【人教版】七年级数学下册：8.2.1消元(代入法)

∴方程组的解是
x=1 y=2
谈谈思路
例1 解方程组
2y – 3x = 1 ① x=y-1 ②
解： 把②代入①得：
变： 2y – 3x = 1 ① x–y=–1 ②
2y – 3（y – 1）= 1
2y – 3y + 3 = 1
2y – 3y = 1 - 3
-y=-2
y= 2
把y = 2代入②，得
x=y–1=2–1=1
是关于x、y的二元一次方程，
求 m2 n2 的值。
• 4、如图所示，将长方形ＡＢＣＤ的一个 角折叠，折痕为ＡＥ，∠BAD比∠BAE大 48°.设∠BAE和∠BAD的度数分别为x ,y 度，那么x,y所适合的一个方程组是 C （）
A y x 48 B y x 48 D
y x 90
再见
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
3、影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野和成就，甚至一生。 4、无论你觉得自己多么了不起，也永远有人比更强;无论你觉得自己多么不幸，永远有人比你更不幸。
100×2y+250y=22500000
整体代入法
解得 y=50000
把y=50000代入① ，得 x=20000
xy

20000 50000
再议代入消元法
5x2y 500x250y22500000
上面解方程组的过程可以 5 x
解：把①代入② ，得 4x+(3x-9)=12
解得 x=3 把x=3代入① ，得
4x+3x-9=12 y=0
∴原方程组的解是
x 3

y

0
3x y 12
例.3 二元一次方程组4x ay 12的解中 y与x互为相反数，求a的值.
解:由题意得 3xxyy012，
解得 x=5 把x=5代入③，得 y=15
x 5 ∴原方程组的解是 y 15
（3）
x3 y 1 ①
23
5x-2y=-1
②
解：由①，得 3(x+3)=2(y+1) 3x+9=2y+2 3x+7=2y ③
把③代入② ，得 5x-(3x+7)=-1 x=3
把x=3代入③ ，得 y=8
y-2x=0 ①
⑴ x+y=12 ②
解：由①，得 y=2x ③
把③代入②，得 x+2x=12
解得 x=4 把x=4代入③，得 y=8
∴原方程组的解是

x y

4 8
2x-y=-5 ① ⑵
4x+3y=65 ②
解：由①，得 y = 2x + 5 ③
把③代入②，得 4 x+3(2x + 5 )=65
∴原方程组的解是
x 3

y

8
解:令
x3
y 1
=
k，则x=2k-3，③y=3k-1，④
23
把③、④代入②，得5（2k-3）-2（3k-1）=-1
解得 k=3 把k=3代入③、④，得 X=3，y=8
∴原方程组的解是
x 3

y

8
3x-9=2y
①
(4) 4x+2y=12
②
方程叫做二元一次方程。
2：什么是二元一次方程组？ 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,
就组成了一个二元一次方程组。 3：什么是二元一次方程的解？
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,
叫做二元一次方程的解. 4：什么是二元一次方程组的解？
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。
课本P179
1. 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式.
（1）2 x y 3
y2x3
（2）3 x y 1 0 y13x
2.你能把上面两个方程写成用含y的式子表示x的形式?
（1） x 3 y
2
（2）
x 1 y 3
3.如何解这样的方程组
探究
200克
.
10克
⑵
3x +4y=2 ②
解:由①得,y=2x-5③ 把③代入②得,3x+4(2x-5)=2
解得,x=2 把x=2代入③得,y=2×2-5,y=-1
x=2 ∴原方程组的解为 y=-1
细心选一选 反馈检测
下列是用代入法解方程组
3x y 2 3x 11 2y
① ②
的开始
步骤，其中最简单、正确的是（ D ）
（A）由①，得y=3x-2 ③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2)。
（B）由①得
x

y2 3
③，把③代入②，得 3y2112y。
3
（C）由②，得 y 113x ③，把③代入①，得 3x113x 2。
2
2
（D）把②代入 ①，得11-2y-y=2，把(3x看作一个整体)
抢答: 请举手
1．方程-x+4y=-15用含y的代数式表示x为（C ） A．-x=4y-15 B．x=-15+4y C. x=4y+15 D．x=-4y+15
2．将y=-2x-4代入3x-y=5可得（B ） A.3x-（2x+4）=5 B. 3x-（-2x-4）=5
C.3x+2x-4=5
D. 3x-2x+4=5
3.用代入法解方程组 A．先把①变形
代
入
法
解
二
元
一
8.2.1
次
方
程
组
确立目标 自主学习
1、会用代入法解二元一次方程组。 2、初步体会解二元一次方程组的基本思
想——“消元”。 3、通过对方程中未知数特点的观察和分析，
明确解二元一次方程组的主要思路是“消 元”，从而促成未知向已知的转化，培养 观察能力和体会化归的思想。
回顾与思考
1：什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的
m = 1 +2n
1225
所以原方程组的解：
把③代入②得：
m =5
3n –（1 + 2n）= 1
n=2
3n – 1 – 2n = 1
3n-2n = 1+1 n=2
即m 的值是5，n 的值是4.
能力检测
2、如果∣y + 3x - 2∣+∣5x + 2y -2∣= 0，求 x 、y 的值.
解：由题意知, y + 3x – 2 = 0 ① 5x + 2y – 2 = 0 ②
2x+5y=21 x +3y=8
较为简便的方法是（ B
）
B．先把②变形
C．可先把①变形，也可先把②变形
D．把①、②同时变形
巩固提高
1、用代入消元法解下列方程组
y-2x=0 ⑴
x+y=12
2x-y=-5 ⑵
4x+3y=65
x 3 y 1
⑶2
3
5x-2y=-1
3x-9=2y ⑷
4x+2y=12
x 6


y


6
x 6
把

y

6 代入4x+ay=12，
得 a=2.
能力检测
1、若方程5x
1 m-2n+4y
1
3n-m
=
9是关于x、y的二元一次方程，
求m 、n 的值.
解：由题意知, m - 2n = 1 ① 3n – m = 1 ②
由①得：m = 1 +2n ③
把n =2 代入③，得：
简称代入法 。
谈谈思路
例1 解方程组
2y – 3x = 1 ① x=y-1 ②
分析
2 y – 3 (yx-1) = 1
解： 把②代入①得：
2y – 3（y – 1）= 1
x=y-1
2y – 3y + 3 = 1
2y – 3y = 1 - 3
-y=-2
y= 2 把y = 2代入②，得
x=y–1=2–1=1
X － y = 3 ①,
3 x － 8 y = 14 ②. 转化解：由①,得 x = y + 3 .③
以由方个把某程方吗③一必程？方须.代试程代入试转入①看化另？的一可
代入 把③代入②,得 3(y+3)－8y=14.
求解 解这个方程,得 y=－1.
代把 或代简入②y入便=方哪呢可－程一？以1代个③吗方入简？程①单较
x=2
例2 根据市场调查，某种消毒液的 大瓶装（500g）和小瓶装（250g） 两种产品的销售数量（按瓶计算）的
比为 2 :.某5厂每天生产这种消毒液
22.5吨，这些消毒液应该分装大、小 瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
由题意得
5x 2 y
①
500 x

250 y
试试看：
由①，得 －y = 3 － x 由②，得 3x= 8y ＋14
y = x－3
： x=
问题2 请同学们比较转化后方程你有什么发现？
y＋
点拔：灵活选择要表示的未知数，一般选择系数较简单的那
个方程进行转化。
P179 练习2
用代入法解二元一次方程组
⑴ y=2x-3 3x+2y=8
2x- y=5 ⑵
由①得：y = 2 – 3x ③
把x = 2 代入③，得： y= 2 - 3×2
y= -4
把③代入得：
所以原方程组的解：
5x + 2（2 – 3x）- 2 = 0 5x + 4 – 6x – 2 = 0
5x – 6x = 2 - 4 -x = -2
∴ x=2 y = -4
即x 的值是2，y 的值是-4.

2
y=50000 x=20000
50x025y0225代入000消0y 050x0一2解元5得一0x次52方x程2250000
5 用
2
x 代替y，
消去未知数y
解二元一次方程组的基本思想 ——“消元”。
代入消元法的一般步骤
(1)变形：将其中一个方程的某个未知数用含有另一 个未知数的代数式表示（即y=ax+b或x=my+n）
∴方程组的解是
x=1 y=2
说说方法
例2 解方程组
x –y = 3 ① 3x -8 y = 14 ②
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
解：由①得：x = 3+ y ③ 变
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的式子
把③代入②得：
表示另一个未知数；
3（3+y）– 8y= 14 代 2、用这个式子代替另一个方
回代 把y=－1代入③,得 x=2. 写解 所以这个方程组的解是
x = 2,用注的大意书括：写方形号程式括组起解来 y =－1.
x－y=3 3x－8y=14
① ②
说明 ： x－y=3
用y表示x
x = y+3
问题1：（1）对于方程①你
（２）对于方程②你能用含y
能用含x的式子表示y吗？
的式子表示x吗？试试看：
程中相应的未知数，得到一个
9+3y– 8y= 14
一元一次方程，求得一个未知
– 5y= 5
数的值；
y= – 1 求
把y= – 1代入③，得
x = 3+(-1)=2 ∴方程组的解是
x y
=2 = -1
写
3、把这个未知数的值代入上 面的式子，求得另一个未知数 的值；
4、写出方程组的解。
严格书写过程
自学例1，仔细体会代入消元思想的应用
.
探究
用代入法 解二元一次方程组
消元
二元一次方程组
一元一次方程
转化
xy克克10克x克
200克
y克
x克 10克
.
.
y = x + 10
① 转化
x +( x +10) = 200
x + (xy+10) = 200 ②
将未而未∴求知知方由得数数程二这的的组元个式个一二子xxy数+次元表==y由方一示x9=多5+程次出201化0组方来0 少的中程，，解一组再逐是的个代y一解方入=xy解。程另==110决9这，一0555的，。种将个想方一方法的法个程，叫未，求过方叫做知实方程做程数代现程叫消用入消组元组做含消元思解解另元，想一法进。，
3x +4y=2
⑴ y=2x-3 3x-2y=8
① ②
记得检验：把x=2,y=1代入方程①和②得, 看看两个方程的左边 是否都等于右边.
解：把①代入②得,3x- 2(2x-3)= 8
解得,x= 2 把x = 2 代入①得 y=2×2-3,
y= 1 ∴原方程组的解为 x = 2
y=1
2x- y=5 ①
(2)代入：将变形后的方程代入另一个方程中，消去 一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.
(3)求解：解一元一次方程，得一个未知数的值.
(4)回代：将求得的未知数的值代入到变形后的方程
中求出另一个未知数的值.
(5)写解：用

x y

a b
的形式写出方程组的解.
做一做
３、若方程 2x2m33y5n94
y 2x
C B
E
y x 48
x y 48 A
C y 2x 90 D y 2x 90
知识梳理
通过本节课的研究,学习,你有 哪些收获？
基本思路: 二元一次方程组
一般步骤： 变形 代入
消元
转化
求解
一元一次方程
写解
变形技巧：选择系数比较简单的方程进行变形。
布置作业
课本P97 复习巩固 1、2

22500000
②
由①，得
y 5 2
把③代入②，得
x
③ 50x02505x22500000
解得 x=20000
2
把x=20000代入③，得 y=50000
xy

20000 50000
答：这些消毒液应该分装20000大瓶和50000小瓶.
5x2y
①
解：把1①0代入0②5x，得250y225000②00