)x y x y ---
B ．()(322)x y x y --+
C ．()(322)x y x y -+-
D ．()(322)y x x y -+-
9．（3分）在ABC ∆和△A B C '''中有①AB A B ''=，②BC B C ''=，③AC A C ''=，④A A '∠=∠，⑤B B '∠=∠，⑥C C '∠=∠，则下列各组条件中不能保证ABC ∆≅△A B C '''的是( ) A ．①②③
B ．①②⑤
C ．①②④
D ．②⑤⑥
10．（3分）若1ab =，3a b +=，则2222a b +的值是( ) A ．7
B ．10
C ．12
D ．14
二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）8-的立方根是 ．
12．（3分）把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果⋯，那么⋯．”的形式 ．
13．（3分）如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 边上的中点，B C ∠=∠，请你添加一个条件，使DE DF =成立．你添加的条件是 （不再添加辅助线和字母）．
14．（3分）若2x a =，3y a =，则2x y a += ．
15．（3分）对于实数a ，b ，定义新运算“◎”如下：a ◎22()()b a b a b =+--．若(2)m +◎(2)48m -=，则m 的值为 ．
三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11＝75分）
16．（8分）计算：2019(1)2|-+． 17．（9分）计算：322223(35)a b a b a b ab a b ÷+-- 18．（9分）因式分解：222(4)16x x +-．
19．（9分）已知：220x x +-=，求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值． 20．（9分）如图，B D ∠=∠，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得ABC ADC ∆≅∆，
并说明理由．
21．（10分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ，连结BE 且BE AF ⊥．求证：
（1）FC AD =； （2）AB BC AD =+．
22．（10分）材料阅读：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为
2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项2ax bx c ++式的配方法． 例如：2222211111125112411()()24()2224
x x x x x ++=++-+=+-
探究发现： 小明发现：
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：21124x x ++ 2221111
11()()2422x x =++-+
21125()24x =+- 115115()()2222
x x =+
++- (8)(3)x x =++
小红发现：运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．
2222211111125
112411()()24()2224
x x x x x ++=++-+=+-
因为不论x 取何值，211()02x +
…，所以当112x =-时，多项式21124x x ++有最小值为25
4
-．
根据以上材料，解答下列问题： （1）分解因式：2310x x --；
（2）试确定：多项式2216x x -++的最值（即最大值或最小值）．
23．（11分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB DC ==，5AD BC ==．延长BC 到E ，使2CE =，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒．
（1）请用含t 的式子表达ABP ∆的面积S ；
（2）是否存在某个t 值，使得DCP ∆和DCE ∆全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3( )
A ．3
B ．3±
C D ．
【分析】3=，然后求3的平方根即可．
【解答】解：
3，
∴的平方根是．
故选：D ．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果2(0)x a a =…
，则x 是a 的平方根．若0a >，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a 的算术平方根；若0a =，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
2．（3( ) A ．1与2之间
B ．2与3之间
C ．3与4之间
D ．4与5之间
【分析】由于91416<<，根据算术平方根即可得到34<<． 【解答】解：91416<<，
34∴<．
故选：C ．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
3．（3分）下列计算正确的是( ) A ．3412a a a =
B ．347()a a =
C ．2363()a b a b =
D ．623a a a ÷=
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：347a a a =，故选项A 不合题意；
3412()a a =，故选项B 不合题意； 2363()a b a b =，正确，故选项C 符合题意； 624a a a ÷=，故选项D 不合题意．
故选：C ．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）下列各式中，能用平方差公式计算的是( ) A ．11()()22a b a b --
B ．11
()()22a b a b --+
C ．11
()()22
a b a b ---
D ．11
()()22
a b a b --+
【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．
【解答】解：A 、两项相同，不符合平方差公式；
B 、D 两项都不相同，不符合平方差公式；
C 、中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．
故选：C ．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：
22()()a b a b a b +-=-．
5．（3分）如图，P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于
F ，下列结论中不正确的是( )
A ．PE PF =
B ．AE AF =
C ．APE APF ∆≅∆
D ．AP P
E P
F =+
【分析】题目的已知条件比较充分，满足了角平分线的性质要求的条件，可直接
应用性质得到结论，与各选项进行比对，得出答案．
【解答】解：P 是BAC ∠的平分线AD 上一点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，
PE PF ∴=，
又有AD AD =
(APE APF HL ∴∆≅∆
AE AF ∴=
故选：D ．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明APE APF ∆≅∆是解题的关键．
6．（3分）若2(3)(2)y y y my n +-=++，则m 、n 的值分别为( ) A ．5m =，6n =
B ．1m =，6n =-
C ．1m =，6n =
D ．5m =，6n =-
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则计算(3)(2)y y +-，再根据多项式相等的条件即可求出m 、n 的值．
【解答】解：22(3)(2)2366y y y y y y y +-=-+-=+-，
2(3)(2)y y y my n +-=++， 226y my n y y ∴++=+-， 1m ∴=，6n =-．
故选：B ．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则：()()a b m n am an bm bn ++=+++．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
7．（3分）如图，AB AD =，AC AE =，则能判定ABC ADE ∆≅∆的条件是( )
A ．A
B AD =
B ．
C B ∠=∠
C ．
D
E ∠=∠
D ．BC D
E =
【分析】根据题目中给出的条件AB AD =，AC AE =，要用“SAS ”还缺少条件是夹角：BAC DAE ∠=∠，筛选答案没有，若用“SSS ”则可增加条件：BC DE =．
【解答】解：AB AD =，AC AE =，BC DE =，
()ABC ADE SSS ∴∆≅∆．
A 、
B 、
C 选项都不符合题意，
故选：D ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS ，SAS ，AAS ，ASA ．
8．（3分）把多项式23()2()x y y x ---分解因式结果正确的是( ) A ．()(322)x y x y --- B ．()(322)x y x y --+ C ．()(322)x y x y -+-
D ．()(322)y x x y -+-
【分析】原式变形后，提取公因式即可．
【解答】解：原式23()2()()[32()]()(322)x y x y x y x y x y x y =---=---=--+， 故选：B ．
【点评】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 9．（3分）在ABC ∆和△A B C '''中有①AB A B ''=，②BC B C ''=，③AC A C ''=，④A A '∠=∠，⑤B B '∠=∠，⑥C C '∠=∠，则下列各组条件中不能保证ABC ∆≅△A B C '''的是( ) A ．①②③
B ．①②⑤
C ．①②④
D ．②⑤⑥
【分析】由于全等三角形的六个元素每三个组成的组合有边边角、角角角不能判定三角形全等，由此即可求解．
【解答】解：在ABC ∆和△A B C '''中，有边边角、角角角不能判定三角形全等，
∴①②④是边边角，
∴不能保证ABC ∆≅△A B C '''．
故选：C ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角
形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 10．（3分）若1ab =，3a b +=，则2222a b +的值是( ) A ．7
B ．10
C ．12
D ．14
【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：222()2a b a ab b +=++，
2292a b ∴=++， 227a b ∴+=，
22222()2214a b a b ∴+=+=， 故选：D ．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）8-的立方根是 2- ． 【分析】利用立方根的定义即可求解． 【解答】解：3(2)8-=-， 8∴-的立方根是2-．
故答案为：2-．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于
3()a x a =，那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a ”其中，
a 叫做被开方数，3叫做根指数．
12．（3分）把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果⋯，那么⋯．”的形式 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等 ．
【分析】如果后面的是条件，那么后面跟的是结论，从题意可知条件是线段的垂直平分线上的点，结论是点到这条线段的两个端点的距离相等从而可得出答案．
【解答】解：把命题“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”改写成“如果⋯，那么⋯．”的形式为如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．
故答案为：如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等． 【点评】本题考查命题，关键知道命题由题设和结论组成，准确的找到题设和结论． 13．（3分）如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 边上的中点，B C ∠=∠，请你添加一个条件，使DE DF =成立．你添加的条件是 答案不唯一，如BE CF =或AE AF =或BED CFD ∠=∠或AED AFD ∠=∠或BDE CDF ∠=∠等． （不再添加辅助线和字母）．
【分析】根据条件有BD CD =，B C ∠=∠，若添加的条件是BE CF =，根据SAS 证出BED ∆和CFD ∆全等，若添加的条件是AE AF =，可证出BE CF =，可得出BED ∆和CFD ∆全等；若添加BED CFD ∠=∠，根据AAS 即可推出BED ∆和CFD ∆全等；根据AED AFD ∠=∠推出BED CFD ∠=∠，根据AAS 证BED CFD ∆≅∆即可；若添加的条件是BDE CDF ∠=∠，根据ASA 即可推出BED ∆和CFD ∆全等．
【解答】解：答案不唯一，如BE CF =或AE AF =或BED CFD ∠=∠或AED AFD ∠=∠或BDE CDF ∠=∠等．
①条件是BE CF =， 在BDE ∆和CDF ∆中 BE CF B C BD CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BED CFD SAS ∴∆≅∆，
DE DF ∴=；
②条件是AE AF =， B C ∠=∠， AB AC ∴=，
AE AF =，
BE CF ∴=，
由①可得结论DE DF =； ③条件BED CFD ∠=∠， 在BDE ∆和CDF ∆中
B C BD CD
BED CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()BED CFD AAS ∴∆≅∆，
DE DF ∴=；
④条件AED AFD ∠=∠
AED AFD ∠=∠，
BED CFD ∴∠=∠，
由③可得结论DE DF =；
⑤条件BDE CDF ∠=∠
在BDE ∆和CDF ∆中
B C BD CD
BDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()BED CFD ASA ∴∆≅∆，
DE DF ∴=；
故答案为：答案不唯一，如BE CF =或AE AF =或BED CFD ∠=∠或AED AFD ∠=∠或BDE CDF ∠=∠等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
14．（3分）若2x a =，3y a =，则2x y a += 12 ．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：2x a =，3y a =，
22x y x y a a a +∴=，
2()x y a a =，
43=⨯，
12=．
【点评】本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．
15．（3分）对于实数a ，b ，定义新运算“◎”如下：a ◎22()()b a b a b =+--．若(2)
m +
◎(2)48m -=，则m 的值为 4± ．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出m 的值．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：22(2)448m -=，即216m =，
解得：4m =±，
故答案为：4±．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+11＝75分）
16．（8分）计算：2019(1)2|-+．
【分析】原式利用平方根、立方根定义，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式12421=-+-+=--．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（9分）计算：322223(35)a b a b a b ab a b ÷+--
【分析】根据单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；
单项式与单项式相除，把他们的系数与同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，计算即可．
【解答】解：322223(35)a b a b a b ab a b ÷+--，
222222335ab a b ab a b =+--，
224a b =-．
【点评】本题考查了单项式的除法，单项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（9分）因式分解：222(4)16x x +-．
【分析】利用公式法因式分解．
【解答】解：222(4)16x x +-，
22(44)(44)x x x x =+++-
22(2)(2)x x =+-．
【点评】本题考查了因式分解-运用公式法．
19．（9分）已知：220x x +-=，求代数式2(2)(3)(3)(1)x x x x x -++--+的值．
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘多项式法则计算，最后一项利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式2222443337x x x x x x x x x =-+++--++=++，
220x x +-=，22x x ∴+=，
则原式279=+=．
【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
20．（9分）如图，B D ∠=∠，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得ABC ADC ∆≅∆，并说明理由．
【分析】已知这两个三角形的一个边与一个角相等，所以再添加一个对应角相等即可．
【解答】解：添加BAC DAC ∠=∠．理由如下：
在ABC ∆与ADC ∆中，
B D BA
C DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC ADC AAS ∴∆≅∆．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、
ASA 、AAS 、HL ．
注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
21．（10分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，E 为CD 的中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ，连结BE 且BE AF ⊥．求证：
（1）FC AD =；
（2）AB BC AD =+．
【分析】（1）由“SAS ”可证ADE FCE ∆≅∆，可得FC AD =；
（2）由全等三角形的性质可得AE EF =，由“SAS ”可证AEB FEB ∆≅∆，可得AB BF =，即可求解．
【解答】证明：（1）
//AD BC ，
ADE FCE ∴∠=∠， E 是CD 的中点，
DE CE ∴=，
在ADE ∆ 与FCE ∆ 中，
ADE FCE DE CE
AED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ADE FCE ASA ∴∆≅∆，
FC AD ∴=；
（2）ADE FCE ∆≅∆，
AE FE ∴=，
又BE AE ⊥，
90AEB FEB ∴∠=∠=︒，且BE BE =，AE FE =，
()AEB FEB SAS ∴∆≅∆
AB BF ∴=
AB BF BC CF ∴==+．
AD FC =，
AB BC AD ∴=+．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明AEB FEB ∆≅∆是本题的关键．
22．（10分）材料阅读：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项2ax bx c ++式的配方法． 例如：2222211111125112411()()24()2224
x x x x x ++=++-+=+- 探究发现：
小明发现：
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：21124x x ++
222111111()()2422
x x =++-+ 21125()24x =+
- 115115()()2222
x x =+++- (8)(3)x x =++
小红发现：运用多项式的配方法能确定一些多项式的最大值或最小值．
2222211111125112411()()24()2224
x x x x x ++=++-+=+- 因为不论x 取何值，211()02x +…，所以当112x =-时，多项式21124x x ++有最小值为254-． 根据以上材料，解答下列问题：
（1）分解因式：2310x x --；
（2）试确定：多项式2216x x -++的最值（即最大值或最小值）．
【分析】（1）利用完全平方公式对2310x x --进行变形处理，然后运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式；
（2）利用非负数的性质和配方法求得答案．
【解答】解：（1）2310x x --
222333()()1022
x x =-+-- 2349()24
x =-- 2237()()22
x =--
(2)(5)x x =+-；
（2）222216(21)17(1)17x x x x x -++=--++=--+．
2(1)0x -…，
2(1)0x ∴--…
∴当1x =时，多项式2216x x -++有最大值为17．
【点评】考查了配方法的应用和非负数的性质，配方法的理论依据是公式2222()a ab b a b ±+=±．
23．（11分）已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB DC ==，5AD BC ==．延长BC 到E ，使2CE =，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒．
（1）请用含t 的式子表达ABP ∆的面积S ；
（2）是否存在某个t 值，使得DCP ∆和DCE ∆全等？若存在，请求出所有满足条件的t 值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分三种情况，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，即可求得．
【解答】解：（1）①当P 在BC 上时，
由题意得：2(0 2.5)BP t t =<…，ABP ∆的面积1142422
S AB BP t t =⨯=⨯⨯=； ②当P 在CD 上时，(2.5 4.5)t <…，ABP ∆的面积11451022S AB BC =
⨯=⨯⨯=； ③当P 在AD 上时，由题意得142(4.5A P t t =-<<，ABP ∆的面积114(142)28422
S AB AP t t =⨯=⨯⨯-=-； （2）①当P 在BC 上时，
由题意得2BP t =，
要使DCP DCE
=
∆≅∆，则需CP CE
CE=
2
∴-=，
t
522
t
∴=
1.5
即当 1.5
∆≅∆；
t=时，DCP DCE
②当P在CD上时，不存在t使DCP
∆全等；
∆和DCE
③当P在AD上时，由题意得2
++=，
BC CD DP t
CD=，
BC=，4
5
∴=-
29
DP t
要使DCP CDE
=，
∆≅∆，则需DP CE
即292
t-=，
∴=，
t
5.5
即当 5.5
∆≅∆；
t=时，DCP CDE
综上所述，当 1.5
∆全等．
∆和DCE
t=或 5.5
t=时，DCP
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积、全等三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解题的关键．。