1 第一章 大气运动的基本方程组

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进一步有：
lim 1 d (δτ ) = 1 ∂u + 1 ∂v + ∂w + 2w − v tgϕ δτ →0 δτ dt r cosϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r r r
1 lim
δτ →0 δτ
d (δτ )
dt
=
1
r cosϕ
∂u
∂λ
+
1
r cosϕ
∂(v cosϕ ) ∂ϕ
+ ∂(wr 2 ) r 2∂r
∂x
故有
[ ] G G
di = u ∂i = u
G
G
j sinϕ − k cosϕ
dt ∂x r cosϕ
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GG G G
G
确定
dj = ∂j + u ∂j + v ∂j + w ∂j dt ∂t ∂x ∂y ∂z
GG
而
∂j =∂j =0 ∂t ∂z
G
G
G
则有
dj = u ∂j + v ∂j dt ∂x ∂y
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由图, 相似三角形, 有： 大小: 方向：
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由图, 相似三角形, 有：
G dj
=
u
G ∂j
+v
G ∂j
=
− utgϕ
G i
−
v
G k
dt ∂x ∂y
rr
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
做类似分析， 可得
G dk
=
u
G i
+
v
G j
dt r r
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气压梯度力：
G
G
G
G
F = Fλ i + Fϕ j + Fr k
球坐标系下的运动方程：
du dt
−
uvtg ϕ
r
+
uw r
=
−
1
ρ
∂p
r cos ϕ∂λ
+
fv
−
~fw +
Fλ
dv dt
+
u 2tgϕ
r
+
vw r
=
−
1
ρ
∂p
r∂ϕ
−
fu
+
Fϕ
dw dt
−
u2
+ v2 r
=
−
1
ρ
∂p ∂r
−g
+
~fu + +Fr
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G
加速度项
dV dt
的处理：
G 注意：i
GG j k 随时间变化。
( ) G
dV = d
GG G ui + vj + wk
dt
=
dt du
G i
+
dv
G j
+
dw
G k
+
u
G di
+
v
G dj
+
w
G dk
dt dt dt
dt dt dt
关键在于确定：
[ ] G
di = u
G
G
j sinϕ − k cosϕ
第一章 大气运动的基本方程组
1、旋转坐标系中的基本方程组 2、球坐标、局地直角坐标、P坐标系下的方程组 3、б坐标系下的基本方程组 4、涡度、散度方程的简化及数值模式分类
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大气运动的基本方程组
大气运动遵循基本的物理规律：描写其动力 和热力状态的变化，并支配其动力和热力状态 的变化。
− 1 ∇p = − 1
∂p
G i
−
1
∂p
G j
−
1
∂p
G k
ρ
ρ r cos ϕ∂λ ρ r∂ϕ ρ ∂r
( ) G G G
G
G
科氏力：− 2ΩΛV Ω = Ω cos ϕj + sin ϕk
G GG i − 2ΩΛV = − 0
u
G j
2Ω cosϕ
v
G k
2Ω sinϕ
w
−
GG 2ΩΛV
=
2Ω(v
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六、教学内容及其初步安排
第一章 大气运动基本方程组 第二章 地图投影坐标系中的基本方程组 第三章 数值计算方法 第四章 正压原始方程模式 第五章 斜压原始方程模式 第六章 初始条件与边界条件简介 第七章 模式的物理过程参数化简介 实习： 正压原始方程模式编程、上机实习。
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运动方程:
G dV dt
=− 1
ρ
GGG G ∇p − 2ΩΛV + g + F
气压梯度力, 科氏力, 重力, 摩擦力
摩擦力：
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2、连续方程
大气运动的连续方程表明了大气运动和大 气质量分布的关系（质量守恒）。
d
ρ
+
ρ
∇
G ⋅V
=
0
（散度）
dt
( ) ∂
ρ
+∇⋅
G
ρV
=0
（质量散度）
sin ϕ
−
w
cosϕ )iG
−
G
2Ωu sin ϕj
+
2Ωu
G
cosϕk
( ) G G
− 2ΩΛV =
fv
−
~fw
G i
−
G fuj
+
~fukG
其中： f = 2Ω sinϕ, ~f = 2Ω cosϕ
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G dV dt
=
⎡ du ⎢⎣ dt
−
uvtgϕ
r
+
uw r
⎥⎦⎤iG
+
⎡ dv
球坐标系下速度分量：u
=
r
cosϕ
dλ
dt
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v = r dϕ
dt
w = dr dt
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个别变化项 d d t 的处理：
=
∂f
G + V ⋅∇ f
∂t
u = r cosϕ dλ v = r dϕ w = dr
dt
dt
dt
其中
∇=
1
∂
G i
+
1
∂
G j+
∂
G k
r cosϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r
《数值天气预报》
南京信息工程大学 大气科学学院
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2004年7月10日北京特大暴雨个例
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第0章 引 言
一、概 述
● 数值预报的基本情况 数值天气预报是气象科学近50年来迅速发展起
来的一个重要分支，在当今的大气科学研究中占有 十分重要的位置。
现在的天气预报绝大部分是用数值预报做出的.
球坐标与局地直角坐标自变量存在如下关系：
δ x = a cosϕδ λ δ y = aδ ϕ δ z =δr
2、数值预报的发展 ●科学基础：
(1）大气探测技术的发展－－更丰富、更准确资料； （2）计算科学（尤其是计算机技术）及计算数学的发展；
●动力气象学及天气学理论的发展
动力气象---发展、演变规律---严谨的数学问题； 已知状态---未知状态。
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● 挪威气象学家Bjerknes(1904)--数值预报思想； ●英国数学家Richardson(1916-1918)--数值预报尝试；
dρ
+
ρ∇
G ⋅V
=
0
dt
dρ
dt
+
ρ
⎡ ⎢ ⎣
r
1
cosϕ
∂u
∂λ
+
1
r cosϕ
∂(v cosϕ ) ∂ϕ
+
∂(wr 2 ) ⎤
r 2∂r
⎥ ⎦
=
0
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3、薄层近似及简化的大气运动方程组
大气运动的薄层性质决定了：
r=a+z≅a ⇒
δ x ≅ a cos ϕδλ δ y ≅ a δϕ δ z = δ r
Fλ
dv dt
+
u 2tgϕ
a
=
−
1
ρ
∂p
a∂ϕ
−
fu
+
Fϕ
dw dt
=
−
1
ρ
∂p ∂z
−
g
+
Fr
dρ
dt
+
ρ ⎜⎜⎝⎛
a
∂u
cosϕ∂λ
+
∂v
a∂ϕ
+
∂w ∂z
−
v a
tgϕ
⎟⎟⎠⎞
=
0
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三、局地直角坐标系下的大气运动方程组
球坐标系下的大气运动方程形式复杂，对于非全球范围 的大气运动，通常采用局地直角坐标系。局地直角坐标系是 球坐标系的简化形式，它保持了球坐标的框架，但忽略了球 面曲率的影响。以下将根据球坐标系下的大气运动方程导出 局地直角坐标系下的大气运动方程组。
忽略分子粘性
利用状态方程
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位温: 非绝热加热项
非绝热加热（辐射、感热、潜热）； 短波及长波辐射引起的加热； 水汽相变引起的潜热加热； 湍流及对流运动对热量的输送；
绝热情况下：
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5、水汽方程 水汽质量守恒：
水汽源汇项S：单位时间单位体积内水汽源提供 (或损耗)的水汽质量。
数值模式过滤模式原始方程模式涡度散度方程其他方程方程简化准地转近似或无辐散近似重力惯性波原始形式的水平方程其他方程nimnuistb非地转模式无辐散近似a准地转模式准地转近似a1准地转正压模式v0d0a2准地转斜压模式v1d0热力b1线性平衡模式v2d1b2非线性平衡模式v3d2nimnuist斜压原始方程模式考虑热力过程多层正压原始方程模式一层原始方程模式nimnuist小结方程的垂直坐标变换模式的基本方程组球坐标局地直角坐标涡度散度方程的简化模式的分类
物理定律
特定的数学表现形式
● 牛顿第二定律 ● 质量守恒定律 ● 能量守恒定律 ● 气体试验定律 ● 水汽守恒定律
运动方程 连续方程 热力学方程 状态方程 水汽方程
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大气运动方程组
一、相对坐标系下大气运动的基本方程组
1、运动方程
GG 牛顿第二定理： f = ma
物体受力与其运动状态变化的基本关系。
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● 数值预报的产生和发展
众所周知，大气运动遵循一定的物理规律，受流体力学 及热力学的规律支配。然而，由于描述大气运动的大气运动方 程组是非常复杂的，而且是高度非线性的。因此，很难得到大 气运动方程组的解析解(精确解)，而数值计算的方法则为大气 运动方程组的求解提供了一个新的途径。近年来，这一研究领 域逐渐发展成了大气科学研究中的一个重要学科，这就是数值 天气预报。
∂t
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3、状态方程 大气的动力学过程与热力学过程是相互联
系、相互制约的，状态方程表征大气热力状态 参数:气压、温度和密度之间的基本关系。
干空气： 湿空气：
通用形式：
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4、热力学方程 热力学方程是热力学第一定律（能量守恒
定律）在大气运动中的应用，反映了大气系 统状态的改变与热量交换之间的关系。
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三、数值模式的广泛应用
数值预报的应用日益广泛，被大量应用于气象预 报、气候预测和研究、环境变化和预测研究等领域； 同时，数值预报和模拟水平有了大幅度的提高。
●气候数值模拟、气候预测及气候变化研究 ●（中期、短期）天气预报 ●中小尺度数值模拟
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四、数值模式的历史、现状和未来
● 数值天气预报的定义
数值天气预报：就是给定初始和边界条件，通过数值方 法求解大气运动方程组，从已知初始时刻的大气状态预报出未 来时刻的大气状态。
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二、数值预报的发展背景和发展简史
1、传统方法的预报
● 天气学方法 (19世纪中叶至20世纪）：外推法 ● 统计学方法： 找相关因子
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●现有的数值模式
● AGCM ● OGCM ●气候模式 ●气候系统模式(CSM) ●中尺度模式 ●小尺度模式 ●业务预报模式
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数值模式发展的历史
数值天气预报模式 大气环流模式
海气耦合模式
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五、学习数值天气预报的主要目的
● 目 的： ①掌握地图投影的基本知识; ②掌握数值计算方法的基本原理及计算技术; ③掌握制作数值天气预报的基本思路及方法。
G dj
=
−
utgϕ
G i
−
v
G k
dt r cosϕ
dt
rr
G dk
=
u
G i
+
v
G j
dt r r
G dV dt
=
⎡ du ⎢⎣ dt
−
uvtgϕ
r
+
uw r
⎥⎦⎤iG
+
⎡ dv
⎢ ⎣
dt
+
u2tgϕ
r
+
vw r
⎤ ⎥ ⎦
G j
+
⎡ dw
⎢ ⎣
dt
−
u2
+ v2 r
⎤G ⎥k ⎦
NIM NUIST
⎢ ⎣
dt
+
u 2tgϕ
r
+
vw ⎤
r
⎥ ⎦
G j
+
⎡ dw
⎢ ⎣
dt
−
u2
+ v2 r
⎤G ⎥k ⎦
− 1 ∇p = − 1
∂p
G i
−
1
∂p
G j
−
1
∂p
G k
ρ
ρ r cosϕ∂λ ρ r∂ϕ ρ ∂r
G
G
g = −gk
( ) G G
− 2ΩΛV =
fv
−
~fw
G i
−
fu
G j
+
~fu
G k
确定
GG di = ∂i +
u
G
G
G
∂i + v ∂i + w ∂i
dt ∂t r cos ϕ ∂λ r ∂ϕ ∂r
据 δ x = r cos ϕδ λ
δ y = rδϕ
δ z =δr
而
因此
G
G
di = u ∂i
dt
∂x
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G ∂i
G
G
的方向是指向地轴的，该方向的单位矢量为 sin ϕj − cosϕk
矢量形式的方程组 球坐标下的具 体表达形式？
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1、运动方程
速度的定义：VG
=
G ui
+
G vj
+
G wk
令δx 、δy 分别表示沿纬圈、经圈方向的微小 位移，δz 为铅直方向的微小位移：