中考数学二次根式知识点-+典型题及答案

一、选择题
1．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5
B ．43﹣33=1
C ．27÷3=3
D ．23×33=6
2．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2||(-1)a a +的结果为（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．1﹣2a
D ．2a ﹣1
3．已知x 132x 232，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4．下列各式中，无意义的是（ ） A 23-B ()3
33-C ()
2
3-D ．310-
5．下列运算正确的是 （ ） A ．3223= B 235=C ．233363=
D 18126=
6．下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A 21a +
B 15
C 4x
D 27
7．已知0xy <，化简二次根式2
y
x - ） A y B y -
C ．y -
D ．y --
8．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.013323
)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那
么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A 3x +B 1
3
x - C 1
3
x +D 3x -
10．下列运算一定正确的是( ) A 2a a =
B ab a b =
C ．222()a b a b ⋅=⋅
D ()0n m
n
a
a m
=
≥ 二、填空题
11．设42 a,小数部分为 b.则1
a b
-
= __________________________.
12．将2
(3)(0)3a a a a
-<-化简的结果是___________________.
13．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简
()
2
22144a a ab b +--+=_____________；
（2）已知正整数p ，q 满足32016p q +=，则整数对()p q ，
的个数是_______________；
（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 14．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72
[72]=8
[8]=2
[2]=1，类似地，只需进行3次操作
后变为1的所有正整数中，最大的是________．
15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______．
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
1第行
3
2
5 6
2第行
7
22
3
10 11 23
3第行 13
15
4
17
32 19
25
4第行
根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）． 17．若实数x ，y ，m 满足等式
()2
3532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为
________．
18．化简：321
x
191262_____． 20．函数y 4x
-中，自变量x 的取值范围是____________．
三、解答题
21．小明在解决问题：已知a
2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a
＝2，
所以a －2
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：
= － . (2)
… (3)若a
，求4a 2－8a ＋1的值．
【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】
（11
==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】
(1)计算：1
=； (2)原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)1
a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=--，
当1a =
时，原式2
435=⨯
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
22．计算：
（1（2）)((2
22
+-+．
【答案】(1) 【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】
（1
=
=
（2）
)((2
22
+-+
=22
23
--+ =5-4-3+2 =0
23．计算： 21)3)(3--
【答案】. 【解析】 【分析】
先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】
解：原式22
22]-4
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.
24．观察下列等式：
1
==；
==
== 回答下列问题：
（1
（2）计算：
【答案】（1（2）9 【分析】
（1）根据已知的31
=-n=22代入即可
求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可． 【详解】
解：（1
=
（2+
99+
=1100++-
=1 =10-1 =9.
25．计算（1
（2）(()
2
1-
【答案】（1）2
；（2）24+ 【分析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；
（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】
解：（1
=2
+
=(2
-+
=2
（2）(()
2
1-
=22(181)---
=452181--+
=24+． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
26．先化简，再求值：2443
(1)11
m m m m m -+÷----，其中2m =.
【答案】22m
m
-+ 1． 【解析】
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．
详解：原式=2
21m m --（）÷（
31m -﹣211m m --） =2
21m m --（）÷241
m m --
=2
21m m --（）
•122m m m --
+-（）（） =﹣22m m -+
=22m m
-+
当m ﹣2时，原式=
=
=﹣1+
=1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
27．计算：（1
）- （2
） 【答案】（1
）2
1 【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可． 【详解】
解：（1
）原式== （2
）原式3+21==．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．
28．（1
）计算
)
(2
2
01113-⎛⎫
--•- ⎪⎝⎭
（2）已知,,a b c
为实数且
2c =2c ab
-的值
【答案】（1）13
；（2）12-【分析】
（1）利用完全平方公式、负整数指数幂、零指数幂分别计算再合并即可； （2）先依据二次根式有意义的条件，求得a 、b 、c 的值，然后再代入计算即可． 【详解】 （
1
）
)
(2
2
01113-⎛⎫
--•- ⎪
⎝⎭
31=+⨯
=4+9 =13；
（2）根据二次根式有意义的条件可得：
∵()2303010a a b ⎧-≥⎪⎪
-≥⎨⎪-+≥⎪⎩
，
∴3a =，1b =-，
∴2c =
∴(()2
223112c ab -=-⨯-=-
【点睛】
本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式有意义的条件以及二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可． 【详解】
A
B 、
C ，故本选项正确；
D 、=18，故本选项错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
先由点a 在数轴上的位置确定a 的取值范围及a-1的符号，再代入原式进行化简即可 【详解】
由数轴可知0＜a ＜1，
所以，||1a a a =+-＝1，选A ． 【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题关键在于确定a 的大小
3．C
解析：C
12x x +==
12321x x =
=-=，
所以()2
22
1212122x x x x x x +=+-
=(2
2112210-⨯=-=，
故选：C ． 【点睛】
对于形如22
12x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有
这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211
+x x ，1221
x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．
4．A
解析：A 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案． 【详解】
A
B
，有意义，不合题意； C
D 、3
3
1
10=10-，有意义，不合题意； 故选A. 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．A
解析：A 【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
A
、3=，故选项A
正确； B
B
错误； C
、18=，故选项C
错误； D
=D 错误； 故选：A ．
本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
6．A
解析：A 【分析】
根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】
A 是最简二次根式，此项符合题意
B =
C 、当0x <
D =不是最简二次根式，此项不符题意 故选：A ． 【点睛】
本题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题关键．
7．B
解析：B 【分析】
先根据xy ＜0，考虑有两种情况，再根据所给二次根式可确定x 、y 的取值，最后再化简即可． 【详解】 解：
0xy <，
0x ∴>，0y <或0x <，0y >，
又
2
y
x x -
有意义， 0y ∴<，
0x ∴>，0y <，
当0x >，0y <时， 故选B ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简．解题的关键是能根据已知条件以及所跟二次根式来确定x 、y 的取值．
8．D
解析：D 【分析】
利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确
定正确的选项．
【详解】
解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；
②0.01的算术平方根是0.1，故错误；
)＝
17
3
22
+=，故错误；
④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．
9．D
解析：D
【分析】
根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.
【详解】
A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；
B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；
C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误；
D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．
10．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．
【详解】
A|a|，故此选项错误；
B．，则a，b均为非负数，故此选项错误；
C．a2•b2=（a•b）2，正确；
D m n a（a≥0），故此选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
二、填空题
11．【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2，
∴-2＜-＜-1，
∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，
∴==
故填：.
【点睛】
此题主要考查无理
解析：1 【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -
即可求解. 【详解】
∵1＜2，
∴-2＜＜-1，
∴2＜43
∴整数部分a=2,小数部分为4，
∴1a
b -=2222=-=12-
故填：12-
. 【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
12．．
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
∵a ＜0．∴a －3＜0，∴==．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
解析：
【分析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
∵a ＜0．∴a －3＜0，∴(a -=-=
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．
13．（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
∴
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)∵，
∴，p=20
解析：（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1<a<0,b>1,
＝|a+1|-|a-2b|
=1+a-2b+a
=2a-2b+1.
(2)=
=
∴p=14x 3(其中x 为正整数)，
同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）,
则x+3y=12(x 、y 为正整数)
∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
, ∴整数对有（p,q ）=(14⨯81,141⨯),或（1436,144)⨯⨯ ,或（149,149⨯⨯）。

∴满足条件的整数对有3对.
(3)①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=50°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°，
故∠BOC=130°；
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC中，∠A=50°，∠AFC=90°，
故∠1=180°-90°-50°=40°，
∵∠1=∠2，
∴在△CEO中，∠2=40°，∠CEO=90°，
∴∠EOF=180°-90°-40°=70°，
即∠BOC=50°，
综上所述：∠BOC的度数是130°或50°．
故答案是：(1). 2a－2b＋1 (2). 3 (3). 130°或50°．
14．255
【解析】
解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和
解析：255
【解析】
解：3]=1，15=3，255=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．
点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，
∴
∴﹣|a ﹣c|+﹣|﹣b|
＝
解析：-2a
【分析】
根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况以及大小情况，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】
由图可知，0c a b ＜＜＜
∴00.a c c b ＞，＜
|a ﹣c ﹣|﹣b |
＝||()||a a
c c b b =()a
a c
b
c b =a
a c
b
c b =-2a .
【点睛】
本题考查二次根式的性质与化简和化简绝对值.在解决本题时需注意①对于任意实数a ,都有
||a =；②在化简绝对值时，绝对值内如果是一个多项式,要给化简后的结果带上括号.
16．；．
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-
1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3
=
∵第（n-1
，
∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2
个数是
．
．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．
17．3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3
解析：3
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．
【详解】
依题意得：
3530
230
2
x y m
x y m
x y
+--=
⎧
⎪
+-=
⎨
⎪+=
⎩
，解得：x=1，y=1，m＝5
，∴==3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
18．【解析】
根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.
故答案为； .
解析：
【解析】
根据二次根式的性质，化简为：
故答案为；
19．6
【分析】
利用二次根式乘除法法则进行计算即可．
【详解】
＝
＝
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
解析：6
【分析】
==进行计算即可．
【详解】
＝6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．
20．x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
解：由y=，得4-x≥0且x-2≠0．
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方
解析：x≤4且x≠2
【分析】
根据被开方数是非负数、分母不能为零，可得答案．
【详解】
，得4-x≥0且x-2≠0．
解：由y=
x-
2
解得x≤4且x≠2．
【点睛】
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数、分母不能为零得出4-x≥0且x-2≠0是解题关键．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无。