二次函数和一元二次方程的相互关系
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解：(1) 32 4 24 41 0
∴该抛物线与X轴有两个交点
(2) 12 431 11 0
∴该抛物线与X轴无交点
例2:求 y 2x2 3x 4 图像与X轴两交点AB间的距离.
解：AB 41 22
例3：已知二次函数 y x2 mx m 2 （1）证明：抛物线与X轴始终有两个交点？
例4：已知函数 y x2 2mx 2m2在X轴上截得的
的线段长是 4 3 ，求 m 及该函数的解析式。
解:设抛物线与X轴的交点为A、B
2m2 41 2m2 12m2
AB 12m2 1
12m2 4 3 两边平方得, 12m2 48
与X轴总有两个交点，当m为何值时，抛物线 与X轴两个交点距离最小？
பைடு நூலகம்结
二次函数和一元二次方程有着密切的联系:
二次函数图像与X轴的位置关系由其对应的一 元二次方程的根的判别式决定: 当△＞0时,有两个交点(相交)
△＝0时,有一个交点(相切) △＜0时,无交点(相离) 若二次函数的图像与X轴相交,则交点的横坐标 就是二次函数所对应的一元二次方程的根。
当对应方程的△＝0时，抛物线与X轴有一个交点
当对应方程的△＜0时，抛物线与X轴没有交点
若二次函数的图像与X轴有交点,如何求
交点间的距离?
设方程的 ax2 bx c 0 两根为 x1，x2
即抛物线与X轴交点的坐标为 A x1，o，B x2，0
则由根与系数的关系得:
x1
x2
b a
解： m2 4m 2
m2 4m 8
m2 4m 4 4
m 22 4 0
∴抛物线与X轴始终有两个交点。
（2）当m为何值时两个交点间的距离最小？
解：设两个交点分别为M、N
MN m 22 4
当 m 2时，MN最小 4 2
若二次函数的图像与X轴相交，则交点之间的 距离为
a
作业： B册第20页习题24.6(7)
y
4 3 2 1 0 1 2 3 4x
判别式 符号
△＞0
△＝0
y x2 4x 5
x 22 1
x2 4x 5 0
无实数根
y
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4x
△＜0
二次函数图象在什么条件下与X轴 有两个交点，一个交点，没有交点？
当对应方程的△＞0时，抛物线与X轴有两个交点
m 2
∴所求函数解析式为 y x2 4x 8 或y x2 4x 8
课内练习：
1若抛物线y kx2 3x 1与X轴有两个交点，
求k的取值范围
2已知：抛物线y 2x2 4x 6的顶点为M，
它与X轴交于A、B两点，求SMAB
3求证：函数y x2 2m 1x 2m 1图像
y x
二次 y x2 4x 3
函数
x 22 1
对应 x2 4x 3 0 方程 x1 1，x2 3
图
y
3 2 1 像 -1 0 1 2 3 4 x
y x2 4x 4
x 22
x2 4x 4 0 x1 x2 2
，x1
x2
c a
AB x1x2 x1 x2 2
x1 x2 2 4x1x2
b2 4c a2 a
b2 4ac a
a
例1：不画图像判别抛物线与X轴交点的情况。 (1) y 2x2 3x 4 (2) y 3x2 x 1
∴该抛物线与X轴有两个交点
(2) 12 431 11 0
∴该抛物线与X轴无交点
例2:求 y 2x2 3x 4 图像与X轴两交点AB间的距离.
解：AB 41 22
例3：已知二次函数 y x2 mx m 2 （1）证明：抛物线与X轴始终有两个交点？
例4：已知函数 y x2 2mx 2m2在X轴上截得的
的线段长是 4 3 ，求 m 及该函数的解析式。
解:设抛物线与X轴的交点为A、B
2m2 41 2m2 12m2
AB 12m2 1
12m2 4 3 两边平方得, 12m2 48
与X轴总有两个交点，当m为何值时，抛物线 与X轴两个交点距离最小？
பைடு நூலகம்结
二次函数和一元二次方程有着密切的联系:
二次函数图像与X轴的位置关系由其对应的一 元二次方程的根的判别式决定: 当△＞0时,有两个交点(相交)
△＝0时,有一个交点(相切) △＜0时,无交点(相离) 若二次函数的图像与X轴相交,则交点的横坐标 就是二次函数所对应的一元二次方程的根。
当对应方程的△＝0时，抛物线与X轴有一个交点
当对应方程的△＜0时，抛物线与X轴没有交点
若二次函数的图像与X轴有交点,如何求
交点间的距离?
设方程的 ax2 bx c 0 两根为 x1，x2
即抛物线与X轴交点的坐标为 A x1，o，B x2，0
则由根与系数的关系得:
x1
x2
b a
解： m2 4m 2
m2 4m 8
m2 4m 4 4
m 22 4 0
∴抛物线与X轴始终有两个交点。
（2）当m为何值时两个交点间的距离最小？
解：设两个交点分别为M、N
MN m 22 4
当 m 2时，MN最小 4 2
若二次函数的图像与X轴相交，则交点之间的 距离为
a
作业： B册第20页习题24.6(7)
y
4 3 2 1 0 1 2 3 4x
判别式 符号
△＞0
△＝0
y x2 4x 5
x 22 1
x2 4x 5 0
无实数根
y
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4x
△＜0
二次函数图象在什么条件下与X轴 有两个交点，一个交点，没有交点？
当对应方程的△＞0时，抛物线与X轴有两个交点
m 2
∴所求函数解析式为 y x2 4x 8 或y x2 4x 8
课内练习：
1若抛物线y kx2 3x 1与X轴有两个交点，
求k的取值范围
2已知：抛物线y 2x2 4x 6的顶点为M，
它与X轴交于A、B两点，求SMAB
3求证：函数y x2 2m 1x 2m 1图像
y x
二次 y x2 4x 3
函数
x 22 1
对应 x2 4x 3 0 方程 x1 1，x2 3
图
y
3 2 1 像 -1 0 1 2 3 4 x
y x2 4x 4
x 22
x2 4x 4 0 x1 x2 2
，x1
x2
c a
AB x1x2 x1 x2 2
x1 x2 2 4x1x2
b2 4c a2 a
b2 4ac a
a
例1：不画图像判别抛物线与X轴交点的情况。 (1) y 2x2 3x 4 (2) y 3x2 x 1