振动理论及工程应用1 第一章 振动的基本理论

f ( t )称为非周期函数
f (t)
1
G() e jt d
2π
G( )的傅氏逆变换
连续频谱
G() 又称非周期函数f ( t )的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。
函数f ( t )的傅氏积分公式
f
(t)
1 2π
f
振动问题的共同特点
所考察的系统既有惯性又有弹性。 运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。
振动问题的研究方法： 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。
1.1振动及其分类
按系统的自由度划分：
单自由度振动－一个自由度系统的振动。 多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的 振动。 连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。
非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时， 将得到非线性运动微分方程。
非线性振动的叠加原理不成立。
振动问题的分类
按激励特性划分：
自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后， 系统自身的振动。
受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发 生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 按激励特性划分：
随机振动－系统在非确定性的随机激励下所作的振 动。另外，物理参数具有随机性质的系统发生的振 动也属于随机振动。
(4) 尺度变换特性。设a为常数，则有
(at) 1 (t) a
2. 单位阶跃函数 单位阶跃函数也称阶跃函数，用(t) 表示，即
0,
t0
(t)
1 12,
,
t0 t0
单位阶跃函数有以下特性：
(t) y(t) d t y(t) d t
0
(t) y(t) d t (t) y(t) d t y(t) d t y(0)
0
t
(
x)
d
x
t0,,
t0 t0
3. 冲激函数与阶跃函数的关系
t
(t) (x) d x
(t) d (t) dt
1.3 简谐振动
1. 用正弦函数表示简谐振动 用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为
x Asint
振幅
圆频率
初相位
一次振动循环所需的时间T 称为周期；单位时间内振动循环 的次数f 称为频率。
1
2π T
n=1,2,3,……
An
a
2 n
bn2，tan n
an bn
,
一个周期振动可视为频率顺次为基频 及1 整倍数的若干或无数简 谐振动分量的合成振动过程。 在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析
周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。
周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。
函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反 映了该周期函数的特性。 这种分析振动的方法称为频谱分析。 由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实 际上是由时间域转入频率域。 这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理 意义。
2. 用旋转矢量表示简谐振动
旋转矢量OM 的模为振幅A，角速度为圆频率 ，任一瞬 时OM 在纵轴上的投影ON 即为简谐振动表达式
3. 用复数表示简谐振动
记 j 1 , 复数
z Ae j(t ) Acos(t ) j Asin(t )
复数Z的实部和虚部可分别表示为
R e (z) Acos(t ) Im (z) Asin(t )
合成的周期
x(t T ) x1(t T ) x2 (t T ) x1(t mT1) x2 (t nT2 )
x1(t) x2 (t) x(t)
当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，
合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。
若
1与
之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非
一个振动系统究竟简化成几个自由度系统的振 动模型，要根据系统的结构特点和所研究的问题 来决定。
简 化 成 一 个 自 由 度
简化成二个自由度
c1
振动问题的分类
按系统特性或运动微分方程类型划分： 线性振动－系统的运动微分方程为线性方程。
my ky 0 meq keq＝F0sin( t)
线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。
由矢量的投影定理
x A1 sin(t 1) A2 sin(t 2 ) Asin(t )
A =A1 +A2
A ( A1 sin 1 A2 sin 2 )2 ( A1 cos1 A2 cos 2 )2 arctan( A1 sin1 A2 sin 2 )
A1 cos1 A2 cos 2
周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项 近似表示周期振动。 例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。
解∶矩形波一个周期内函数F (t) 可表示为
F(t) f 0f 0
0t π π t 2π
a0
1 π
2π
F(t) d t
0
0
表示F(t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。
2
它的包络线
拍频
A(t) 2 Acos t
2
这种特殊的振动现象称为“拍”，或者说“拍”是一个
具有慢变振幅的振动。
拍频率 2 1
1 2
( 1
2)
x 2 Acos t sint
2
Theory of Vibration with Applications
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x 2 Acos t sint
T 1 2π, f 1 f T 2π
周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），
圆频率 的单位为弧度/秒（rad/s）。
图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左
边半径为A的圆上一点作等角速度 的运动时在x轴上的投影。
如果视x为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式 关于时间t的一阶和二阶导数，即
s
in
n1t
4 f0
s
in
1t
1 3
s
in
31t
1 5
s
in
51t
F(t)是奇函数，在它的傅氏级数 中也只含正弦函数项。在实际 的振动计算中，根据精度要求， 级数均取有限项。F(t)的幅值频 谱如图所示。
1.5 非周期函数的连续频谱
f ( t )的傅氏变换
G() f (t) e jt d t
A Aej
是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。 用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。
1. 两个同频率振动的合成 有两个同频率的简谐振动
x1 A1 sin(t 1)
x2 A2 sin(t 2 )
由于A1 、A2的角速度相等，旋转时 它们之间的夹角( 1 2 )保持不变， 合矢量A也必然以相同的角速度 作 匀速转动
x A cos(t ) A sin(t π )
2 x A 2 sin(t ) A 2 sin(t π)
可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具 有相同的频率。 在相位上，速度和加速度分别超前位移 π 和 π 。
2
可得到加速度与位移有如下关系
x 2 x
重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是 与位移相反，始终指向平衡位置。
物理可实现的函数常常是时间t（或k）的函数（或序列）， 其在各时刻的函数（或序列）值为实数，称为实函数。 函数（或序列）值为复数的函数称为复函数。最常用的是 复指数函数。连续时间的复指数函数可表示为
f (t) est
－∞＜t ＜∞
式中复变量 s j ， 是s 的实部，记作Re[s], 是s 的虚部， 记作Im[s]。 根据欧拉公式，上式可展开为
δ(t
)
0
t t
0
δ(t
)
d
t
1
表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无 限大。但它对时间积分是有限数1。
1. 冲激函数
单位脉冲是一种极限脉冲，其物理意义:若将(t)看 成是力函数，则(t)是图(a)所示冲量为1的矩形脉冲
在脉宽→0时的冲击力的极限情况（图(b)）。
Dirac函数有以下特性：
时间函数，简称离散函数。。
周期函数是定义在（－∞，∞）区间，每隔一定 时间T（或整数N），按相同规律重复变化的函数。 连续周期函数可表示为
f ( t ) = f ( t + m T ), m = 0, ±1, ±2, … 离散周期函数可表示为
f ( k ) = f ( k + m T ), m = 0, ±1, ±2, … k为离散值。
展成傅氏级数
一个周期 T 中的平均值
x (t )
a0 2
(an
n1
cosn 1t
bn
sin n 1t)
2T
a0 T 0 x(t) d t
an
2 T
T 0
x(t) cosn1t d t
x(t )
a0 2
n 1
bn
2 T
T 0
x(t) sin n1t d t
An sin(n 1t n )
引言
振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附 近作往复运动。
物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点 的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构 件和工程结构的振动。
振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运 动。
第1章 振动的基本知识
1.1 振动及其分类 1.2 振动激励函数 1.3 简谐振动 1.4 周期振动的谐波分析 1.5 非周期函数的连续频谱
2
式中的 sint 完成了几个循环后， cos t 才能完成一个循环。
2 这是一个频率为 的变幅振动，振幅在 2A 与零之间缓慢地
周期性变化。
x
包络线
A(t) 2 Acos t
2
2A
4π 2 1
2π 2 1
1.4 周期振动的谐波分析
周期振动 x(t) x(t nT)
n=1,2,3,……
即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频 率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。
2 . 两个不同频率振动的合成 有两个不同频率的简谐振动
x1 A1 sin 1t
x2 A2 sin 2t
1 m 2 n
有理数
T1
T2
m 2π n 2π
1
2
T mT1 nT2
x x1 x2
简谐振动的位移x与它的复数表示z的关系可写为
x Im (z)
由于
j
je 2
1 e jπ
用复数表示的简谐振动的速度加速度为
也可写成
x
Im [j A
e
j (t )
]
Im
[
A e
j (t
) 2
]
x Im [ A2 e j(t) ] Im [ A2 e j(t) ]
Z Ae je jt A e jt
an
1 π
0
f0
cosn1t d t
2
f0
cosn1t d t
0
bn
1 π
0
f0
sin n1t d t
2
f0
sin n1t d t
2 f0 nπ
1 cosnπ
4 f0 nπ
于是，得F(t)的傅氏级数
n=1，2，3……
F(t)
bn
n1
sin n1t
4 f0
n1.3.5...
1 n
利用振动为人类服务 19世纪瑞士人发明了钟表，利用摆振计时，而
现在的石英钟利用晶振进行更准确的计时。 利用振动机理发明了振动机械，如振动压路机、
混凝土导振器、振动沉桩机等。
1.2 振动激励函数
在连续时间范围内（－∞＜t ＜∞）有定义
的函数称为连续时间函数，简称连续函数。 仅在一些离散的瞬间有定义的函数称为离散
（1）
p δ(t)dt
p
δ(t)dt
p
p为常数；
（2）它的傅里叶变换：F[δt]
δ(t)e jtdt
δ(t)e j0dt
δ(t)dt
1
这一特性表明，单位脉冲激振力提供白谱。
（3）
y(t) δ(t t)dt
y(t),
0 t
该式表明Dirac函数的抽样特性。
y(t)(t) d t y(0)
参激振动－激励因素以系统本身的参数随时间变 化的形式出现的振动。荡秋千、拉小提琴、拉二胡、 车床切削颤振等。
振动的危害 地震、交通工具车、船、飞机在运行工程中的振动、
振动会产生噪声。 在大多数机器、机械结构和动态系统中都不希望发
生振动。振动会降低机床的精度、降低仪器仪表的 准确性及其工作寿命。
2
周期的。
若 1 2，对于A1 A2 A ，则有
x
x1
x2
A1
sin 1t
A2
sin 2t
2
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱcos
(
2
1
2
)t sin(2
1
2
)t
x x1 x2 A1 sin1t A2 sin2t
2Acos(2 1 )t sin(2 1 )t
2
2
令
1 2
( 1
2)
2 1
x 2 Acos t sint
f (t) e( j)t et cos(t) je t sin(t)
一个复指数函数可分解为实、虚两部分(均为实函数)，即
Re[ f (t)] et cost Im[ f (t)] et sin t
1. 冲激函数
冲激函数也称单位脉冲(unit impulse)函数，用 (t)表
示，函数的定义是