第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义
●在有些情况下，并不需要知道特征值问题的全部 解，而只要估算系统的固有频率，特别是求出基频就足 够了，这种估算可以用瑞利商法来实现。 设r和u(r)(r=1,2,…,n)为特征值问题的全部解，即满 足 r r 2 r Mu Ku , λr r (r 1,2,, n) (5.5-1)
●前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的 属性，而是由坐标系的选择所决定的。
●借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可 以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程， 这就是振型叠加法的长处。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
解方程 (5.4-1)的特征值问题，求得系统的振型矩阵 u，取u为坐标变换矩阵，可以将方程(5.4-1)解耦。令 q t uξ t (5.4-2) 称(t)为固有坐标向量。 将式(5.4-2)代入方程(5.5-1)后，得 用uT左乘方程两边，得
Kq 0 Mq
k 2 2k k k2 k3 k 2k
式中
k1 k2 m1 0 m 0 M , K 0 m2 0 2m k2
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
Mu
2
1.000000 0.366025 2 1.267949m 2 1
2 2
T
m 0 1.000000 0 2m 0.366025
0.888074 2 m
得到常数
0.459701 1 , m
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
事实上，根据正则化方法，有
u
1 T
1.000000 m 0 1.000000 Mu 1.366025 0 2m 1.366025 2 4.732049m1 1
1
2 1
T
u
2 T
由此多自由度系统对于初始条件的一般响应为 q t uη t
r T 1 r T 0 sin r t u u Mq0 cos r t u Mq r r 1 根据初始条件q1(0)=q2(0)=0， q q 2 0 0 ，所以响 1 0 v0， 应为 2 r 1 r T 0 sin r t q t u u Mq r 1 r
n
r
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
1
其中
1
u
1 T
0 Mq
T
2
1 1 0.459701 m 0 v0 0 0.627963 0 2 m 0.796226 k m m mv0 0.577350 k 1 2 T 0 u Mq
(5.4-9) 这里必须注意的是 u 为正则振型矩阵。这样正则坐标向 量的初始条件为
q t uη t
T
η t u Mq t
η0 uT Mq0 ,
0 uT Mq 0 η
(5.4-10)
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
r0初始速度可以表示为 所以正则坐标的初始位移r0和
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解初始条件响应的方法
●一般来说，式 (5.4-1) 是耦合 ( 弹性耦合或惯性耦 合 ) 方程，这样在给定 2n 个初始条件下，要求解联立方 程组。 ●显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中 只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度 系统一样，每个方程可以独立求解。
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
由此得正则化振型为 1 0.459701 1 0.888074 1 2 u , u m 0.627963 m 0.325057 组成系统的振型矩阵u，有 取u为坐标变换矩阵，即
1 2 u22 u u 22
0 q 0 来 度，它由给定的原坐标的初始条件q(0)=q0和 q 确定。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
由式(5.4-4)得
(5.4-8) 为了避免求逆矩阵的繁琐运算，可以在方程 (5.4-4)两边 同时左乘uTM，有
η t u1q t
uT Mq t uT Muη t
Ku Mu
2
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
为了求出固有振型，把固有频率代入特征值问题，有 2k r2mu1r ku2r 0
r ku1 r 2k 2 r2 m u2 0 解得固有振型为 1 1.000000 2 1.000000 u , u 1.366025 0.366025 为了确定系统对初始条件的响应，还需把振型向量进行 正则化。为此，假定正则化振型向量具有如下形式
2 r r
(5.4-6)
由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程 (5.4-3) 和 (5.4-5) 在形式上与单自由度系统是一样的，所 以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解， 即
r 0 r t r 0 cos r t sin r t (r 1,2,,n) (5.4-7) r r 0(r=1,2,…,n)为正则坐标的初始位移和初始速 式中r0和
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
振型叠加法总结
振型叠加法： ●采用振型矩阵作为坐标变换矩阵； ●将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换 为固有坐标或正则坐标表示的相互独立的运动微 分方程； ●广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表 示的各阶固有振型的线形组合； ●振型叠加法的理论基础为展开定理。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
自由振动初始条件的响应
系统自由振动的微分方程是 n 个二阶的常微 分式中q(t)为广义坐标qi(t)(i=1,2,…,n)的向量。 如 果 给 定 2n 个 初 始 条 件 ( 即 初 始 位 移 向 量 0 q 0 ) ，就完全确 q(0)=q0和初始速度向量 q 定了方程的一组特解，这组特解就是系统对初始 条件的响应。 数学上称这类问题为微分方程组的初值问题。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.5-1)
例5.4-1 考虑图5.4-1所示的两自由度系统。 q q 1 0 v0 ， 2 0 0， 若给定初始条件q1(0)=q2(0)=0， 求系统的响应。 解：系统的运动 微分方程为 m1q 1 k1 k2 q1 k2 q2 0 m2 q 2 k2 q1 k2 k3 q2 0 图 5.4-1 写成矩阵形式为
式中 uTMu=I为单位矩阵，uTKu=为对角元素是各阶固 有频率平方的对角矩阵。 ●正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和 由n阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
求解公式的推导
把方程(5.4-5)写成分量的形式为
r t t 0 (r 1,2,,n)
求解公式的推导
若取正则振型矩阵u为坐标变换矩阵，有
q t uη t
(5.4-4)
称(t)为正则坐标向量。
同样将式 (5.4-4) 代入方程 (5.4-1) 后，并用正则振型 矩阵的转置uT左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程 为 t Λη t 0 η (5.4-5)
u
r 1
r
(5.4-12) 上 式 表 达 了 系 统 对 初 始 位 移 向 量 q0 和 初 始 速 度 向 量 q 0 的响应，是由 n个简谐运动叠加而成。
r T 1 r T u Mq0 sin r t u Mq0 cos r t r
1 1 0.888074 m 0 v0 1.538188 k m m 0.325057 0 2m 0 mv0 0.577350 k
T
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
于是，得其响应为
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
特征值问题为
特征方程为 2 2 k m k 2 2 4 2 2 2 m 6 km 3 k 0 2 k 2k 2 m 求得固有频率为
3 1 k k 1 1 0.796226 2 m 3m 3 1 k k 2 1 1.538188 2 m 3m
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
其解为
正则坐标向量和原坐标向量的初始条件变换关系为
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
r T
(r 1, 2, , n)
r0 u
Mq0 ,
r T 0 (r 1,2,, n) r0 u Mq
1.000000 u 1 , 1.366025 式中1和2为待定常数。
1
u
2
1.000000 2 0.366025
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
例题：求解初始条件的响应（例5.4-1)
第一阶主振型
第二阶主振型
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法