36750_《二项式定理》教案1(人教A版选修2-3)

1.3二项式定理
学习目标：
1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；
3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力 学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
1．二项式定理及其特例： （1）0
1
()()n
n
n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈，
（2）1
(1)1n
r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r
n r
r r n T C a
b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1 二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数
表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n C 可以看成以
r 为自变量的函数()f r
定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m
n m
n n C C -=）．
直线2
n
r
=
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n
n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=⋅
， ∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112
n k n k k -++>⇔<
， 当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最
大值；
当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，12n n
C
+取得最大值．
（3）各二项式系数和： ∵1
(1)1n
r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则0
12
2n
r n
n n n n n C C C C C =+++++
+
三、讲解范例：
例1．在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明：在展开式0
1
()()n
n
n
r n r r
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++
++
+∈中，令
1,1a b ==-，则0123
(11)(1)n n n
n
n n n n C C C C C -=-+-++-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴0
2
13n n n n C C C C ++
=++
，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知02
13
12n n n n n C C C C -++=++
=.
例2．已知7
2
70127(12)x a a x a x a x -=++++，求：
（1）127a a a ++
+；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a ++
+.
解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
∴0127a a a a +++
+1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，
（2）令1x =，0127a a a a +++
+1=-①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②
①-②得：7
13572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+②得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
例3.求(1+x)+(1+x)2
+…+(1+x)10
展开式中x 3
的系数
解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++）（
=x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
11C 例4.在(x 2
+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数 解：∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5
展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=，
在(2+x)5展开式中，常数项为25
=32，含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n
2
)x 2x (-
的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意2
n 4
n 2
n 4
n C 14C 33:14C :C =⇒=
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项，又2
r 510r 10r r 2r
10r 10
1r x C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=⇒=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
四、课堂练习：
（1）()20
25x y -的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；
（2）1)n
x
的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为． （3）0
n C +1
2n C +2
4n C +
+2n n n C 729=，则123
n
n n n n C C C C +++
+=（）
A ．63 B.64 C.31 D.32
（4）已知：5025001250(2)a a x a x a x =+++
+，
求：2202501349()()a a a a a a ++
+-++
+的值
答案：（1）20
2，20
3，11； （2）
展开式中只有第六项的二项式系数最大，
∴10n =，3
734
101()T C x
==；
（3）A ．
五、小结：1．性质1是组合数公式r
n r
n n
C C -=的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系
数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；
2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：
求6
0.998的近似值，使误差小于0.001．
解：66011
666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-+
+-，
展开式中第三项为2
2
60.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴6
6
1
1
660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=， 一般地当a 较小时(1)1n
a na +≈+。