2014年高考文科数学安徽卷-答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（文科）答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题 1.【答案】D 【解析】32i
i i i(1i)11i
+
=-+-=+ 【提示】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得结果. 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】C
【解析】命题的否定是否定结论，同时把量词做对应改变，所以选C. 【提示】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论. 【考点】命题的否定 3.【答案】A 【解析】2
14
y x =
的标准方程为24x y =，所以选择A . 【提示】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【考点】抛物线的简单性质 4.【答案】B
【解析】执行程序框图易得1x =，1y =，2z =；1x =，2y =，3z =；2x =，3y =，5z =；L L ，当
21x =，34y =，55z =跳出循环.
【提示】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z 的值. 【考点】程序框图，程序框图的三种基本逻辑结构的应用 5.【答案】B
【解析】因为32log 71a >=>， 1.122b =>， 3.10.81c =<，所以c a b <<. 【提示】分别讨论a b c ，，的取值范围，即可比较大小. 【考点】对数值大小的比较 6.【答案】D
【解析】设直线l 的倾斜角为θ，数形结合可知min max ππ0263
θθ==⨯
=，. 【提示】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得
1≤，由此求得斜率k 的范围，可得倾斜角的范围.
【考点】直线与圆的位置关系 7.【答案】C
【解析】π()24f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移ϕ个单位后，所得图像为
π
224y x ϕ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
，又因为偶函数，所以π3π28k ϕ=+，所以选C .
【提示】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y 轴对称，根据对称轴方程求出ϕ的最小值.
【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换 8.【答案】A
【解析】该几何体是由棱长为2的正方体从右后和左下分别截取一个小三棱锥所得到的，所以其体积为
1123
82323
V =-⨯⨯=.
【提示】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积. 【考点】由三视图求面积、体积 9.【答案】D
【解析】依几何性质得，当2a
x =-
时，()f x 取得最小值，13222a a a x f ⎛⎫
=-
-=-+= ⎪⎝⎭
，解得4a =-或8.
故选D.
【提示】分类讨论，利用()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，建立方程，即可求出实数a 的值. 【考点】带绝对值的函数，函数最值的应用 10.【答案】B
【解析】设11223344+++g g g g x y x y x y x y ，若S 的表达式中有0个g
a b ，则2222S =+a b ，记为1S ；若S 的表达式中有2个g
a b ，则2S =22a +b +ab ，记为2S ；若S 的表达式中有4个g a b ，则4S =g a b ，记为3S ，所以22132240S S -=+->a b ab .同理，12230,0S S S S ->->，所以22
min 48||cos 4||S ===θab a a ，即
1
cos 2
θ=，所以选B.
【提示】两组向量1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y ，均由2个a 和2个b 排列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论.
【考点】数量积表示两个向量的夹角
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】
278 【解析】原式=3
4
4
325427log 3458
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【提示】直接利用分数指数幂的运算法则，对数的运算法则求解即可. 【考点】对数的运算性质 12.【答案】
14
【解析】直接递推归纳，等腰直角三角形ABC 中，
斜边BC =所以，
12AB BC a ===
，12AA a ==，1231A A a ==，⋅⋅⋅
，6
56711
24A A a a ⎛==⨯=
⎝⎭
【提示】根据条件确定数列{}n a 是等比数列，即可得到结论. 【考点】归纳推理 13.【答案】4
【解析】作出不等式组所表示的平面区域，易得()1
22242
ABC S =
⨯⨯+=△ 【提示】由不等式组作出平面区域为三角形ABC 及其内部，联立方程组求出B 的坐标，由两点间的距离公式求出BC 的长度，由点到直线的距离公式求出A 到BC 边所在直线的距离，代入三角形面积公式得到答案. 【考点】二元一次不等式（组）与平面区域 14.【答案】
5
16
【解析】由于函数()f x 是周期为4的奇函数，所以
2941373π52424sin 464616616f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛
⎫+=⨯-+
⨯-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
【提示】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可. 【考点】函数的值 15.【答案】①③④.
【解析】对于①，2
03|=0x y x y =''=，，所以:0l y =是曲线3
:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线
3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，所以正确.对于②，因为1|=0x y =-'，所以不是曲线2
:(1)
C y x =+
在点(1,0)P -处的切线，所以②错误.对于③④与①同理，易得正确.对于⑤，1
y x
'=，11x y ='=，所以曲线C 在点(1,0)P 处切线为:l y x =，又由()1ln (0)h x x x x =-->可得11
()1x h x x x
-'=-=，所以min ()(1)0h x h ==，
故1ln x x -≥，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的下侧，⑤错误.
【提示】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足曲线方程，则正确的选项可求. 【考点】命题的真假判断与应用，曲线与方程 三、解答题
16.
【答案】由三角形面积公式，得1
31sin 2
A ⨯⨯g
，故sin A =. ∵22sin cos 1A A +=
，∴1cos 3
A ===±. 当1
cos 3
A =
时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=
，∴a =.
当1
cos 3
A =-时，根据解三角形中的余弦定理容易写出以下式子，
2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，∴a =
【提示】利用三角形的面积公式，求出sin A =cos A ，利用余弦定理求出a 的值. 【考点】余弦定理的应用 17.【答案】（Ⅰ）4500
3009015000
⨯
=， ∴应收集90位女生的样本数据.
（Ⅱ）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，
∴该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.
又∵样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，
结合联表可算得2
300(2250)100 4.762 3.841752252109021
K ⨯==≈>⨯⨯⨯.
∴有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
【提示】（Ⅰ）根据15000人，其中男生10500人，女生4500人，可得应收集多少位女生的样本数据； （Ⅱ）由频率分布直方图可得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，即可求出该校学生每周平均体育运动时间超过
4小时的概率；
（Ⅲ）写出44⨯列联表，求出2K ，与临界值比较，即可得出结论. 【考点】独立性检验，频率分布直方图 18.【答案】（Ⅰ）由已知可得
111n n a a n n +=++，即111n n a a
n n
+-=+. ∴n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以111a =为首相，1为公差的等差数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1(1)1n
a n n n
=+-=g ，∴2n a n =.从而3n n b n =g
. 1231323333n n S n =++++g g g L g ，① 23131323(1)33n n n S n n +=+++-+g g L g g .②
①－②得：11
2
1
1
3(13)(12)3323333
3132
n n n
n n n n S n n +++----=+++-=-=
-g g L g g . ∴1(21)33
4
n n n S +-+=
g . 【提示】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得
111n n
a a n n
+=++，由等差数列的定义得证. （Ⅱ）由（Ⅰ）求出3n n b n =g
，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S . 【考点】数列的求和，等比关系的确定
19.【答案】（Ⅰ）∵BC GEFH BC PBC ⊂∥平面，平面，且平面PBC GEFH GH =I 平面， ∴GH BC ∥.同理可证EF BC ∥. 因此GH EF ∥.
（Ⅱ）连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . ∵PA PC =，O 是AC 的中点， ∴PO AC ⊥，同理可得PO BD ⊥.
又BD AC O =I ，且AC BD ，都在底面内，
∴PO ⊥底面ABCD .
又∵平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ， ∴PO ∥平面GEFH .
∵平面PBD I 平面GEFH GK =，
∴PO GK ∥，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK EF ⊥.
∴GK 是梯形GEFH 的高.由82AB EB ==，得::1:4AB EB KB DB ==，
∴1142KB DB OB =
=，即K 为OB 的中点.再由PO GK ∥得1
2
GK PO =， 即G 是PB 的中点，且1
42
GH BC ==，
由已知可得6OB PO ====， ∴3GK =.
故四边形GEFH 的面积48
31822
GH EF S GK ++=
=⨯=g . 【提示】（Ⅰ）证明GH EF ∥，只需证明EF PBC ∥平面，只需证明EF BC ∥，利用BC GEFH ∥平面即可； （Ⅱ）求出四边形GEFH 的上底、下底及高，即可求出面积. 【考点】直线与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积
20.【答案】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2
()123f x a x x '=+--.
令()0f x '=，得1212x x x x =
<. ∴12()3()()f x x x x x '=---.
当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>.
∴()f x 在⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在1x ⎛= ⎝⎭
内单调递增.
（Ⅱ）∵0a >，∴1200x x <>，.
当4a ≥时，21x ≥.由（Ⅰ）知，()f x 在[0,1]上单调递增.
∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值.当04a <<时，21x <.
由（Ⅰ）知，()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减.∴()f x 在2x x ==.
又(0)1f =，(1)f a =，∴当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值；当1a =时，()f x 在0x =处和1x =处同时取得最小值；当14a <<时，()f x 在0x =处取得最小值. 【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0,1]时的单调性，得出取最值时的x 的取值.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调 21.【答案】（Ⅰ）由11||3||AF F B =，||4AB =得：1||3AF =，1||1F B =，
∵三角形的周长为16，∴由椭圆定义可得：21||2||835
AF a AF =-=-=
（Ⅱ）设1||F B k =，则0k >且1||3AF k =，||4AB k =，2||23AF a k =-，2||2BF a k =-.
2ABF △中，由余弦定理可得22222222||||||2||||cos AB AF BF AF BF AF B =+-∠g ，
即2226
(4)(23)(2)(23)(2)5
k a k a k a k a k =-+----g
，()(3)0a k a k +-=，0a k +>，故3a k =..于是有21||3||AF k AF ==，2||5BF k =，22222||||||BF AF AB =+，12F A F A ⊥，故12AF F △为等腰直角三角形.从而
2c =
，∴椭圆E 的离心率2c e a ==
.
【提示】（Ⅰ）利用||4AB =，2ABF △周长为16，11||3||AF F B =，结合椭圆的定义，即可求2||AF ； （Ⅱ）设1||F B k =，0k >，则1||3AF k =，||4AB k =，由23
cos 5
AF B ∠=，利用余弦定理，可得3a k =，从而12AF F △是等腰直角三角形，即可求椭圆E 的离心率. 【考点】椭圆的简单性质，三角形的面积公式。