1.2随机事件的概率

古典概率的计算：抛掷骰子
抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数 , 求“出现的 点数是不小于3的偶数”的概率．
试验 抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数
样本空间
Ω ={1，2，3，4，5，6}
n=6
事件A
Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”={4，6} m=2
事件A的概率
P( A) m 2 1 n 63
样本空间样本点数: n=C103 • 所取3均为正品的样本点数：m A=C63 • 所取3件均为次品的样本点数: m B=C43 • m C= C31C62C41 • m D=4×3×6 =72 • 则P(A)=1/6 ,P(B)=1/30 ，P(C)=3/5 ，P(D)=1/10
注（1）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注 意不要重复计数，也不要遗漏.
说明 ：如果把 n 个不同元素分成两组，一组r个，
另一组n-r个，组内元素不考虑顺序，那么不同
分法有
n种! 。
r!(n r)!
（2）常用组合公式：
C
k n
C
nk n
,
Ck n1
C
k n
C
k n
1
,
k
n
C k nm
C
i n
C
k m
i
,
C
i n
2n.
i0
i0
说明：熟练运用排列组合公式对求概率问题是很重要的
从表1-2可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的 增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.
对本定义的评价
优点：直观 易懂
缺点：粗糙 不便 模糊 使用
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是
那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 下面就来回答这个问题.
例2：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均
分成3组，求：
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
解:设A为“每组有一名运动员”这一事件;B为 “3名
运动员集中在一组”这一事件。
N(S)
C C C 10 10 10 30 20 10
10!
30! 10!
10!
3! 27! P( A) 9! 9! 9! 50
N (S) 203
3 27! P(B) 7!10!10!
N(S)
古典概率的计算：抽球问题
设有10件产品，其中有4件次品，从中任取3件，每次 取一件不放回，连取三次；求下列事件的概率：A: 所 取3件均为正品； B: 3件均为次品；C :3件中恰有一 件为次品；D: 直到第3次才取到正品。
• 解:.不考虑所取3件的次序，可能结果为组合问题得
思考题
1) 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机， 想听电 台报时， 求他等待的时间不超过 10 分钟的 概率。 (1/6)
2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C，在 B、C 处
折断此线段 而得三折线，求此三折线能构成三角形 的概率。(1/4)
3 )甲、乙两船停靠同一码头，各自独立地到达， 且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需 停泊 1小时，乙 船需停泊 2小时，而该码头只能停 泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。 (0.121)
几何概型的计算：会面问题
甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面， 先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲 乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内 的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。 解 设甲乙二人到达预定地点的 y
时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则 30
0 x 30 0 y 30
P(C)
C926C41 C3
100
古典概率的计算： 有放回抽样和无放回抽样
设在10 件产品中，有2件次品，8件正品．
A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”
第一次抽取后，产品放回去
n 1010
mA 8 2
P(A) 8 2 0.16 10 10
第一次抽取后，产品不放回去
n 109
mA 8 2
（2）许多表面上提法不同的问题实质上属于同 一类型：
有n个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n 间房中各有一人的概率.
人
房
有n个人，设每个人的生日是任一天的概 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 同的概率.
人
任一天
这一讲，我们介绍了古典概型. 古典概型 虽然比较简单，但它有多方面的应用.
二人会面 x y 10 10
2
30
(30 10)2
5
p
2
30
9
10
x 30
布丰的投针试验
•
公元1777年的一天，法国科学家D·布丰（D·buffon1707～1788）
的家里宾客满堂，原来他们是应主人的邀请前来观看一次奇特试验 的。
• 试验开始，但见年已古稀的布丰先生兴致勃勃地拿出一张纸来，纸 上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先准 备好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰 先生宣布：“请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大 家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告诉我。”客人们不知 布丰先生要干什么，只好客随主便，一个个加入了试验的行列。一 把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。最后，布丰先生高 声宣布：“先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针 2212次，其中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数704的比 值为3.142。”说到这里，布丰先生故意停了停，并对大家报以神秘 的一笑，接着有意提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！” 众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？ 这可是与圆半点也不沾边的呀！”
几何概型的计算：布丰投针问题
平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离 都是 a (a>0) 。向平面任意投一长为 l (l<a) 的针， 试求针与一条平行线相交的概率。
M
lM
x
解 ：设 x 是针的中点 M 到最
近的平行线的距离， 是针与
此平行线的交角，投针问题就 相当于向平面区域 D 取点的 几何概型。
12 3
古典概率的计算：数字排列
用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数
没有相同数字的三位数的概率
n 53
mA P53
P( A)
P53 53
0.48
没有相同数字的三位偶数的概率
n 53 mB P42 P21
百位十位
P(B)
P42 P21 53
＝ 0.192
个位
古典概率的计算：分组问题
箱中摸球 分球入箱
随机取数 分组分 是常见的几种模型 .
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的.
把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
1.2.3 几何概型(等可能概型的推广)
(1)几何概型 设Ω为试验E的样本空间，若 ①试验Ω的样本空间是直线上某个区间，或者面、
空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; ②每个样本点发生具有等可能性 ;
则称E为几何概型。
(2)几何概型概率的定义
设试验的每个样本点是等可能落入区域Ω上的随
机点M，且D含在Ω内,则M点落入子域D(事件A)
上的概率为:
P(A) m(D) m()
注：m及 mD在 是区间时，表示相应的长度；在
是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积．
1.2.1 概率和频率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些 事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小 的量的描述（即数量化），这种量的大小称为事 件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
随机事件的频率Frequency
随机试验
抛掷一枚均匀的硬币
试验总次数n
（2）选排列：在无放回选取中，从 n 个不同元素中 取 r 个元素进行排列，称为选排列，其总数为
Pnr n(n 1)(n r 1)
4）组合： （1）从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组，不考 虑其顺序，称为组合，其总数为
C
r n
n r
n(n 1)(n r r!
1)
n! r!(n r)!
将硬币抛掷n次
随机事件
A=“出现正面”
事件A出现次数m 出现正面m次
m
随机事件的频率 fn ( A)
n
fn
(
A)
事件A出现的次数m 试验总次数n
频率和概率
频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发 生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数 的增加更加明显
事件的概率 事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用
来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A 的概率
概率的统计定义
对任意事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次 试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次数n的 增大而稳定地在某个常数 附近摆动那么称p为事件 Ａ的概率
P(A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率
比如前面抛掷硬币的实验
1）加法原理：完成某件事有两类方法，第一类有n 种，第二类有m种，则完成这件事共有n+m种方法。 2）乘法原理：完成某件事有两个步骤，第一步有n 种方法，第二步有m种方法，则完成这件事共有nm 种方法。 3） 排列： (1)有重复排列:在有放回选取中，从n个不同元素中取
r个元素进行排列，称为有重复排列，其总数为 n r 。
P(A) 82 0.1778 10 9
古典概率的计算：投球入盒
把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒 都是可识别的。
A=“指定的三个盒内各有一球
3!
n 53 mA 3!
P( A) 53
B =“存在三个盒，其中各有一球
n 53
mB C53 3!
P(B)
C53 3! 53
a bc d e
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
1.2.2 古典概率
(1)古典概型
设Ω
为试验E的样本空间，若
①（有限性）Ω只含有限个样本点;
②（等概性）每个基本事件出现的可能性相等;
则称E为古典概型。
(2)古典概型概率的定义
设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事 件，定义事件A的概率为:
D {(, x)|0 ,0 x a}
2
D {(, x)|0 ,0 x a}
2
x
A {(, x)|0 ,0 x l sin}
2
a
2 x l sin D
2
A
p
A的面积 D的面积
0
l sind
2
a
2l
a
.
2
0
性质
（1） 0 P(A) 1 （2） P() 1, P() 0 （3） 若A，B互斥，则 P(A B) P(A) P(B)
古典概率的计算：正品率和次品率
设在100 件产品中，有 4 件次品，其余均为正 品．
这批产品的次品率
n＝ 100
mA＝ 4
任取3件，全是正品的概率
P( A) 4 0.04 100
n
C3 100
mB C936
P(B)
C936 C3
100
任取3件，刚好两件正品的概率
n
C3 100
mC C926C41
再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况， 从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，其结果如 表1-2：
种子粒数 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 发芽粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715
发芽率 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905
y=x y
24
S 242
SA
1 2
232
222
P( A) 1 SA 0.1207 S
24 x
1.3.1 概率的公理化定义
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中都起着很重要的作用，但又各自都有一定局限性.
P(A)
事件A中包含的样本点数 样本空间中样本点总数
k n
注意: (1) 古典概型的判断方法（有限性 、等概性）； (2) 古典概率的计算步骤：
①弄清试验与样本点; ②数清样本空间与随机事件中的样本点数; ③列出比式进行计算。
概率的性质：
0 P 1 P 1
P() 0
非负性 规范性
复习排列组合公式
解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y < 24
设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头．
{(x, y) 0 x 24 , 0 y 24 } A {(x, y) (x, y) ,
0 y x 1, 0 x y 2}