高中数学 选修1-1 新课讲义 第2章 2.2.1 双曲线及其标准方程

§2.2双曲线
2.2.1双曲线及其标准方程
学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
知识点一双曲线的定义
思考若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？
答案如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数(小于|F1F2|)；如
果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数(小于|F1F2|)，可得到另一条
曲线．
梳理(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数
(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．
(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
知识点二双曲线的标准方程
思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．
梳理(1)双曲线两种形式的标准方程
焦点所在的坐标轴
x 轴
y 轴
标准方程
x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0) 图形
焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)
F 1(0，－c )，F 2(0，c )
a ，
b ，
c 的关系式 a 2＋b 2＝c 2
(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，则焦点在y 轴上． (3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．
(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．
1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × ) 2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2
b 2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( × )
3．双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( × )
类型一 双曲线的标准方程 命题角度1 双曲线标准方程的认识
例1 方程x 22＋m ＋y 2
m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A
解析 由题意可知，(2＋m )(m ＋1)<0，∴－2<m <－1.
反思与感悟 将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2
n
＝1，则当
mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0，
n >0，则
方程表示焦点在y 轴上的双曲线．
跟踪训练1 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 C
解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2
k ＋1＝1，
∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线． 命题角度2 求双曲线标准方程
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫
1，－4103；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在x 轴上时， 设所求标准方程为x 216－y 2
b
2＝1(b >0)，
把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×160
9<0，不符合题意；
当焦点在y 轴上时，
设所求标准方程为y 216－x 2
b
2＝1(b >0)，
把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
9＝1.
(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
9m ＋0＝1，
36m ＋9n ＝1，解得⎩⎨⎧
m ＝1
9
，
n ＝－13，
∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 2
3＝1.
反思与感悟 求双曲线方程的方法
(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解．
(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论．
(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．
跟踪训练2 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．
(2)与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)∵焦点在x 轴上，c ＝6，
∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 2
6－λ＝1(其中0<λ<6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25
－y 2
＝1.
(2)椭圆x 227＋y 2
36
＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)
或(－15，4)．
设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
42a 2－(15)2b 2＝1，a 2＋b 2＝32，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2
＝5.
故所求双曲线的标准方程为y 24－x 2
5＝1.
类型二 双曲线的定义及应用 命题角度1 双曲线中的焦点三角形
例3 (1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，
线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．
考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 4a ＋2m
解析 由双曲线的定义，知|AF 1|－|AF 2|＝2a ， |BF 1|－|BF 2|＝2a . 又|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |，
所以△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m . (2)设P 为双曲线
x 2－
y 2
12
＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 12
解析 由已知得2a ＝2，
又由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2， 因为|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， 所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝2c ＝213，
由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－52
2×6×4＝0，
所以△F 1PF 2为直角三角形．
12
PF F S
＝12×|PF 1|·|PF 2|＝12
×6×4＝12. 引申探究
本例(2)中，若将“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“|PF 1|·|PF 2|＝24”，求△PF 1F 2的面积． 解 由双曲线方程为
x 2－
y 2
12
＝1， 可知a ＝1，b ＝23，c ＝1＋12＝13.
因为|PF 1|·|PF 2|＝24，
则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|
＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 2
2×24
＝
4＋2×24－4×13
48
＝0，
所以△PF 1F 2为直角三角形． 所以12
PF F S
＝1
2
|PF 1|·|PF 2|＝12. 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；
②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝1
2
×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．
(2)方法二：利用公式12
PF F S
＝1
2
×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|之间的关系．
跟踪训练3 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( ) A ．1 B ．4 C ．6 D ．8 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 B
解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
由余弦定理得|F 1F 2|2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2， 即m 2＋n 2－mn ＝8，
∴(m －n )2＋mn ＝8，∴mn ＝4， 即|PF 1|·|PF 2|＝4.
命题角度2 由双曲线定义求轨迹方程
例4 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案
x 2－
y 2
8
＝1(x ≤－1) 解析 如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |, 因为|MA |＝|MB |，
所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，
即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2且2<6＝|C 1C 2|. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，
这里a ＝1，c ＝3，则b 2
＝8，设点M 的坐标为(x ，y )，其轨迹方程为x 2
－y 2
8
＝1 (x ≤－1)．
反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点
(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．
(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．
跟踪训练4 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 22－y 2
14＝1(x ≥2) B.x 22－y 2
14＝1 C.x 214－y 2
2
＝1 D.x 22＋y 2
14
＝1 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A
解析 设动圆M 的半径为r ，则由已知得 |MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， 所以|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，
所以|C 1C 2|＝8，所以22<|C 1C 2|，
根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支， 因为a ＝2，c ＝4， 所以b 2＝c 2－a 2＝14，
所以点M 的轨迹方程是x 22－y 2
14＝1(x ≥2).
1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．不存在
D ．一条射线
考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B
解析 因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支．
2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2
k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )
A ．－3<k <－2
B ．k <－3
C ．k <－3或k >－2
D ．k >－2
考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A
解析 由题意知，k ＋3>0且k ＋2<0， ∴－3<k <－2.
3．设F 1，F 2分别是双曲线
x 2－
y 2
24
＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C
解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＝8，
|PF 2|＝6.
又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形，且PF 1⊥PF 2， 则12
PF F S
＝1
2
|PF 1|·|PF 2|＝24. 4．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2
2＝1有相同的焦点，则a 的值是( )
A.1
2 B ．1或－2 C ．1或1
2
D ．1
考点 双曲线性质的应用
题点 双曲线与椭圆结合的有关问题
答案 D
解析 由a >0,0<a 2<4，且4－a 2＝a ＋2，可解得a ＝1，故选D. 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；
(3)以椭圆x 28＋y 2
5＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，10)．
考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4， 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，
所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 2
7＝1.
(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上， 因为点A (－5,6)在双曲线上， 所以2a ＝|
(－5－0)2＋(6＋6)2－
(－5－0)2＋(6－6)2|
＝|13－5|＝8，
则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
20＝1.
(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
则有a 2＋b 2＝c 2＝8.因为过(3，10)点， 所以9a 2－10
b 2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.
故所求双曲线的标准方程为x 23－y 2
5
＝1.
1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条
射线．
2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．
如果焦点不确定要分类讨论采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解.
一、选择题
1．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()
A.⎝⎛⎭⎫
2
2，0
B.⎝⎛⎭⎫
5
2，0
C.⎝⎛⎭⎫
6
2，0
D．(3，0)
考点双曲线的标准方程
题点由双曲线方程求参数
答案 C
解析将双曲线方程化成标准方程为
x2
1
－y2
1
2
＝1，
所以a2＝1，b2＝1
2
，所以c＝a2＋b2＝6
2
，
故右焦点坐标为
⎝
⎛
⎭
⎫
6
2
，0.
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在y轴上的双曲线
考点双曲线的标准方程
题点已知方程判断曲线的类型
答案 D
解析 将方程化为y 2－n m －x 2
－n m
＝1， 由mn <0，知－n m
>0， 所以方程表示的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．
3．双曲线x 225－y 29
＝1的两个焦点为F 1，F 2，若双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为( )
A ．17
B ．22
C ．2或22
D ．7或17
考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 C
解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝10，
又|PF 1|＝12，则P 到F 2的距离为2或22，经检验，均符合题意．故选C.
4．过点(1,1)，且b a ＝2的双曲线的标准方程是( ) A.x 212
－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 2
12＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 D
解析 ∵b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，代入(1,1)点，得a 2＝12.此时双曲线标准方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线标准方程为y 2
12
－x 2＝1.
5．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值是( )
A ．1
B ．－1 C.653 D ．－653
考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 B
解析 原方程可化为x 21k －y 2
8k
＝1，由焦点坐标是(0,3)可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴k <0.c 2＝－1k －8k ＝－9k
＝9，∴k ＝－1，故选B. 6．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23
－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2等于( )
A.14
B.13
C.19
D.35
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 B
解析 设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1＋d 2＝26，①
|d 1－d 2|＝23，②
①2＋②2，得d 21＋d 22
＝18. ①2－②2，得2d 1d 2＝6.
而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c 22d 1d 2＝18－166＝13
. 7．已知双曲线x 2m －y 27
＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )
A ．9
B ．10
C ．16
D ．20
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 A
解析 △ABF 2的周长＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，
∵|AB |＝4，∴|AF 2|＋|BF 2|＝16.
根据双曲线定义知，
2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，
∴4a ＝(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)
＝16－4＝12，
∴a ＝3，∴m ＝a 2＝9.
8．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
A.x 24
－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23
＝1 D.x 23－y 22
＝1 考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 B
解析 据已知条件得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)， 则a 2＋b 2＝5.①
∵线段PF 1的中点坐标为(0,2)，
∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程，
得5a 2－16b 2＝1.② 由①②解得
a 2＝1，
b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1. 二、填空题
9．若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________________． 考点 双曲线的标准方程的求法
题点 定义法求双曲线的标准方程
答案 y 2－x 28＝1(y ≥1) 解析 由题意结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹为双曲线上支，且c ＝3,2a ＝2，a ＝1，b 2＝9－1＝8，
故点P 的轨迹方程为y 2－x 28
＝1(y ≥1)． 10．双曲线x 264－m 2－y 2
m 2
＝1(0<m <5)的焦距为________． 考点 双曲线的标准方程
题点 由双曲线方程求参数
答案 16
解析 在双曲线x 264－m 2－y 2m 2＝1(0<m <5)中， a 2＝64－m 2，b 2＝m 2.
∴a 2＋b 2＝64，可得c ＝8,2c ＝16.
11．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)的双曲线的标准方程是________．
考点 双曲线的标准方程的求法
题点 待定系数法求双曲线的标准方程
答案 y 225－x 2
75
＝1 解析 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝－175，n ＝125，
故双曲线的标准方程为y 225－x 275
＝1. 12．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
答案 2 3
解析 设P 在双曲线的右支上，|PF 1|＝2＋x ，|PF 2|＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，
所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，
所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，
所以|PF 2|＋|PF 1|＝3－1＋3＋1＝2 3.
三、解答题
13.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9
＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的曲线方程．
考点 双曲线的定义
题点 由双曲线的定义确定轨迹方程
解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，
∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.
圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，
∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.
设动圆M 的半径为R ，
则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，
∴|MF 2|－|MF 1|＝3.
∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，
且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914
. ∴双曲线方程为x 294－y 2914
＝1⎝
⎛⎭⎫x ≤－32. 四、探究与拓展
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225
－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B
＝________. 考点 双曲线的定义
题点 双曲线定义的应用
答案 56
解析 设A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .
由双曲线定义，得a －c ＝10，
由正弦定理，得sin A －sin C sin B ＝a －c b ＝1012＝56
. 15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．
考点 双曲线的定义
题点 双曲线的焦点三角形
解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24
＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，
解得a 2＝3，b 2＝2， 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22
＝1. (2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23， 又|MF 1|＋|MF 2|＝63，
故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝23，又|F 1F 2|＝25， 因此在△MF 1F 2中，|MF 1|边最长，
而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|2
2·|MF 2|·|F 1F 2|<0， 所以∠MF 2F 1为钝角．
故△MF 1F 2为钝角三角形．。