第2章 线性控制系统的运动分析(合肥工业大学 现代控制理论-王孝武)

2
（3）
将（3）式代入（2）式
b1 2b2t 3b3t kbk t
2
k 1

a(b0 b1t b2t bk t )
2 k
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0 1 1 2 b2 ab1 a b0 2 2! 1 1 k bk abk 1 a b0 k k!
（13）
a0 (t ) I a1 (t ) A a2 (t ) A2 an1 (t ) An1
i 0， 1 ， , (n 1)为待定系数。 ai (t ) 的计算方法为： 其中， ai (t )，
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
（12）
An1 A An an1 An a2 A3 a1 A2 - a0 A
将（11）式代入（12）式，不断地进行下去，可以看出： 都是 An1 、An2 、 、A 、I 的线性组合 A n 、 An 1 、 A n 2 、
(t ) e
At
1 2 2 1 k k 1 At A t A t 2! k!
0 1 x1 1 x x 2 3 x2 2
0 x(0) 1
求齐次状态方程的解。
e At I At 1 2 2 1 A t Ak t k 2! k!
2 3
1 10 1 2 1 0 1 3 1 0 0 t t 2 3 2! 2 3 2 3 t ... 0 1 3 !
3 2 7 3 2 3 1 t t ... t t t ... 2 6 7 3 7 2 5 3 2 2t 3t t ... 1 3t t t ... 3 2 2
x(t ) eAt x(0)
3 2 7 3 2 3 2 3 1 t t ... t t t ... 1 t t ... 1 2 6 7 3 2 7 7 5 2t 3t t ... 2t 3t 2 t 3 ... 1 3t t 2 t 3 ... 0 3 3 2 2
λ12 λ1n 1 a0 (t ) 2 n 1 a ( t ) λ2 λ2 1 2 n 1 λn λn an 1 (t )
（14）
a0 (t ) 1 λ1 a (t ) 1 1 λ2 an 1 (t ) 1 λn
2.2 状态转移矩阵
线性定常系统齐次状态方程的解为
x(t ) e A(t t0 ) x(t0 ) 或 x(t ) e A(t ) x(0)
其几何意义是：系统从初始状态 x (t0 ) 开始，随着时间的推移， A ( t1 t0 ) e 由 转移到 x (t1 ) ，再由 e A(t2 t1 )转移到 x (t 2 ) ，…… 。
则 x(t ) e A(t t0 ) x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
(t ) x
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
用凯-哈定理计算其状态转移矩阵 (t )
解
Δ( λ) detλI A λ( λ 3) 2 ( λ 1)(λ 2) 0
λ1 1
λ2 2
1 λ1t 1
a0 (t ) 1 λ1 e 1 1 e t a (t ) 1 λ λ2t 1 2 2t e 2 e 1 2 1 e t 2 e t e 2t 2 t t 2 t 1 1 e e e
x (t ) 的形态完全由 e A(t t0 ) 决定。
2.2.1 1） 2） 状态转移矩阵的基本性质
d At e A e At e At A dt
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 2 Δ( λ) det λ 9λ 0 2 λ 6
e
A ( t t 0 )
又称为状态转移矩阵，记作 (t t0 )
x (t ) 是由初始状态 x (t0 ) 激励的。因此，这 由于系统没有输入向量， x (t ) 的形态由 e A(t t0 ) 决定，即是由矩阵A 时的运动称为自由运动。
惟一决定的。
例2-1 线性定常系统齐次状态方程为
b1 2b2t 3b3t 2 kbk t k 1
A(b0 b1t b2t 2 bk t k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有 b1 Ab0 1 1 2 b 2 Ab1 A b 0 2 2! 而 b0 x(0) 1 1 b k Abk 1 A k b 0 k k! 则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为
λ λ
2 1 2 2

2 λn
λ n 1 λn λ
n 1 1 1 n 1 2
e λ1t λ2t e λnt e
（15）
例2-3
线性定常系统的齐次状态方程为
1 0 1 x1 x x x 2 3 2 2
而 b0 x(0)
则解为 x(t ) (1 at 因为
1 2 2 1 a t a k t k ) x(0) e at x(0) 2! k!
1 2 2 1 a t akt k 2! k!
（4）
e at 1 at
模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程 （1）的解为 （5） x b0 b1t b2t 2 b3t 3 bk t k 将（5）式代入（1）式
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
AB BA 时，有 e At e Bt e( A B )t
e
e
A ( t 2 t 0 )
At Bt ( A B ) t e e e 如果 时，则
这个性质表明，只有当A和B是可交换的，它们各自的状态 转移矩阵之积与其（A+B）的状态转移矩阵才相等。这与 标量指数函数的性质是不同的。
2.2.2
状态转移矩阵的求法
方法1
根据定义，计算
At
(t )
（9）
(t ) e
方法2
1 2 2 1 k k I At A t A t 2! k!
应用拉普拉斯变换法，计算 (t )
Ax x
对上式求拉普拉斯变换，得
sx(s) x(0) Ax (s)
如果 [ sI A]为非奇异
[ sI A] x ( s) x (0)
1
x(s) [sI A]1 x(0) [sI A]1 x(0)
（10）
x (t ) L
2
100
（11）
2 由凯-哈定理：A 9 A 0
100
A 9A A3 9 A2 92 A
,,
A100 999 A
3 9 所以 2 6
3 9 9 2 6
99
n n 1 An2 、 （11）式表明： A 是 A 、
、 A 、 I 的线性组合
t 2t 2 e e (t ) e At L 1[ sI A]1 t 2t 2 e 2 e
e t e 2t t 2t e 2e
方法3 应用凯莱-哈密顿定理，计算 (t ) 凯莱-哈密顿定理：n n 矩阵 A 满足自身的特征方程。 Δ(λ) det[λI A] λn an1λn1 a2 λ2 a1λ a0 0 λn an1λn1 a2 λ2 a1λ a0 即
1 2 2 1 k k x (t ) (1 At A t A t ) x (0) 2! k! 记作 1 2 2 1 k k At e 1 At A t A t 2! k! At 则 x(t ) e x(0)
（6）
（7）Leabharlann 如果 t0 01
{[sI A]1 x(0)} L
1
由微分方程解的唯一性
(t ) e At L
[sI A]1
例2-2
线性定常系统的齐次状态方程为
1 0 1 x1 x x x 2 3 2 2
求其状态转移矩阵 (t ) e At 1 s 1 s 3 1 1 解 [ sI A]1 2 s 2 s 3 ( s 1 )( s 2 ) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 2 2 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 于是
第2章 线性控制系统的运动分析
本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的 状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只 要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的 性能。
本章内容为 1 线性定常系统齐次状态方程的解 2 状态转移矩阵 3 线性定常系统非齐次状态方程的解 4 线性时变系统的运动分析
5 线性系统的脉冲响应矩阵
2.1
线性定常系统齐次状态方程的解
(t ) Ax (t ) x
（1）
线性定常系统齐次状态方程为 这时系统的输入为零 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法
ax x
假设其解为一幂级数
（2）
3 k
x b0 b1t b2t b3t bk t