三角函数和反三角函数图像性质知识点总结

三角函数
1.特别锐角（ 0°， 30°， 45°， 60°， 90°）的三角函数值
2.角度制与弧度制
设扇形的弧长为l
，圆心角为
a
（rad ）, 半径为 R，面积为 S
角a
的弧度数公式2π×(a /360 °)
①360°=2π rad
角度与弧度的换算②1°=π/180rad
③1 rad= 180°/π=57° 18′≈ 57.3 °
弧长公式l a R
扇形的面积公式s 1 lR
2
3.引诱公式：（奇变偶不变，符号看象限）所
谓奇偶指是整数 k 的奇偶性（ k· /2+ a）
所谓符号看象限是看原函数的象限（将a
看做锐角， k·/2+
a
之和所在象限）
注：
①：引诱公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4.三角函数的图像和性质：（其中 k z ）①：
三角y sinx 函数
函
数
图
象
定义域R
值域[-1,1]
周期 2
奇偶性奇
单2k , 2 k
2 2
调2k , 2 k
2 2
性
对对称轴 : x k
2 称
性对称中心 : ( k , 0) 零值点x k
最x k , y max 1
2
值x k , y min 1
2
y cosx
R
[-1,1]
2
偶
2k,2 k
2k,2 k
对称轴: x k
对称中心:
( k+ 2 , 0)
x k
2
x 2k ， y max 1 ；
y 2k
， y min1
y tanx y cotx
x k x k
2
R R
奇非奇非偶
k, k k , k
2 2
k
对称中心: (2, 0)
x k
x
2
k
点
②：函数 y Asin( x) 的图像与性质：
（1）函数y Asin( x) 和 y Acos( x) 的周期都是T 2 （2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T
5.三角函数尺度变换
y sin x 经过变换变为 y Asin（ x ）的步骤（先平移后伸缩）：
1
y sinx 横坐标变为原来的倍
y sin x
向左或向右（
x
）纵坐标不变平移个单位y sin
纵坐标变为原来A的
倍 A （
x ）
横坐标不变y sin
6.三角函数的对称变换：
① y f ( x) y f ( x) )将 y f (x) 图像绕y轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
② y f ( x) y f (x) 将 y f ( x) 图像绕 x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③ y f ( x) y f ( x) 将y f (x) 图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到
左侧（偶函数局部翻折）
④ y f ( x)y f ( x) 保留y f ( x) 在 x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局
部翻动）
7.反三角函数的图像与性质：
名称y=arsinx y=arccosx y=arctanx
y=sinx y=cosx y=tanx
(x ( , ))的( x (0, )) 的反(x ( , ))的反定义 2 2 2 2
反函数，叫做反函数，叫做反余函数，叫做反正切
正弦函数弦函数函数
图像
性
质
定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)
值域［- ，］［0，π］(- ， )
2 2 2 2
单调性1,1 增函数1,1 减函数, 增函数
奇偶性 arcsin( )
arccos( ) arccos
arctan
arcsin arctan( )
y=arccotx
y=cotx ( x(0,))
的反函数，叫做反
余切函数
(-∞，+∞)
(0，π)
,减函数
arccot()arccot
周期性非周期函数非周期函数非周期函数非周期函数
7. 三角函数公式：
（1）倒数关系：
（2）平方关系：
2
2
tan cot 1 sin
cos1
2
2
sin csc 1
1
tan
sec
cos
sec
1
2
2
1 cot csc
（3）三角和与差公式：
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin
sin
cos( ) cos cos
sin sin
tan(
)
tan tan
tan(
)
tan tan
1 tan tan
1 tan tan
（4）二倍角公式：
sin2 2sin cos
2
1 cos2
sin
1 cos
2 2
cos2 cos 2
sin 2
2cos 2
1 1 2sin 2
升幂公式
2
2sin (降幂公式） 1 1 cos2
2cos 2
2
cos2
tan2 2tan
cos
2
2
1 tan
（5）三角函数的和差化积公式
（6）三角函数的积化和差公式
sin
sin 2sin
cos
sin cos
1 sin(
) sin(
)
2
2
2
1
sin
sin
2cos
sin cos sin
sin(
) sin(
)
2
2 2
1
cos(
cos
cos 2cos
cos
cos cos
) cos(
)
2
2
2
cos
cos
2sin
sin
sin sin
1
cos( ) cos(
)
2
2
2
六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，
左正右余中间 1”；记忆方法“对角线上两个
函数的积为 1；阴影三角形上两极点的三角函
数值的平方和等于下极点的三角函数值的平
方；任意一极点的三角函数值等于相邻两个
极点的三角函数值的乘积。

”
8.正、余弦定理：
①正弦定理：
在 ABC 中有:
a b c
2R（ R 为 ABC 外接圆半径）sin A sin B sin C
sin A
a
a 2R sin A 2R
b
b 2R sin B sin B
2R
c 2R sin C
sin C
c 2R
面积公式：S
ABC
1 1 1
abssin C ac sin B bcsin A
2 2 2
②余弦定理：
在三角形ABC 中有:
cos A
b2 c2 a2 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 2bc
a2 c2 b2 b2 a2 c2 2ac cosB cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
2ac cosC
a2 b2 c2
2ab。