（完整）2010年全国高考数学试题及答案-全国2卷,推荐文档

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2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）
文科数学
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式
(+)()+()P A B P A P B = S=4πR 2
如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径
()()()P A B P A P B ?=? 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34V R 3π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P ()(1)(0,1,2,,)k k n k n n k C p p k n -=-=L
一、选择题
（1）设全集{}
*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B =U e（）（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5
（２）不等式302
x x -<+的解集为（）（Ａ）{}23x x -<< （Ｂ）{}2x x <-
（Ｃ）{}23x x x <->或（Ｄ）{}3x x >
（3）已知2sin 3
α=，则cos(2)πα-= (A) 53- (B) 19- (C) 19
(D) 53 （4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是
(A) 11(0)x y e
x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+> (C) 1
1(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈ (5) 若变量,x y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??≥??+≤?
，则2z x y =+的最大值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4
（6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =
(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35
（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则
（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-=
（C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-
（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，
SA=3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为
（A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ） 34
（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标
号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有
（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种
（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则
CD =
（A ）1
233a b + （B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355
a b + （11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点
（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个
（12）已知椭圆C ：22x a +22
b
y =1(0)a b >>的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k = （A ）1
（B ）2 （C ）3 （D ）2
第Ⅱ卷（非选择题）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）已知α是第二象限的角，1tan 2
α=，则cos α=___________. (14) 91()x x +的展开式中3
x 的系数是__________
(15) 已知抛物线2C 2(0)y px p =>：的准线为l ，过M(1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A,与C 的一个交点为B,若，AM MB =u u u u r u u u r ，则p 等于_________.
（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆Ｍ与圆N 的公共弦，
AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=________________.
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）
△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,5sin 13B =
,3cos 5
ADC ∠=.求AD.
（18）（本小题满分12分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且 1212
112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++. (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设21()n n n
b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，AA 1=AB ，D 为BB 1的中点，E 为AB 1上的一点，AE=3EB 1.
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线AB 1与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB 1与CD 的夹角为45o
,求二面角A 1-AC 1-B 1的大小.
（20）（本小题满分12分）
如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999
（Ⅰ）求p ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率.
（21）（本小题满分12分）
已知函数32
()331f x x ax x =-++
（Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.
（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线l与双曲线C：
22
22
1(0,0)
x y
a b
-=>>相交于B、D两点，且BD
的中点为M(1,3).
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DF BF=17
，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一、选择题
1. C
2. A
3. B
4. D
5. C
6. C
7. A
8. D
9. B
10. B 11. D 12. B
二、填空题
13. 5
- 14. 84 15. 2 16. 3 三、解答题
（17）解：
由3cos 052
ADC B π∠=
><知由已知得124cos ,sin 135B ADC =∠=，从而 sin sin()BAD ADC B ∠=∠-
=sin cos cos sin ADC B ADC B ∠-∠
41235513513
3365=. 由正弦定理得
AD sin sin BD B BAD
=∠, 所以sin AD sin BD B BAD
=∠ 53313==2533
65?. （18）解：
（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有
1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q +=+? ??++=++ ??
化简得21261264.
a q a q ?=??=??，又10a >，故12,1q a ==
所以 12n n a -=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2
21211112424n n n n n n n b a a a a --??=+=++=++ ??
因此 ()()1111
111411414...41 (22442114)
441314n n n n n n n T n n n ----
-??=++++++++=++=-++ ?-??-
（19）解法一：
（Ⅰ）连结1A B ,记1A B 与1AB 的交点为F.因为面11AA BB 为正方形，故11A B AB ⊥，且1AF=FB .又1AE=3EB ，所
以1FE=EB ，又D 为1BB 的中点，故
1DE BF DE AB ⊥∥，.
作CG AB ⊥,G 为垂足，由AC=BC 知，G 为AB 中点.
又由底面ABC ⊥面11AA B B ，得CG ⊥11AA B B .
连结DG ，则1DG AB ∥，故DE DG ⊥,由三垂线定理，得DE CD ⊥.
所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.
（Ⅱ）因为1DG AB ∥，故CDG ∠为异面直线1AB 与CD 的夹角，CDG=45∠o
设AB=2，则1AB 22=，DG=2，CG=2,AC=3.
作111B H A C ⊥,H 为垂足，因为底面11111A B C AA C C ⊥面,故111B H AA C C ⊥面，又作1HK AC ⊥，K 为垂足，连结1B K ,由三垂线定理，得11B K AC ⊥，因此1B KH ∠为二面角111A AC B --的平面角 2211111111112223A B AC A B B H - == 22111133 HC B C B H =-= 221111232(3)7,37
AA HC AC HK AC ?=+==
= 11tan 14B H B KH HK ∠== 所以二面角111A AC B --的大小为arctan 14
解法二：
（Ⅰ）以B 为坐标原点，射线BA 为x 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.
设AB=2，则A （2,0,0,），1B (0,2,0)，D （0,1,0），13E(,,0)22 ，又设 C （1,0,c ）,则()()111DE 0B A=2,-2,0,DC=1,-1,c 22??=
u u u r u u u u r u u u r ，，，. 于是1DE B A=0,DE DC=0u u u r u u u u r u u u r u u u r g g .
故1DE B A DE DC ⊥⊥，,
所以DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线.
（Ⅱ）因为1,B A DC <>u u u r u u u r 等于异面直线1AB 与CD 的
夹角，
故 11cos 45B A DC B A DC =o u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，
即 2222242
c ?+?=，解得 2c =，故AC (,22)=u u u r -1，，
又11AA =BB =(0,2,0)u u u u r u u u u r ，
所以11AC =AC+AA =(1,2-u u u u r u u u r u u u u r ，
设平面11AA C 的法向量为(,,)m x y z =，
则110,0m AC m AA ==u u u u r u u u r g g
即2020x y y -++==且
令x =1,0z y ==，故m =
令平面11AB C 的法向量为(,,)n p q r =
则110,0n AC n B A ==u u u u r u u u r g g ，即20,220p q p q -+=-=
令p =1q r ==-，故1)n =
所以 cos ,
m n m n m n <>==g 由于,m n <>等于二面角111A -AC -B 的平面角，
所以二面角111A -AC -B 的大小为arccos
15
. （20）解：
记1A 表示事件：电流能通过T ,1,2,3,4,i i =
A 表示事件：123T T T ，，中至少有一个能通过电流，
B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过，（Ⅰ）123123A A A A A A A =g g ，，，相互独立， 3123123P()()()()()(1)A P A A A P A P A P A p ===-g
g , 又 P()1P(A)=10.9990.001A =--=，
故 3(1)0.0010.9p p -==，，（Ⅱ）44134123B A +A A A +A A A A =g g g g g ，
44134123P(B)P(A +A A A +A A A A )=g g g g g
44134123P(A )+P(A A A )+P(A A A A )=g g g g g
44134123P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )= =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9
=0.9891
（21）解：
（Ⅰ）当a=2时，32()631,()3(22f x x x x f x x x '=-++=--
当(,2x ∈-∞时()0,()f x f x '>在(,2-∞单调增加；
当(22x ∈+时()0,()f x f x '<在(22单调减少；
当(2)x ∈+∞时()0,()f x f x '>在(2)++∞单调增加；
综上所述，()f x 的单调递增区间是(,2-∞-和(2)+∞，
()f x 的单调递减区间是(22
（Ⅱ）22()3[()1]f x x a a '=-++，
当2
10a -≥时，()0,()f x f x '≥为增函数，故()f x 无极值点；
当210a -<时，()0f x '=有两个根
12x a x a ==
由题意知，23,23a a <<<或①式无解，②式的解为5543
a <<，因此a 的取值范围是5543?? ???
，.
（22）解：
（Ⅰ）由题设知，l 的方程为：2y x =+，
代入C 的方程，并化简，得2222222()440b a x a x a a b ----=，设 1122B(,)(,)x y D x y 、，
则2222
1212222244,a a a b x x x x b a b a ++==--- ① 由(1,3)M 为BD 的中点知1212
x x +=，故2221412a b a ?=- 即223b a =，② 故222c a b a =+=
所以C 的离心率2c e a
== （Ⅱ）由①②知，C 的方程为：22233x y a -=，
2
121243(,0),(2,0),2,02
a A a F a x x x x ++==< 故不妨设12,x a x a ≤-≥，
2222211111BF =(2)(2)332x a y x a x a a x -+=-+-=-，
2222222222FD =(2)(2)332x a y x a x a x a -+=-+-=-，
22121212BF FD (2)(2)=42()548a x x a x x a x x a a a =---++-=++g . 又 BF FD 17=g ，
故 254817a a ++=，
解得1a =，或95
a =-（舍去），故2121212BD =22()46x x x x x x -=+-=g ，连结MA ，则由A(1,0)，M(1,3)知MA 3=，从而MA=MB=MD ,且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切，所以过A 、
B 、D 三点的圆与x 轴相切.。