第五节最大值与最小值,极值的应用问题-PPT精选文档19页

产准备费之和最小的最优批量应为 2 a b 。
c
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第四章 中值定理与导数的应用
内容小结 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 应用题可根据问题的实际意义判别 作业 P196 20---31
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第四章 中值定理与导数的应用
备用题 1.设函数 f(x ) n x (1 x )n ,n N ， 试求 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上的最大值 M ( n ) 和 limM(n)
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第四章 中值定理与导数的应用
特别的，若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，若 f ( x ) 在( a , b ) 内有且仅有一个极大值 而无极小值， 则此极大值即最大值。
若 f ( x ) 在 ( a , b ) 内有且仅有一个极小值， 而无极大值， 则此极小值即最小值。
lna
令 t(a)lna(llnnaa)210 得 t ( a ) 唯一的驻点 a ee 当a ee时，t(a)0 ；当a ee时，t(a)0 ；a ee是 极小值点，也是最小值点，最小值为 t(ee ) 1 1
e
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谢谢
n
解 f ( x ) n ( 1 x ) n n x n ( 1 x ) n 1
n (1 x )n 1 [1 (n 1 )x ]
令 f(x)0 得 ( 0 , 1 ) 内唯一的驻点 x 1
n1 f ( x ) n ( 1 x ) n 2 [ ( n 2 1 ) x 2 n ]
0
,
a 2
) 内，所以
只需对 x 1 进行检验。
当
x

(0, a )
时，V 0 ;
当
x
a (
a ,)
时，V 0
所以函数 V
6
在点 x

a
62
处取得极大值，也是最大值
6
即当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁
皮边长的 1 时，所做成的方盒容积最大。
6
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第四章 中值定理与导数的应用
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第四章 中值定理与导数的应用
解
P(x)
ab x2
c 2
令 P(x)0
有 cx22ab0 所以 x 2ab
c
因为 x 2ab(0,a) （舍去）
c
又因
P(x)

2ab x3
0
因此当
x

2ab 时 P(x)
c
取得极小值，也是最小值。即要使库存费与生
x li m x0 f(x)f(x0)
微积分讲义
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设计制作
王新心
§4.5 最大值与最小值， 极值的应用问题
（一）最大值与最小值 （二）极值应用问题举例
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第四章 中值定理与导数的应用
（一）最大值与最小值 函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，则函数在 该区间上必取得最大值与最小值。函数的最大 （小）值与函数的极大（小）值是不同的概念。 f ( x 0 )是区间 [ a , b ] 上的最大（小）值，是指 f ( x 0 )是区间 [ a , b ] 上所有函数值中最大（小）者 而f ( x 0 )是区间 [ a , b ] 上的极大（小）值，是指
在 x 0及 x 2 7 处取得最大值
8 f(0)0, f(27)0 8
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第四章 中值定理与导数的应用
（二）极值应用问题举例
例2 将边长为 a 的一块正方形铁皮， 四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将
四边折起做成一个无盖方盒，问截掉的小正方
形边长为多大时，所得方盒的容积最大？
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第四章 中值定理与导数的应用
f ( x 0 ) 是包含在( a , b ) 内的一个 x 0 的 邻域
(x0,x0)中的所有函数值中的最大（小）
者。可见最大（小）值是区间[ a , b ] 上的全局 概念，而极大（小）值则是区间( a , b ) 内 x 0 的一 个邻域的局部概念。
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第四章 中值定理与导数的应用
一般而言，求连续函数在区间 [ a , b ] 上的最 大值与最小值的步骤：
（1）求出函数的全部驻点和不可导的点； （2）计算这些点的函数值及区间端点的 函数值 f(a), f(b) ； （3）比较它们的大小，其中最大（小）者 即区间[ a , b ] 上的最大（小）值。
x
解 设小正方形的边长为 x ，
方盒的容积为
Vx(a2x)2 x ( 0 , a ) 2
a
a2x
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求得 V 2 ( a 2 x ) ( a 6 x )令 V 0 得
a
a
x1
因为只有点
6 x
,
1
x2
a 6
2
在区间
(
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第四章 中值定理与导数的应用
例4 在§1.5的例2中，曾求得一年中库存 费与生产准备费的和 P ( x ) 与每批产量 x 的函数 关系为 P(x)abcx x(0,a)
x2
其中 a 为年产量， b 为每批次的生产准备费， c 为每台产品的库存费，问在不考虑生产能力 的条件下，每批生产多少台时，P ( x ) 最小？
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第四章 中值定理与导数的应用
例1
求
f
(x)

x32x3在区间[
1,
2
7
] 上的
2
8
最大值与最小值。
解 在§4.4例2中已求出 f ( x ) 在驻点 x 1 处取到极小值 f (1) 1 ，在导数不存在的点
2
x 0 处取得极大值 f(0)0 。
计算区间端点处的函数值
例3 要做一个容积为 V 的圆柱形罐头筒， 怎样设计才能使所用材料最省？
解 显然要材料最省，就是要
h
r
罐头筒的总表面积最小。设罐头筒的
底面半径为 r ，高为 h ，总表面积为
S2 r2 2 rh
由体积公式有
h

V r2
, 所以
S 2r2 2V
r
r(0,)
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第四章 中值定理与导数的应用
f(n11)(nnn1)1n3 0
故 x 1 是极大值点，也是最大值点。
n1
最大值为 M (n)f( 1)( n)n1
n1 n1
lim M (n)lim (11)n1 e 1
n
n n1
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第四章 中值定理与导数的应用
2.设 a 1 , f(t)at at在(,)内的驻点为 t ( a ) , 问 a 为何值时，t ( a ) 最小？并求最小值。
解 先求 f ( t ) 的驻点，令 f(t)atln aa0 得驻点 t(a)1lnlna, 再求 t ( a ) 的最小值，
第四章 中值定理与导数的应用
S

4r

2V r2

2(2
r3 r2
V
)
令 S 0 得 r 3 V
2
又 S 44rV3 0
因此 S 在点 r 3 V 处为极小值，也是最小值
2
此时高为 h

V r2

V (3 V
)2
V 23 2r
2
2
即当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省。
f(1)5, f(27)0 28
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第四章 中值定理与导数的应用
比较这些值的大小：
f( 1 ) 5 ,f( 0 ) 0 ,f( 1 ) 1 ,f(2 7 ) 0
2
28
得 f ( x ) 在 [ 1 , 2 7 ] 上 x1处取得最小值
8 f (1) 5 2