八年级数学下册《一元二次方程》单元测试卷(附答案解析)

八年级数学下册《一元二次方程》单元测试卷(附答案解析)
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）
A．1 B．﹣1 C．﹣D．﹣3
2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝的形式，则m的值为（）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
3．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9 B．11 C．13 D．14
4．关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情况（）
A．没有实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．不能确定
5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A．x﹣1＝0 B．x2+x＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2+1＝0
6．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0 B．k＞0且k≠1 C．k≤0且k≠﹣1 D．k＞0
7．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（）A．﹣4 B．0 C．4 D．2
8．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．若x2﹣6x+7＝（x﹣3）2+n，则n＝．
10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝．
11．若（x2+y2﹣1）2＝4，则x2+y2＝．
12．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0总有两个实数根，则常数k的取值范围是．
13．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝．
14．等腰（非等边）三角形的边长都是方程x2﹣6x+8＝0的根，则此三角形的面积为．
15．已知菱形ABCD的一条对角线的长为4，边AB的长是x2﹣5x+6＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为m．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣9＝0；
（2）3x2﹣2x﹣2＝0（用公式法）；
（3）x（2x﹣5）＝2x﹣5；
（4）x2+4x﹣3＝0（用配方法）．
18．仿照例子解题：“已知（x2+2x﹣1）（x2+2x+2）＝4，求x2+2x的值”，
在求解这个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法如下：
解：设x2+2x＝y，则原方程可变为：（y﹣1）（y+2）＝4
整理得y2+y﹣2＝4即：y2+y﹣6＝0
解得y1＝﹣3，y2＝2
∴x2+2x的值为﹣3或2
请仿照上述解题方法，完成下列问题：
已知：（x2+y2﹣3）（2x2+2y2﹣4）＝24，求x2+y2的值．
19．已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）记该方程的两个实数根为x1和x2，若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．21．某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元．
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为箱；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
参考答案与解析
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，
∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣，
故选：C．
2．解：方程3x2﹣6x+2＝0，
变形得：x2﹣2x＝﹣，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
则m＝1．
故选：C．
3．解：解方程x2﹣6x+8＝0得，
x＝2或4，
∴第三边长为2或4．
当第三边为2时，
∵2+3＜6，
∴边长为2，3，6不能构成三角形；
当第三边为4时，
∵3+4＞6，
∴边长为3，4，6能构成三角形；
∴三角形的周长为3+4+6＝13，
故选：C．
4．解：关于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣2m，c＝﹣m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×（﹣m﹣1）＝（2m+1）2+3＞0．
∴有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．解：A、x﹣1＝0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；
B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；
C、∵Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；
D、∵Δ＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，故此选项不合题意．
故选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴，
解得：k＞0且k≠1．
故选：B．
7．解：∵方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝﹣1，α•β＝﹣2，
∴（α﹣2）（β﹣2）＝α•β﹣2（α+β）+4＝﹣2﹣2×（﹣1）+4＝4．故选：C．
8．解：依题意得：2（1+x）2＝242．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：已知等式整理得：x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2＝（x﹣3）2+n，则n＝﹣2，
故答案为：﹣2
10．解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
所以a+b＝1，
所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
11．解：两边开方得x2+y2﹣1＝±2，
∴x2+y2＝3或x2+y2＝﹣1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝3．
故答案为3．
12．解：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（2k+1）]2﹣4k×k≥0，
解得k≥﹣，
∵二次项系数k≠0，
∴k≥﹣且k≠0．
故答案为：k≥﹣且k≠0．
13．解：根据题中的新定义得：＝x2﹣6（x﹣2）＝4，即x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x＝4或2．
故答案为：2或4．
14．解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
由题意得：这个三角形的三边长分别为2，2，4或2，4，4，（1）当这个三角形的三边长分别为2，2，4时，
∵2+2＝4，
∴不满足三角形的三边关系，舍去；
（2）当这个三角形的三边长分别为2，4，4时，
∵2+4＞4，
∴满足三角形的三边关系，
如图，设这个三角形为等腰△ABC，其中AB＝AC＝4，BC＝2，过点A作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝BC＝1（等腰三角形的三线合一），
∴AD＝＝＝，
∴S△ABC＝＝＝，
即此三角形的面积为，
故答案为：．
15．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∵菱形ABCD的一条对角线的长为4，
∴AB的长为3，
∴菱形ABCD的周长＝4×3＝12．
16．解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得（20﹣x）（10﹣x）＝171，
整理得：x2﹣30x+29＝0，
解得：x1＝1，x2＝29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
故答案为：1．
三．解答题（共5小题，满分40分）17．（1）解：∵（x﹣2）2﹣9＝0，
∴（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝±3，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
（2）3x2﹣2x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，
∴△＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝4+24＝28，∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
（3）∵x（2x﹣5）＝2x﹣5，
∴（2x﹣5）（x﹣1）＝0，
∴2x﹣5＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝1，
（4）∵x2+4x﹣3＝0，
∴x2+4x＝3，
∴x2+4x+4＝3+4，
∴（x+2）2＝7，
∴x+2＝，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
18．解：设x2+y2＝m，
则原方程可变为：（m﹣3）（2m﹣4）＝24
∴2（m﹣3）（m﹣2）＝24．
∴m2﹣5m+6＝12．
∴m2﹣5m﹣6＝0
解得m1＝6，m2＝﹣1
∵x2+y2≥0
∴x2+y2的值为6．
19．（1）证明：∵Δ＝a2﹣4×（﹣a﹣1）＝（a+2）2≥0，∴无论a为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵方程有一个根是负数，
∴﹣a﹣1＜0，
解得，a＞﹣1．
∴a的取值范围为a＞﹣1．
20．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4•2k
＝4k2+1+4k﹣8k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+2k＝0，
∴（x﹣2k）（x﹣1）＝0，
∴x1＝2k，x2＝1．
∵以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，
当3为斜边时，则（2k）2+12＝32，解得k＝（负数舍去），
当2k为斜边时，则（2k）2＝12+32，解得k＝（负数舍去）．
综上，k的值为，．
21．解：（1）平均每天的销售量为80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（箱）．故答案为：（200﹣2x）．
（2）依题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80．
当x＝70时，利润率＝×100%＝40%＜50%，符合题意；
当x＝80时，利润率＝×100%＝60%＞50%，不合题意，舍去．答：应按每箱70元销售．。