高三物理—相对运动专题习题

相对运动专题习题
1、甲、乙两辆汽车以相同的恒定速度直线前进，甲车在前，乙车在后，甲车上的人A 和乙车上的人B 各用石子瞄准对方，以相对自身为v 0的初速度 同时水平射击对方，若不考虑石子的竖直下落，则
A ．A 先被击中；
B ．B 先被击中；
C ．两同时被击中；
D ．可以击中B 而不能击中A ；
2、在地面上某一高度处将A 球以初速度v 1水平抛出，同时在A 球正下方地面处将B 球以初速度v 2斜向上抛出，结果两球在空中相遇，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇过程中
A ．A 和
B 初速度的大小关系为 v 1＜ v 2
B ．A 和B 加速度的大小关系为 a A ＞ a B
C ．A 作匀变速运动，B 作变加速运动
D ．A 和B 的速度变化相同
3、火车正以速率v 1向前行驶, 司机突然发现正前方同一轨道上距离为s 处有另一火车, 正以较小的速率 v 2沿同方向做匀速运动, 于是司机立刻使火车做匀减速运动, 要使两列火车不相撞, 加速度a 的大小至少应是多少?
4、如图所示，在光滑的水平地面上长为Ｌ的木板Ｂ的右端放一小物体Ａ，开始时Ａ、Ｂ静止。

同时给予Ａ、Ｂ相同的速率ｖ０，使Ａ向左运动，Ｂ向右运动，已知Ａ、Ｂ相对运动的过程中，Ａ的加速度向右，大小为ａ１，Ｂ的加速度向左，大小为ａ２，ａ２<ａ１，要使Ａ滑到Ｂ的左端时恰好不滑下，ｖ０为多少？
5、从离地面高度为h 处有自由下落的甲物体，同时在它正下方的地面上有乙物体以初速度v 0竖直上抛，要使两物体在空中相碰，则做竖直上抛运动物体的初速度v 0应满足什么条件？（不计空气阻力，两物体均看作质点）.若要乙物体在下落过程中与甲物体相碰，则v 0应满足什么条件？
A
6、质量为m 的物体A ，以速度v 0从平台上滑到与平台等高、质量为M 的静止小车B 上，如图所示.小车B 放在光滑的水平面上，物体A 与B 之间的滑动摩擦因数为μ，将A 视为质点，要使A 不致从小车上滑出，小车B 的长度L 至少应为多少?
7、高为h 的电梯正以加速度a 匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？
8、火车以速度V l 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S 处有另一火车沿同方向以速度V 2（对地、且V 1＞V 2）做匀速运动．司机立即以加速度a 紧急刹车．要使两车不相撞，a 应满足什么条件？
9、如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以s m v s m v B A /20/10==、的初速度抛出A 、B 两个质点，问1s 后A 、B 相距多远？
10、A 、B 两车站每间隔相同时间相向发出一辆汽车，汽车保持相同的速度不变。

在A 、B 之间有一骑自行车者，发现每隔12min 有一辆汽车从后面追上来，每隔4min 有一辆汽车从迎面开来。

问A 、B 两站每隔几分钟发一趟车？
18．如图17-1所示，Ａ、Ｂ是静止在水平地面上完全相同的两块长木板．Ａ的左端和Ｂ的右端相接触．两板的质量皆为M ＝2．0ｋｇ，
长度皆为L ＝1．0ｍ．Ｃ是质量为ｍ＝1．0ｋｇ的小物块．现给它一初速度ｖ0＝2．0ｍ／ｓ，使它从板Ｂ的左端向右滑动．已知地面是光滑的，而Ｃ与板Ａ、Ｂ之间的动摩擦因数皆为μ＝0．10．求最后Ａ、Ｂ、Ｃ各以多大的速度做匀速运动．取重力加速度ｇ＝10ｍ／ｓ２．
解： 先假设小物块Ｃ在木板Ｂ上移动ｘ距离后，停在Ｂ上．这时Ａ、Ｂ、Ｃ三者的速度相等，设为ｖ，由动量守恒得
ｍｖ0＝（ｍ＋2Ｍ）ｖ，
①
在此过程中，木板Ｂ的位
移为ｓ，小物块Ｃ的位移为ｓ
＋ｘ．由功能关系得
－μｍｇ（ｓ＋ｘ）＝（1/2）ｍｖ２－（1/2）ｍｖ02， μｍｇｓ＝2Ｍｖ2／2，
则 －μｍｇｘ＝（1/2）（ｍ＋2Ｍ）ｖ2－（1/2）ｍｖ02，②
由①、②式，得
ｘ＝［ｍｖ02／（2Ｍ＋ｍ）μｇ］， ③
代入数值得 ｘ＝1．6ｍ． ④
ｘ比Ｂ板的长度大．这说明小物块Ｃ不会停在Ｂ板上，而要滑到Ａ板上．设Ｃ刚滑到Ａ板上的速度为ｖ1，此时Ａ、Ｂ板的速度为ｖ2，则由动量守恒得
ｍｖ0＝ｍｖ1＋2Ｍｖ2， ⑤
由功能关系，得（1/2）ｍｖ02－（1/2）ｍｖ1２－2×（1/2）ｍｖ2２
＝μｍｇＬ， 以题给数据代入，得
由ｖ1必是正值，故合理的解是
图17-1
当滑到Ａ之后，Ｂ即以ｖ2＝0．155ｍ／ｓ做匀速运动，而Ｃ是以ｖ1＝1．38ｍ／ｓ的初速在Ａ上向右运动．设在Ａ上移动了ｙ距离后停止在Ａ上，此时Ｃ和Ａ的速度为ｖ3，由动量守恒得Ｍｖ2＋ｍｖ1＝（ｍ＋Ｍ）ｖ3，
解得ｖ3＝0．563ｍ／ｓ．
由功能关系得
1/2）ｍｖ12＋（1/2）ｍｖ22－（1/2）（ｍ＋Ｍ）ｖ32＝μｍｇｙ，
解得ｙ＝0．50ｍ．
ｙ比Ａ板的长度小，所以小物块Ｃ确实是停在Ａ板上．最后Ａ、Ｂ、Ｃ的速度分别为ｖＡ＝ｖ3＝0．563ｍ／ｓ，ｖＢ＝ｖ2＝0．155ｍ／ｓ，ｖＣ＝ｖＡ＝0．563ｍ／ｓ．
评分标准本题的题型是常见的碰撞类型，考查的知识点涉及动量守恒定律与动能关系或动力学和运动学等重点知识的综合，能较好地考查学生对这些重点知识的掌握和灵活运动的熟练程度．题给数据的设置不够合理，使运算较复杂，影响了学生的得分．从评分标准中可以看出，论证占的分值超过本题分值的50%，足见对论证的重视．而大部分学生在解题时恰恰不注重这一点，平时解题时不规范，运算能力差等，都是本题失分的主要原因．
解法探析本题参考答案中的解法较复杂，特别是论证部分，①、②两式之间的两个方程可以省略．下面给出两种较为简捷的论证和解题方法．
解法一从动量守恒与功能关系直接论证求解．设Ｃ刚滑到Ａ板上的速度为ｖ1，此时Ａ、Ｂ板的速度为ｖ2，则由动量守恒，得
ｍｖ０＝ｍｖ1＋2Ｍｖ2，
以系统为对象，由功能关系，得
1/2）ｍｖ02－（1/2）ｍｖ12－2×（1/2）ｍｖ22＝μｍｇＬ，
由于ｖ1只能取正值，以题给数据代入得到合理的解为
由于小物块Ｃ的速度ｖ1大于Ａ、Ｂ板的速度ｖ2，这说明小物块Ｃ不会停在Ｂ板上．
以上过程既是解题的必要部分，又作了论证，比参考答案中的解法简捷．后面部分与参考答案相同，不再缀述．
解法二从相对运动论证，用动量守恒与功能关系求解．
以地面为参照系，小物块Ｃ在Ａ、Ｂ上运动的加速度为ａＣ＝μｇ＝1ｍ／ｓ2，Ａ、Ｂ整体的加速度为ａＡＢ＝μｍｇ／2Ｍ＝0．25ｍ／ｓ2，Ｃ相对Ａ、Ｂ的加速度ａ＝ａＣ＋ａＡＢ＝1．25ｍ／ｓ2．假设Ａ、Ｂ一体运动，以Ａ、Ｂ整体为参照物，当Ｃ滑至与整体相对静止时，根据运动学公式，有ｖ02＝2ａｓ，
解得ｓ＝ｖ02／2ａ＝1．6ｍ＞Ｌ．
说明小物块Ｃ不会停在Ｂ板上．
上述可以看出，从相对运动的角度论证较为简捷，运算也较为简单．论证后的解法与参考答案相同．
试题拓展
1．若长木板个数不变，当小物块的初速度满足什么条件时，Ａ、Ｂ、Ｃ三物体最终的速度相同?
2．若长木板个数不变，当小物块的初速度满足什么条件时，小物块能从两长木板上滑过去?
3．若小物块的初速度不变，将相同的长木板数增加到三个，最终小物块停在木板上的什么位置，各物体的运动速度分别为多少?
4．若其它条件不变，长木板与地面间的动摩擦因数为μ′，并且满足μ′(M＋ｍ)ｇ＜μｍｇ＜μ′（2Ｍ＋ｍ）ｇ，试分析有怎样的情况发生?
5．分析子弹打击在光滑水平面上的两相同木块问题，找出它与本题的异同，归纳解法．
参考答案：
1 C 2、AD 3、(v 1- v 2)2/2s.
4解析：Ａ滑到Ｂ左端恰不滑下即Ａ、Ｂ相对静止，选取Ｂ为参照物，Ａ对Ｂ的初速为２ｖ０，向左，
加速度向右，大小为（ａ２＋ａ１），减速至零，Ａ对Ｂ的位移为Ｌ，则由ｖｔ２－ｖ０２＝２ａｓ得（２
ｖ０）２＝２（ａ１＋ａ２）Ｌ，即()2
210L a a v += 5、解题方法与技巧：（巧选参照物法）
选择乙物体为参照物，则甲物体相对乙物体的初速度:v 甲乙=0-v 0=-v 0
甲物体相对乙物体的加速度a 甲乙=-g -（-g ）=0
由此可知甲物体相对乙物体做竖直向下，速度大小为v 0的匀速直线运动.所以，相遇时间为：t =0
v h 对第一种情况，乙物体做竖直上抛运动，在空中的时间为：0≤t ≤g
v 02 即:0≤0v h ≤g v 02 所以当v 0≥2
gh ,两物体在空中相碰. 对第二种情况，乙物体做竖直上抛运动，下落过程的时间为：g v 0≤t ≤g v 02 即g v 0≤0v h ≤g v 02.所以当 2
gh ≤v 0≤gh 时,乙物体在下落过程中与甲物体相碰.
在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分析讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程,并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;另一种方法是取升降机为参考系,这时螺丝相对升降机作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝运动的路程.
（1）以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程为:
当螺丝落到底面时,有y1=y2,即d 得到t=0.705(s)
（2）螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为:
方法（2）（1）以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小为 a ’=g+a,螺丝落到底面时,有 （2）由于升降机在t 时间内上升的高度为:
m gt t v y h d 716.02
1202=+-=-=20121at t v y +=2
022
1gt t v h y -+=2)(210t g a h +-=s g a h t 705.02=+=2
02
1at t v h +='
6、解法一：力的观点解法二：用“相对运动”求解
平时位移、加速度、速度都是相对地面(以地面为参照物)，本题改为以B 为参照物，运用A 相对于B 的位移、速度和加速度来求解.取向右方向为正，则A 相对B 加速度：a AB =a A -a B =
m mg μ--M mg μ=-μg -
M m μg 由运动学公式得：0２-v ０２=2a AB L L =AB a v 220-=g M
m g v μμ2220---=g
m M Mv μ)(220+ 7、解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2— 27
所示．这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运
动．从示意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：
S 梯一S 钉= h 式中S 梯＝vt 十½at 2，S 钉＝vt －½gt 2 可得t=()a g h +/2
8、相对运动解法：以前车为参照物，刹车后后车相对前车做初速度V 0= V 1－V 2，加速度为a 的匀减速直线运动．当后车相对前车的速度成为零时，若相对位移S /≤S ，则不会相撞．故由 S /= V 02/2a= （V 1－V 2）2/2a ≤S ，得a ≥()S V V 22
12-
9、这道题可以取一个初速度为零，当A 、B 抛出时开始以加速度g 向下运动的参考系。

在这个参考系中，A 、B 二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离
()()4.2251022==+=m t v t v s B A AB m
在空间某一点O ，向三维空间的各个方向以相同的速度v 0射出很多个小球，球ts 之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts 之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。

但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O 点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O 点为球心的球面上，球的半径是v 0t ，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2v 10分析：这一问题的关键在于抓住其 中的不变因素——两车间隔距离， 由于两车速度保持不变，且发车间 隔时间相同，故两车间隔距离始终 保持不变。

[法1]
设汽车速度为Xm/min 如图1，同向行驶时，从自行车被汽车1追上的点C 到被汽车2追上的点D 共用12分钟；此间，车1从C 行到E 。

故两车相距为： 则: m
h h d 716.0='-=
DE ＝CE －CD=12X －12Y
如图2相向行驶时，从自行车遇汽车1的点C 到遇汽车2的点D 共用4分钟；此间，车1从点C 行到点E 。

故两车相距为：
DE ＝CD ＋CE ＝4X ＋4Y 所以：12X －12Y ＝4X ＋4Y
解得：Y ＝2
1X ，代入DE ＝12X －12Y 中，得：DE ＝6X （m ）。

故发车相隔时间为：DE/X ＝6（min ）。

[法2]设汽车速度为Xm/min ，自行车速度为Ym/min ，两车相隔Sm 。

如图1，同向而行时：DE ＝CE －CD ，即S ＝12X －12Y ①
如图2，相向而行时：DE ＝CE ＋CD ，即S ＝4X ＋4Y ②
用①+②×3消去Y 得：4S ＝24X 故发车相隔时间为：S/X ＝6（min ）。