天津市部分区(五区联考)2019届高三下学期二模考试数学(文)试题PDF版含答案
2019天津市部分区高三数(文)答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．17i 55z =-- 10．e 11．4π312．13．14．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵3，∴ ……………2分∵2π，∴ 2π. ………………………4分由正弦定理，得sin 3sin b Aa B=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵2π，∴ ……………………………………8分∴ 1()33333=-+⨯= ………………………11分∴ 27199-=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分 5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵，∴ . …………1分又∵ ， …………………2分 ∴ 平面 . …………………………………3分 又∵ 平面 ，∴ . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：取 中点 ，连接 .∵ 分别是 的中点， ∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵ ⊄平面PAB ， ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵ ，∴ 平面 . ……………………………………………………………9分NBDC APM∴ 为直线 与平面 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，2PA =,2AD =,PD ∴=,MD ∴=分所以在Rt CMD ∆中，tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线 与平面 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为 ，134=112,a a a +=，∴ ，∴ ，∴ . …………………………………4分 设等比数列 的公比为 ，1225,b a b a ==，∴ ， ，∴ ，所以 . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得. ……………………………………………………………8分 ∴ ，∴ . 上述两式相减，得2112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n -+⋅----+--⋅-+1341=(3)22n n +--⋅-. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +-=-⋅-. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆 的方程为22142x y += …………………………………………………5分（Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A -，设直线 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k -.由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++-=.设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=-+-=.2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+ …………………………………………7分 ∴2012214()221k x x x k =+=-+,2002242(2)(2)2121k ky k x k k k =+=-+=++，∴0012OP y k x k ==-，∴直线 的斜率为12EM OPk k k =-= . 所以，直线 方程为22y kx k =+ .直线 的方程为 . ∴点42(,)33M k --…………………………………………………………9分 ∴点 到直线的距离为424|2|||k k k k d -++== .∴12||AB x x -==1||=||2AP AB =.∴244||||113||=2221APMk k S AP d k ∆=⋅=+ ……………………12分∵APMS ∆=24||3213k k =+，解得k = ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得 ， …………………………1分由函数 在点 ， 处的切线与 平行，得(1)0f '= …………2分 即 . ……………………………………………………3分（Ⅱ）当时,，由=0知. ………………………………………………………4分①当时，，在恒成立，所以函数在上单调递增. ……………………………………………6分②当时，由，解得或23x a<-；由，解得23a-.函数在23a-和上单调递增；在23a-，上单调递减.当时，由，解得23a-或；由，解得23a-.函数在和23a-上单调递增；在，23a-上单调递减. 8分（Ⅲ）当时,，由，得对任意的恒成立.∵,∴，∴在恒成立. ……………………………………9分设,.则,令,则,由，解得. …………10分由，解得；由，解得.∴导函数在区间单增；在区间单减，………………12分∴，所以在上单调递减，∴，∴. ……………………………………………13分故所求实数的取值范围. ………………………………………14分。
天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题文201905150383
1天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题 文温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷 选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：∙如果事件B A ，互斥,那么 ∙如果事件B A ，相互独立,那么)()()(B P A P B A P += )()()(B P A P AB P =.∙柱体的体积公式Sh V=. ∙锥体的体积公式Sh V 31=.其中S 表示柱体的底面积, 其中S 表示锥体的底面积,h 表示柱体的高. h 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 设全集R U =，集合})1lg({2-==x y x M ,{02}N x x =<<,则=N M C R )((A) {}12≤≤-x x (B) {}10≤<x x (C) {}11≤≤-x x (D) {}1<x x (2) 已知y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+014242y x y x y x 则y x z -=2的最小值为(A) 2 (B) 4 (C)21 (D) 52(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的6=n ， 则输出=S (A) 145 (B) 31 (C) 5627 (D) 103(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若0232=+-x x ，则2=x ”的逆否命题是“若2≠x ，则0232≠+-x x ” (B) “b a >”是“22bc ac >”的充分不必要条件(C) 命题：“R x ∈∃， 02>-x x ”的否定是“R x ∈∀， 02≤-x x ” (D) 若“q p ∨”为假命题，则q p ,均为假命题(5) 已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，当),0(+∞∈x 时，x x f 2log )(=，若)3(-=f a ，)41(f b =，)2(f c =，则c b a ,,的大小关系是(A) c b a >> (B) c a b >> (C) b a c >> (D) b c a >>(6) 将函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是(A) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0 (C )⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0(7) 已知双曲线1:2222=-by a x C )0,0(>>b a 的右焦点为)0,(c F ，直线c a x 2=与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a O (为原点），则抛物线x aby 22=的准线方程为 (A) 21=y (B) 1=x (C) 1-=x (D) 2=x (8) 在ABC ∆中，62==AC AB ，2=⋅，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PC PB PA ++取得最小值时，=⋅ (A)53 (B) 9- (C) 7 (D) 52- 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2019届天津市部分区高三高考二模数学(文)试题(解析版)
（1）因为表中所有应聘人数为 ，被录用的人数为 .
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为 .
（2）（i）记应聘 岗位的男性为 ， ， ，应聘 岗位的女性为 ， ， ，
从应聘 岗位的6人中随机选择2人，共有15种结果，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，
（Ⅱ）分离参数，构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，即可容易判断.
【详解】
（Ⅰ）当 时， ，故可得 ，
令 ，解得 ，
故 在区间 单调递减，在区间 单调递增.
（Ⅱ）因为
故当 时， ，即 一定是函数 的一个零点.
又当 时，令 ，分离参数可得：
，令 ，故可得 ，
令 ，解得 ，
故 在区间 上单调递增，在区间 和 单调递减.
【答案】A
【解析】根据点在双曲线上，则点的坐标满足曲线方程，结合向量数量积的坐标运算，即可容易求得.
【详解】
因为点 在双曲线上，故可得 ，
又因为 ，
故可得 ，
将 代入不等式可得 ，解得 .
故选：A.
【点睛】
本题考查双曲线的范围问题，属基础题.
8．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径， ，则 的值是（）
16．某区在2019年教师招聘考试中，参加 、 、 、 四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
ห้องสมุดไป่ตู้女性录用比例
269
167
62%
40
24
60%
217
69
32%
天津市部分区(五区联考)2019届高三下学期二模考试语文试题 PDF版含答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）语文参考答案1．B（璧柱—壁柱，井陉．j ng—x ng，渊薮．sh —s u）2．C（中西合璧：比喻中国和外国的好东西合到一块；洋为中用：批判地吸收外国文化中一切有益的东西，为我所用。
精约：精当简练；精巧：精细巧妙。
嵯峨：形容山势高峻；嶙峋：一般形容山势峻峭、重叠、突兀的样子）3．D（A．“拓宽……机制”搭配不当；B．“不仅能避免结冰可能造成的安全事故，而且保证了地面清洁”逻辑顺序不当，应为“不仅保证了地面清洁，而且能避免结冰可能造成的安全事故”；C．介词误用造成成分残缺，去掉“由于”即可）4．D（“怒涛卷霜雪，天堑无涯”是描写钱塘江的，作者柳永；“秦时明月汉时关”的“关”是指边关，不专指西北的“玉门关”；“吴楚东南坼，乾坤日夜浮”是写岳阳楼的，作者杜甫）5．B（“是关于中华文化的文化建构”理解错误，原意是天下观是中华文化中的一种文化建构）6．A（“就是在《吕氏春秋》里‘天下为公’理念上形成的”错误，以偏概全，《吕氏春秋》仅是一个例子）7．A（这是对“中华文化天下观”成就的看法，不属于“中华文化天下观”的意涵。
其他各项均符合于文中“中华文化天下观”的“天下为公”“信、睦”“四海之内皆兄弟”等涵义要求）8．B（承：承担）9．D（A．向，介词/从，介词；B．他的，代词/还是，副词；C．……的人，代词/……的情况，代词；D．都是因为，介词）10．A（授，是给予或任命官职，无提拔之意）11．D（未行，江水决锺祥三官庙堤、天门沙沟垸，招集邻县民，谕以利害，同筑御）12．B（B“想把……”错，把文意理解颠倒了，现实是已经这样做呢）13．（1）粮食随着土地起征，就不会缺少征收的税赋；按照土地交纳税粮，不会累赘百姓的生活。
（3分，关键点：起、因、累等）（2）可是非常欢喜的，却在孤单而无处可告的小民百姓一方。
（2分，关键点：乃、茕茕等）（3）踊跃地扛着畚锸而到的有几万百姓，（周人龙）亲自冒着风雨，率领百姓来修筑工事。
2019年天津市部分区联考2019届高三一模文科数学试题和理科数学试题及参考答案汇编
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B C D A C D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．2− 10．20 11．π2 12．1515±13．(,1][2,)−∞−+∞U 14．322 三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）在△ABC 中，根据余弦定理，A bc c b a cos 2222−+=， …………1分 于是014322=−+b b ， ……………………………………………………………3分 解得272−==b b 或（舍去）， 故2=b . …………………………………………5分 （Ⅱ）在△ABC 中，41cos −=A ，于是 415cos 1sin 2=−=A A . ……………6分 根据正弦定理，得B b A a sin sin =，所以815sin =B . …………………………8分 又A 为钝角，所以B 为锐角，即87sin 1cos 2=−=B B . ……………9分 从而32157cos sin 22sin ==B B B ，3217sin cos 2cos 22=−=B B B ， ……11分 所以64175216sin 2cos 6cos 2sin )62sin(+=+=+πππB B B . ……………13分 16．解：（Ⅰ）设“甲、乙、丙三名同学都选D 高校”为事件M ，则1113332224441()8C C C P M C C C ==. ………………………………………………………3分 （Ⅱ）（ⅰ）由已知得：甲同学选中D 高校的概率为：1=3P 甲，…………………4分 乙、丙同学选中D 高校的概率为：1==2P P 乙丙，……………………………5分 所以甲同学选中D 高校且乙、丙都未选中D 高校的概率:1111=1-1-==32212P P P P ⨯⨯⨯⨯甲乙丙（）（）. …………………………………………7分 （ⅱ）易知，X 所有可能的取值为0,1,2,3, ………………………………………………8分所以，有2111(0)(1)326P X ==−−=（1）； 2211115(1)(1)1()2323212P X ==⨯−+−⨯⨯=（）； 1111111111(2)1(1)+(1)3223223223P X ==⨯⨯−+⨯−⨯−⨯⨯=（）； 1111(3)32212P X ==⨯⨯=； …………………………………………………11分 所以，X 的分布列为X 0 1 2 316 512 13 112……………………………………12分因此15114()01236123123E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………………13分 17．（Ⅰ）证明：因为平面ADPQ ⊥平面ABCD ，平面ADPQ I 平面ABCD AD =，PD ⊂平面ADPQ ，AD PD ⊥，所以直线PD ⊥平面ABCD . ………………1分由题意，以点D 为原点，分别以,,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立如图空间直角坐标系，则可得：()0,0,0,(2,2,0),(0,2,0),D B C(2,0,0),(20,1),(0,0,2)A Q P ，. ………………………………………………2分依题意，易证：()2,0,0AD =−u u u r 是平面PDC 的一个法向量，又()0,2,1QB =−u u u r ，所以0QB AD ⋅=u u u r u u u r ，又因为直线QB ⊄平面PDC ，所以//QB PDC 平面. ………………………4分（Ⅱ）解：因为()(2,2,2),0,2,2PB PC =−=−u u u r u u u r .设()1111,,n x y z =u r 为平面PBC 的法向量，P则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即111112220220x y z y z +−=⎧⎨−=⎩. 不妨设11z =，可得()10,1,1n =u r . ………………………………………………6分设()2222,,n x y z =u u r 为平面PBQ 的法向量，又因为()(2,2,2),2,0,1PB PQ =−=−u u u r u u u r ，则2200n PB n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，即22222202220x z x y z −=⎧⎨+−=⎩. 不妨设22z =，可得()21,1,2n =u u r ， ………………………………………………8分 所以23,cos 212121=⋅⋅>=<n n n n n n ， 又二面角Q PB C −−为钝二面角，故二面角Q PB C −−的大小为65π. ……………………………………………9分 （Ⅲ）解：设),0,0(h H （20≤≤h ），则(2,0,),AH h =−u u u r 又(2,2,2)PB =−u u u r ， 又1537,cos =><AH PB ，即1537432242=+⋅−−hh ， …………………11分 所以0242562=+−h h ，解得32h =或83h =（舍去）. 故所求线段DH 的长为23. ……………………………………………………13分 18．解：（Ⅰ）由已知得：21=−+n n a a ，∴数列{}n a 是以2为公差的等差数列. ………………………………………………2分 ∵1243=+a a ，∴121021=+a ，∴11=a ，……………………………………3分 ∴12−=n a n . …………………………………………………………………………4分 设等比数列{}n b 的公比为q ，∵3221,3S b a b ===,∴2339b q S ===，∴3=q ，………………………………5分 所以n n b 3=. …………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由题意，得n n n n n n n n n b a c )3()12(3)12()1()1(−⋅−=⋅−−=⋅−=， …………8分∴231(3)3(3)5(3)(21)(3)n n T n =⋅−+⋅−+⋅−++−⋅−L ，∴23131(3)3(3)(23)(3)(21)(3)n n n T n n +−=⋅−+⋅−++−⋅−+−⋅−L …9分 上述两式相减，得132)3()12(])3()3()3[(234+−⋅−−−++−+−+−=n n n n T Λ ………………10分112)3()12(31])3(1[)3(23+−−⋅−−+−−−⋅+−=n n n ……………………11分 1)3(21423+−⋅−−=n n ……………………………………………………12分 ∴1)3(81483+−⋅−−=n n n T . ……………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）由6(2,)3P −在椭圆上，所以224213a b+=. ① ……………………1分 由已知6=3e 得63c a =,所以2223c a = ………………………………………2分 又222c a b =− 所以223a b =. ② …………………………………………………4分②代入①解得226,2a b ==. 故椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………………………………………………5分 （Ⅱ）假设存在常数λ,使得向量123(,),(,1)m k k n k λ=+=u r r 共线，所以123()10k k k λ+⨯−⨯= 即 123k k k λ+=. ……………………………7分 由题意可设AB 的斜率为k ,则直线AB 的方程为(2)y k x =+， ③代入椭圆方程22360x y +−=并整理,得2222(31)121260k x k x k +++−=, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有 2212122212126,3131k k x x x x k k −+=−=++. ④ ………………………………………9分 在方程③中令3x =−得,M 的坐标为(3,)k −−.从而12123126666333,,2213y y k k k k k x x −−−−====+++−. ………………10分 所以12121212116666(2)(2)33332222y y k x k x k k x x x x −−+−+−+=+=+++++12121246232()4x x k x x x x ++=−⨯+++⑤ ……………………………………11分 ④代入⑤得22122222124626631222()1262433343131k k k k k k k k k k k −+++=−⨯=+=+−−+++, 又3603k k =+≠,所以1232k k k +=. ………………………………………13分 故存在常数2λ=符合题意. …………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）因为()2ln (0)f x ax x x =−−>，所以11()ax f x a x x−'=−=. ……………………………………………………1分 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞恒成立，∴()f x 在(0,)+∞是单减函数. …………………………………………………2分 当0a >时，令()0f x '=，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，(),f x '()f x 随x 的变化情况如下表：x 1(0,)a1a 1(,)a +∞ ()f x ' -0 + ()f x单调递减 单调递增 由上表中可知，()f x 在1(0,)a 是单减函数，在1(,)a +∞是单增函数. …………3分综上，当0a ≤时， ()f x 的单减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单减区间为1(0,)a ，单增区间为1(,)a +∞. …4分（Ⅱ）当1a =时，由(Ⅰ)可知，()f x 在(0,1)是单减函数，在(1,)+∞是单增函数；又222211()0,(1)10,()40f f f e e e e=>=−<=−>. ………………………7分 所以221()(1)0,(1)()0f f f f e e ⋅<⋅<； 故()f x 在(0,)+∞有两个零点. …………………………………………………8分 （Ⅲ）当1,a k =为整数，且当1x >时，(41ln )()10k x x f x −−+−<恒成立⇔(41ln )2ln 10k x x x x −−+−−−<⇔13ln (ln ).4x k x x x <++ 令3ln ()ln (1)x F x x x x x =++>，只需min 1()()4k F x k Z <∈； ……………9分 又2222131ln 2ln ()()0x x x f x F x x x x x x−−−'=−+===， 由(Ⅱ)知，()0F x '=在(1,)+∞有且仅有一个实数根0x ，()F x 在0(1,)x 上单减，在0(,)x +∞上单增； 所以0min 0000ln 3()()ln x F x F x x x x ==++ ()* ……………………………10分 又1ln 32ln 42(1ln 2)(3)0,(4)091616F F −−−''=<==>， 所以(3)(4)0F F ''⋅<，所以0(3,4)x ∈且002ln 0x x −−=，即00ln 2x x =−代入(*)式，得 0min 0000000231()()21,(3,4)x F x F x x x x x x x −==−++=+−∈. …………12分 而0011t x x =+−在(3,4)为增函数，所以713(,)34t ∈， 即min 1713()(,)41216F x ∈. 而713(,)(0,1)1216⊂，所以min 1()(0,1)4F x ⊂， 故所求k 的最大值为0. …………………………………………………………14分。
2019届天津市十二重点中学高三下学期毕业班第二次联考数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前天津市十二重点中学2019届高三毕业班下学期第二次联合考试数学（文）试题（解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其它答案,不能答在试卷上。
一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的。
1.设集合,,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式得集合N,再根据交集定义得结果.【详解】因为,所以,选B.点睛】本题考查分式不等式以及交集定义,考查基本求解能力,属基础题.2.设变量x, y满足约束条件则目标函数最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作可行域,再根据目标函数几何意义,结合图象确定最优解,解得结果.【详解】作可行域,则直线过点A时取最大值25,选A.【点睛】本题考查线性规划求最值,考查基本求解能力,属基础题.3.设,则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解不等式,再根据解集关系确定充要关系.【详解】因为,所以,因为,所以,因为,所以“”是“”的必要而不充分条件,选B. 【点睛】本题考查解不等式以及充要关系,考查基本分析判断与求解能力,属基础题.4.阅读如图的程序框图,输出的值为（）。
2019年天津市部分区高考数学二模试卷(文科)
2019年天津市部分区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={1，3，5}，B ={x |2≤x ＜5}，C ={4，6}，则（A ∩B ）∪C =（ ）A. {1,3，4，5}B. {3,4，6}C. {3,4，5，6}D. {1,3，4，6} 2. 设变量x ，y 满足约束条件{x +y +1≤02x −y +1≥0x −2y −2≤0，则目标函数z =3x +y 的最小值是（ ）A. 0B. −1C. −73D. −1733. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A. 3B. −6C. 10D. −154. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 若a =-log 215，b =log 24.5，c =20.6，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >a >b6. 已知函数f （x ）=A sin （ωx +φ）+b （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的最大值为4．最小值为0．最小正周期为π2，直线x =π6是其图象的一条对称轴．则f （x ）的解析式为（ ）A. f(x)=4sin(4x −π6) B. f(x)=2sin(2x −π3)+2 C. f(x)=2sin(4x −π3)+2D. f(x)=2sin(4x −π6)+27. 已知双曲线x 22−y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M （x 0，y 0）在双曲线上，且满足MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≤0，则y 0取值范围是（ ）A. [−√33,√33] B. [−√36,√36] C. [−2√33,2√33] D. [−3√22,3√22] 8. 如图，AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（ ）A. −45 B. −1516 C. −14 D. −58二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. i 是虚数单位，复数z 满足z （3+i ）=l -i ，则|z |=______．10. 已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠l ），若曲线y =f （x ）在点（0，f （0））处的切线与直线y =x +l 垂直，则a 的值为______．11. 如图所示，若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为l ，则三棱锥C -DD 1B 1的体积为______． 12. 已知圆心在直线y =x 上的圆与直线x +y =0及x +y +4=0都相切，则圆的方程为______． 13. 已知x ，y ∈（0，+∞），(13)x−2=3y ，则4x +1y 的最小值为______．14. 已知函数f （x ）={x 3+1，0≤x ＜14x+1,x ≥1，若关于x 的方程f （x ）=kx +1有3个互异的实数解，则实数k 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知（3a +b ）cos C +c cos B =0．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若c =√6，△ABC 的面积为3√24，求a +b 的值．16. 某区在2019年教师招聘考试中，参加A 、B 、C 、D 四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B2176932%38612131%C442659%382258%D3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机抽取l人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）将应聘D岗位的男性教师记为A i（i=l，2，3），女性教师记为B i（i=l，2，3）．现从应聘D岗位的6人中随机抽取2人．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人性别不同”，求事件M发生的概率．17.如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ADE⊥平面BCDE，在△ADE中，AD=AE=√5，O为DE的中点，四边形BCDE是等腰梯形，BC=2DE=4，CD=BE=√5．（Ⅰ）求异面直线AD与BC所成角的正弦值；（Ⅱ）求证：平面AOB⊥平面AOC；（Ⅲ）求直线AC与平面AOB所成角的正切值．18.各项均为正数的等比数列{a n}满足a2=3，a4-2a3=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（2n-1）•log3a2n+2（n∈N*），数列{1b n }的前n项和为T n，证明：T n＜12．19.已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，且点（√2，1）在椭圈上．（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）设点A是椭圆的左顶点，点B在x轴上，若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求点B的横坐标的取值范围．20.已知函数f（x）=（x-3）e x+a（x-3）2（e为自然对数的底数），其中a∈R．（Ⅰ）若a=0，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）零点的个数．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={1，3，5}，B={x|2≤x＜5}，C={4，6}，∴A∩B={3}，（A∩B）∪C={3，4，6}．故选：B．先求出A∩B={3}，由此能求出（A∩B）∪C．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=3x+y，由图可知，当直线z=3x+y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为：3×（）-=．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.【答案】B【解析】解：i=1，i＜4是，i=1是奇数，S=0-1=-1，i=2，i＜4是，i=2不是奇数，S=-1+4=3，i=3i＜4是，i=3是奇数，S=3-9=-6，i=4，i＜4否，输出S=-6，故选：B．根据程序框图进行模拟运算计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．4.【答案】C【解析】解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理=，得sinA＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理=，得a＞b，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件．故选：C．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．5.【答案】A【解析】解：，20.6＜21=2；∴a＞b＞c．故选：A．容易得出，20.6＜2，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数的运算性质，以及对数函数、指数函数的单调性，增函数的定义．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为4．最小值为0．故：，解得：A=b=2．最小正周期为，所以：ω=4，直线x=是其图象的一条对称轴．则：（k∈Z）．解得：φ=（k∈Z），当k=0时，φ=-，故：函数的关系式为：f（x）=2sin（4x-）+2．故选：D．直接利用正弦型函数的性质的应用求出A，ω，φ的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】A【解析】解：双曲线=1的左、右焦点分别为F1（-，0），F2（，0），M（x0，y0）在双曲线上，且满足≤0，可得x02=2+2y02，（--x0，-y0）•（-x0，-y0）≤0，即有x02-3+y02≤0，即为2+2y02-3+y02≤0，即3y02≤1，解得-≤y0≤，故选：A．求得双曲线的焦点坐标，由M在双曲线上，代入双曲线方程，结合向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示，解不等式可得所求范围．本题考查双曲线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示，以及不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，=3，可得=-，=，=（+）•（+）=（+）•（-）=2-2=-1=-．故选：B．根据向量表示化简数量积，再由向量的平方即为向量模的平方，结合向量共线定理，即得结果．本题考查向量数量积的性质，考查基本分析求解能力，属基础题．9.【答案】√55【解析】解：由z（3+i）=l-i，得z=，∴|z|=．故答案为：．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.【答案】1e【解析】解：f（x）=a x的导数为f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为lna，切线与直线y=x+l垂直，可得lna=-1，解得a=．故答案为：．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，解方程可得a的值．本题考查导数的运用：求切线斜率，考查两直线垂直的条件，以及运算能力，属于基础题．11.【答案】16【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为l，∴三棱锥C-DD1B1的体积为：====．故答案为：．三棱锥C-DD1B1的体积为：=，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查正方体的结构特征、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．12.【答案】（x+1）2+（y+1）2=2【解析】解：由题意设圆心坐标为（a，a），则有=，解得a=-1，所以圆的圆心为（-1，-1），半径为r==；所以圆C的方程为（x+1）2+（y+1）2=2．故答案为：（x+1）2+（y+1）2=2．设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离列方程求出圆心和半径，即可写出圆的方程．本题考查了直线与圆的方程应用问题，是基础题．13.【答案】92【解析】解：∵x，y∈（0，+∞），=，∴x+y=2，∴则+=（）（x+y）==，当且仅当且x+y=2即x=取等号故答案为：由指数的运算性质可知，x+y=2，从而有+=（）（x+y），利用基本不等式可求本题主要考查了指数的运算性质及利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键是进行1的代换14.【答案】（0，1）【解析】解：关于x的方程f（x）=kx+1有3个互异的实数解等价于y=f（x）的图象与过定点（0，1）的直线有3个交点，如图所示：当y=f（x）的图象与过定点（0，1）的直线有3个交点时，实数k的取值范围是0＜k＜1，故答案为：（0，1）．由方程的解的个数与函数图象间的交点个数的关系及分段函数图象的作法，先作出y=f（x）的图象与过定点（0，1）的直线，再观察图象即可得解．本题考查了方程的解的个数与函数图象间的交点个数的关系及分段函数图象的作法，属中档题．15.【答案】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）∵（3a+b）cos C+c cos B=0，由asinA =bsinB=csinC，……（1分）∴（3sin A+sin B）cos C+sin C cos B=0，………………………………（2分）∴3sin A cos C+sin（B+C）=0，……………………………………………（4分）在△ABC中，由于sin（B+C）=sin A≠0，……………………………………（5分）∴cos C=-13．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）∵c=√6，由（Ⅰ）及由余弦定理，得6=a2+b2-2ab cos C，……（7分）即6=a2+b2-2ab×（-13），∴a2+b2+23ab=6，∴（a+b）2-43ab=6．（※）……………………（9分）由（Ⅰ）知sinC=√1−cos2C=2√23．……………………（10分）由题意，得S △ABC =12ab sin C =12×ab ×2√23=3√24， ∴ab =94．………………………（12分）结合（※）式，得a +b =3．……………………………………………（13分）【解析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得3sinAcosC+sin （B+C ）=0，结合sin （B+C ）=sinA≠0，从而可求cosC 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及由余弦定理，可得（a+b ）2-ab=6．利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，根据三角形的面积公式可求ab 的值，即可计算得解a+b 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人数为533+467=1000，………………………（1分）被录用的人数为264+169=433． …………………………………（2分）所以，从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000．…………………………………………（4分）（Ⅱ）记应聘D 学科的男性为A 1，A 2，A 3，应聘D 学科的女性为B 1，B 2，B 3， 从应聘D 学科的6人中随机选择2人，共有15种结果，分别为：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 1，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，……………………（8分）事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，…………（10分）∴事件M 发生的概率为P =m n =915=35．……………………（13分）【解析】（Ⅰ）表中所有应聘人数为533+467=1000，被录用的人数为264+169=433．由此能求出从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率．（Ⅱ）记应聘D 学科的男性为A 1，A 2，A 3，应聘D 学科的女性为B 1，B 2，B 3，从应聘D学科的6人中随机选择2人，利用列举法能求出事件M发生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE∥BC；所以∠ADE就是异面直线AD与BC所成的角，……（2分）在△ADE中，AD=AE，又O为DE的中点，所以AO⊥DE；在△ADO中，AD=√5，AO=2，；……（5分）所以异面直线AD与BC所成角的正弦值为2√55（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥DE，……………（6分）因为平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED=DE，且AO⊂平面A1DE，所以AO⊥平面BCED，……………………（7分）所以CO⊥AO；………………………（8分）在△OBC中，BC=4，易得OB=OC=2√2，所以CO⊥BO，又因为AO∩BO=O，所以CO⊥平面AOB；…………………（9分）又CO⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC；……………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知CO⊥平面AOB，所以直线AC与平面AOB所成角就是∠CAO；……………（11分）在Rt△AOC中，OC=2√2，AO=2，所以tan∠CAO=√2，所以直线AC与平面AOB所成角的正切值为√2．………………………（13分）【解析】（Ⅰ）找出∠ADE是异面直线AD与BC所成的角，在三角形中求出∠ADE的正弦值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知AO⊥DE，由平面ADE⊥平面BCED得出AO⊥平面BCED，CO⊥AO；再证明CO⊥BO，得出CO⊥平面AOB，即可得出平面AOB⊥平面AOC；（Ⅲ）找出直线AC与平面AOB所成的角是∠CAO，在Rt△AOC中求得tan∠CAO的值．本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的判定问题，也考查了空间角的计算问题，是中档题．18.【答案】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，由a2=3，a4-2a3=9得3（q2-2q）=9，解得q=3或q=-1．因为数列{a n}为正项数列，所以q=3，所以，首项a 1=a 2q =1， 故其通项公式为a n =3n -1，n ∈N *； （2）证明：由（1）得b n =（2n -1）•log 3a 2n +2=（2n -1）log 332n +1=（2n -1）（2n +1），所以1b n =1(2n−1)(2n+1)═12（12n−1-12n+1）， 即有前n 项和S n =12（1-13+13-15+…+12n−1-12n+1）=12（1-12n+1）＜12．【解析】（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果；（2）先化简b n ，再利用裂项相消法求和，即证得结果．本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得c a =√22且2a 2+1b 2=1， 又因为a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=2．所以，椭圆C 的方程为x 24+y 22=1． （Ⅱ）易知，“椭圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立”．依题意，点A （-2，0），设B （t ，0），P （m ，n ），则有m 2+2n 2=4，①， 且PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m ，−n)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −m ，−n)， 所以（-2-m ，-n ）•（t -m ，-n ）=0，即（-2-m ）（t -m ）+n 2=0．②，由①得，n 2=4−m 22代入②，得（-2-m ）（t -m ）+4−m 22=0，③， 因为-2＜m ＜2，所以③化为m -t +2−m2=0，即m =2t -2．所以-2＜2t -2＜2，解得0＜t ＜2．故所求点B 的横坐标的取值范围是（0，2）．【解析】（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．利用离心率列出方程求解a=2，b=．即可求出椭圆方程．（Ⅱ）“椭圆C上存在点P，使得∠APB=90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P，使得成立”．设B（t，0），P（m，n），则m2+2n2=4，且（（-2-m，-n）•（t-m，-n）=0，推出m=2t-2．利用-2＜m＜2，求解点B横坐标的取值范围．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由a=0，得f（x）=（x-3）e x，所以f'（x）=（x-2）e x，………………………………（2分）由f′（x）＜0得x＜2，由f′（x）＞0得x＞2，所以，函数f（x）的单调增区间是（2，+∞）；单调减区间是（-∞，2）．………（4分）（Ⅱ）f（x）=（x-3）[e x+a（x-3）]，易得函数f（x）有一个零点x=3．……………………………………………（5分）令g（x）=e x+a（x-3）．（1）若a=0，则g（x）=e x＞0，g（x）无零点，所以函数f（x）只有一个零点；………………………………………（6分）（2）若a≠0，则g'（x）=e x+a，①当a＞0时，有g'（x）＞0，所以函数g（x）在（-∞，+∞）上单调递增，而g（-1a ）=e−1a=3a=1＜0，g（3）=e3＞0，此时函数g（x）在（-1a，3）内有一个零点，所以f（x）有两个零点．……………………………………………………（7分）②当a＜0时，由g'（x）=e x+a=0，得x=ln（-a），所以函数g（x）在区间（-∞，ln（-a））单调递减，在区间（ln（-a），+∞）单调递增，所以函数g（x）min=g（ln（-a））=a[ln（-a）-4]．…………………………（8分）（ⅰ）当ln（-a）-4＜0，即-e4＜a＜0时，g（x）min=g（ln（-a））=a[ln（-a）-4]＞0，此时函数g（x）在其定义域内无零点，所以函数f（x）只有一个零点．（ⅱ）当ln（-a）-4=0，即a=-e4＜0，此时函数g（x）有一个零点为4，所以函数f（x）有两个零点．（ⅲ）当ln（-a）-4＞0，即a＜-e4时，g（x）min＜0，此时函数g（x）有两个零点，因为g（3）≠0，所以这两个零点均不为3．所以函数f（x）有三个零点．………………………………………………（12分）综上述，当a=0或-e4＜a＜0时，函数f（x）只有一个零点；当a＞0或a=-e4时，函数f（x）有两个零点；当a＜-e4时，函数f（x）有三个零点．………………………（14分）【解析】（Ⅰ）把a=0代入，先对已知函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解（Ⅱ）由f（x）=（x-3）[e x+a（x-3）]，易得函数f（x）有一个零点x=3，因此要求f（x）零点的个数，只要求解函数g（x）=e x+a（x-3）的零点个数，结合函数的导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合函数的零点判定定理进行判断即可本题主要考查了函数的导数在函数的单调性的判断中的应用，函数的单调性与函数的零点关系的应用，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性。
天津市部分区(五区联考)2019届高三下学期二模考试数学(文)试题含答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．5 10．e −1 11．1612．(x +1)2+(y +1)2=2 13．92 14．(0,1)三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵(3a +b )cos C +c cos B =0，由sin sin sin a b c A B C== ……1分 ∴(3sin A +sin B )cos C +sin C cos B =0， ………………………………2分 ∴3sin A cos C +sin (B +C )=0， ……………………………………………4分 在∆ABC 中，由于sin (B +C )=sin A ≠0， ……………………………………5分 ∴cos C =13−. ………………………………………………．．．．…………6分 （Ⅱ）∵c =√6，由（Ⅰ）及由余弦定理，得6=a 2+b 2−2ab cos C ，……7分即6=a 2+b 2−2ab ×(13−)， ∴a 2+b 2+23ab =6，∴(a +b )2−43ab =6.（※） ……………………9分由（Ⅰ）知sin C =√1−cos 2C =3. ……………………10分由题意，得S ∆ABC =12ab sin C =4，∴ab =94. ………………………12分 结合（※）式，得a +b =3. ……………………………………………13分16．解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人数为5334671000+=，………………………1分被录用的人数为264169433+=． …………………………………2分 所以，从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000. …………………………………………4分 （Ⅱ）记应聘D 学科的男性为123,,A A A ,应聘D 学科的女性为123,,B B B ，从应聘D 学科的6人中随机选择2人，共有15种结果：12{,},A A 13{,},A A 11{,},A B1213{,},{,}A B A B ，23{,},A A 212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}A B ，121323{,},{,},{,}.B B B B B B ……………………………………8分事件M “抽取的2人性别不同”情况有9种：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B ，212223{,},{,},{,}A B A B A B ，3132{,},{,},A B A B33{,}.A B …………………………………………10分 易得，其概率为93=155…………………………………………12分 所以事件M 发生的概率为35 ……………………………13分17．解：（Ⅰ）如图所示，四边形BCDE是等腰梯形，所以DE∥BC.所以∠ADE就是异面直线AD与BC所成的角，……2分在∆ADE中，AD=AE.又O为DE的中点，所以AO⊥DE.在∆ADO中，AD=√5,AO=2，所以异面直线AD与BC所成角的正弦值为5.……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥DE. ………………………………………6分因为平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED=DE,且AO⊂平面A1DE，所以AO⊥平面BCED，…………………………………………………… 7分所以CO⊥AO.……………………………………………………………8分在∆OBC中，BC=4，易得OB=OC=2√2，所以CO⊥BO，又因为AO∩BO=O，所以CO⊥平面AOB. ……………………………9分又CO⊂平面AOC，所以平面AOB⊥平面AOC.……………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知CO⊥平面AOB，所以直线AC与平面AOB所成角就是∠CAO. ……………………………11分在Rt∆AOC中，OC=2√2,AO=2，所以tan∠CAO=OCOA=√2，所以直线AC与平面AOB所成角的正切值为√2．………………………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，………………………………………1分由{a 4−2a 3=9,a 2=3 得{a 2(q 2−2q )=9,a 2=3………………………………2分 解得3q =或1q =-. …………… …………………………………………3分因为数列{a n }为正项数列，所以q =3， …………………………………5分所以，首项a 1=2a q=1， 故其通项公式为a n =3n−1. ………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n =(2n −1)∙log 3a 2n+2=(2n −1)(2n +1)， ………8分 所以11111()(21)(21)22121bn n n n n ==−−+−+…………………………10分 所以12111111111(1)23352121n n T b b b n n =+++=−+−++−−+L L 11=242n −+ 所以T n <12. …………………………………………………………………13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得2c a =且22211a b+= ，又因为a 2=b 2+c 2， ……………………………3分 解得a 2=4，b 2=2.所以，椭圆C 的方程为22142x y += . …………………………………………5分 （Ⅱ）易知，“椭圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点P ，使得PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立”． …………………………………6分依题意，点A (−2,0)，设B (t,0),P (m,n )，则有m 2+2n 2=4,① ……7分且PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−n )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −m,−n )， 所以(−2−m,−n )∙(t −m,−n )=0，即(−2−m )(t −m )+n 2=0. ② …………………………………………9分由①得， n 2=242m −代入②，得 (−2−m )(t −m )+242m −=0，③ …………………………………………10分 因为−2<m <2，所以③化为m −t +22m −=0， 即m =2t −2. ………………………………………………………………12分所以−2<2t −2<2，解得0<t <2.故所求点B 的横坐标的取值范围是(0,2)． ………………………………14分20．解：（Ⅰ）由a =0，得f (x )=(x −3)e x ，所以f′(x )=(x −2)e x ， ………………………………2分由f ′(x )<0得x <2, 由f ′(x )>0得x >2,所以，函数()f x 的单调增区间是()2+∞，；单调减区间是()2−∞，.………4分 （Ⅱ）f (x )=(x −3)[e x +a (x −3)]，易得函数f (x )有一个零点x =3. ……………………………………………5分令g (x )=e x +a (x −3).1）若a =0，则g (x )=e x >0，g (x )无零点，所以函数f(x)只有一个零点；………………………………………6分2）若a≠0，则g′(x)=e x+a，①当a>0时，有g′(x)>0，所以函数g(x)在(−∞,+∞)上单调递增，而g（1a−）=e−1a−1−3a<0, g(3)=e3>0，此时函数g(x)在1(3)a−,内有一个零点，所以f(x)有两个零点. ……………………………………………………7分②当a<0时，由g′(x)=e x+a=0，得x=ln(−a)，所以函数g(x)在区间(−∞,ln(−a))单调递减，在区间(ln(−a),+∞)单调递增，所以函数g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]. …………………………8分（ⅰ）当ln(−a)−4<0，即−e4<a<0时，g(x)min=g(ln(−a))=a[ln(−a)−4]>0,此时函数g(x)在其定义域内无零点，所以函数f(x)只有一个零点.（ⅱ）当ln(−a)−4=0，即a=−e4<0，此时函数g(x)有一个零点为4，所以函数f(x)有两个零点.（ⅲ）当ln(−a)−4>0，即a<−e4时，g(x)min<0，此时函数g(x)有两个零点，因为(3)0g≠，所以这两个零点均不为3.所以函数()f x有三个零点. ………………………………………………12分综上述，当a=0或−e4<a<0时，函数f(x)只有一个零点；当a>0或a=−e4时，函数f(x)有两个零点；当a<−e4时，函数f(x)有三个零点. ………………………14分。
天津市2019届高三第二次校模拟考试数学(文)试卷【含答案及解析】
天津市2019届高三第二次校模拟考试数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 若（为虚数单位），则实数的值为（）A. 1B. -1C.D. 22. 某工厂甲，乙，丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件，400件，300件，用分层抽样方法抽取容量为的样本，若从丙车间抽取6件，则的值为（）A. 18B. 20C. 24D. 263. 已知命题：，使，命题：集合有2个子集，下列结论：①命题“ ”真命题；②命题“ ”是假命题；③命题“ ”是真命题，正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 在如图所示的计算的程序框图中，判断框内应填入（）A. B. C. D.5. 设，且，则的大小关系为（）A. B. C. D.6. 已知等差数列的前项和为，且，若记，则数列（）A. 是等差数列但不是等比数列________B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列________D. 既不是等差数列又不是等比数列7. 已知为正实数，则的最大值为（）A. B. C. D.8. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题9. 已知集合，则集合中的最大整数为 __________ ．10. 已知圆的方程为，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为 __________ ．11. 从字母，，，，中任取两个不同字母，则取到字母的概率为______________ ．12. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为 __________ ．13. 已知双曲线（，）的一条渐进线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 __________ ．14. 直线与圆：相交于两点、 .若，为圆上任意一点，则的取值范围是 __________ ．三、解答题15. 已知是直线与函数图象的两个相邻交点，且 .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在锐角中，分别是角的对边，若的面积为，求的值.16. 本公司计划2008年在甲，乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲，乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲，乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲，乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？17. 如图在四棱锥中，平面，，且平分与交于点，为的中点，.（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）证明平面；（Ⅲ）求三棱锥的体积.18. 各项均为正数的数列的前项和为，且满足，各项均为正数的等比数列满足.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，①求；②若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.19. 如图，已知椭圆：的离心率为，的左顶点为，上顶点为，点在椭圆上，且的周长为 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上两不同点，，直线与轴，轴分别交于两点，且，求的取值范围.20. 已知函数．（Ⅰ ）当时，求的单调区间；（Ⅱ ）设函数在点处的切线为，直线与轴相交于点 . 若点的纵坐标恒小于 1 ，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
天津部分区联考2019届高三一模数学(文)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分。
天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题文
天津市和平区2019届高三数学下学期二模考试试题文温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共40分）注意事项:1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件互斥,那么如果事件相互独立,那么.柱体的体积公式. 锥体的体积公式.其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,表示柱体的高. 表示锥体的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1) 设全集，集合, ,则(A) (B) (C) (D)(2) 已知满足约束条件则的最小值为(A) 2 (B) 4 (C) (D)(3) 执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出(A) (B) (C) (D)(4) 下列结论错误的是(A) 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”(B) “”是“”的充分不必要条件(C) 命题：“，”的否定是“，”(D) 若“”为假命题，则均为假命题(5) 已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是(A) (B) (C) (D)(6) 将函数f(x)＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫x＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是(A)⎝⎛⎭⎪⎫π6，0 (B)⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0 (C)⎝⎛⎭⎪⎫π12，0 (D)⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0(7) 已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为(A) (B) (C) (D)(8) 在中，，，点是所在平面内的一点，则当取得最小值时，(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
天津市五区县高考数学二模试卷文科含答案解析
2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i 是虚数单位，复数 =〔 〕A ．B ．C ．D ．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查． 假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个社区驾驶员的总人数N 为〔〕A ．101B ．808C ．1212D ． 20213．命题p ：? x∈R，sin2x≤1，那么〔〕A ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0≥1B ．￢p ：?x∈R，sin2x≥1C ．￢p ：?x 0∈R，sin2x 0＞1D ．￢p ：?x∈R，sin2x ＞14．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜cF PF 为圆心，以 | F 1F2| 5．双曲线C 的左右焦点为F1，2，双曲线右支上任意一点，假设以 1为半径的圆与以P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔〕A ．B ．2C ．4D ．6．如图，圆O 的直径AB长度为10，CD 是点C 处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=〔〕A ．B ．C ．D ．7f x 〕 =sin2x+cos2x 的图象关于点〔 ab 〕成中心对称图形，假设 a．函数 〔+ ， ∈〔﹣ 0 〕那么ab= 〔 〕， +A ．πB ．C ．D ．08fx=gx=ax 3a00 ，假设函数 〕﹣ x1∈[，．函数〔〕〔 +〔＞〕，假设对?1x 2∈[0， ]，使得f 〔x 1〕=g 〔x 2〕成立，那么实数 a 的取值范围是〔〕]，总?第1页〔共19页〕A．〔﹣∞，6]B．[6，+∞〕C．〔﹣∞，﹣4]D．[﹣4，+∞〕二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..2xa=0无实根的概率901a x的一元二次方程x﹣+．从区间[，]上随机取一个实数，那么关于为_______．10．一个几何体的三视图〔单位：m〕如下图，那么此几何体的外表积为_______m211．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N的值是10，那么输出的S的值是_______．12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是_______．13O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，?=2，那么AB=_______．．14f x〕=，假设函数y=f x〕﹣ax1a．函数〔〔+恰有两个零点，那么实数的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C〔单位/kg〕300500300维生素D〔单位/kg〕700100300本钱〔元/kg〕543某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．第2页〔共19页〕〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为 xkg ，ykg ，100﹣x ﹣ykg 〔x ≥0，y ≥0〕，试列出x ，y 满足的数学关系式，并画出相应的平面区域； 〔2〕用x ，y 表示这100kg 混合食物的本钱z ，求出z 的最小值．16ABC的三个内角A， B ， C所对的边分别为abcacsinAcsinC﹣．△，，，且〔﹣〕+bsinB=0．〔1〕求B 的值；2 〕求 sinAsinC 的最大值及此时 A ， C 的值．〔 +17．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．18．椭圆 C ： +=1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为 4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点． 1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、 BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．（ 19．函数 f 〔x 〕=ax 2﹣lnx 〔a ∈R 〕1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．20 a n }与{b }满足：①a b 1=b 0 ② k 2 ﹣+b ﹣ ≥0 ，那么a， ， 当 ≥ 时，假设 ．数列{ ＜ ＞﹣1，b k = ；假设a k ﹣1+b k ﹣1＜0，那么a k = ，b k =b k ﹣1．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；〔Ⅱ〕设 S a b 2﹣ab a S a b 表示〕；n =〔 b 1﹣1〕+〔 2〕++〔 n ﹣n 〕，求 n 〔用 ，第3页〔共19页〕〔Ⅲ〕假设存在n ∈N *，对任意正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k ﹣1＞b k ，求n 的最大值〔用a ，b表示〕．第4页〔共19页〕2021年天津市五区县高考数学二模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共8个小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．i是虚数单位，复数=〔〕A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把分子利用虚数单位i的运算性质化简，然后分子分母同时乘以分母的共轭复数化简得答案．【解答】解：，应选：D．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员〔简称驾驶员〕对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．假设在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，那么这四个社区驾驶员的总人数N为〔〕A．101 B．808C．1212D．2021【考点】分层抽样方法．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808应选B．3．命题p：?x∈R，sin2x≤1，那么〔〕A．￢p：?x0∈R，sin2x0≥1B．￢p：?x∈R，sin2x≥1C．￢p：?x0∈R，sin2x0＞1D．￢p：?x∈R，sin2x＞1【考点】命题的否认．【分析】根据全称命题的否认是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，那么命题的否认为：：?x0∈R，sin2x0＞1，应选：C．第5页〔共19页〕4．a=log2，b=log 2，，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【考点】对数值大小的比拟．【分析】由条件利用对数函数和指数函数的单调性能比拟 a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：∵﹣1=＜a=log2＜log1=0，∴b=log 0.3=a 2＜，0＜＜0=1， b ＜a ＜c ． 应选：D ．5．双曲线 F PF为圆心，以|F 1F 2|C 的左右焦点为F 1， 2，双曲线右支上任意一点，假设以 1为半径的圆与以 P 为圆心，|PF 2|为半径的圆相切，那么C 的离心率为〔〕A ．B ．2C ．4D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据两圆相切的等价条件，结合双曲线的定义建立方程关系进行求解即可． 【解答】解：设两圆相切时的切点为 A ， |F 1F 2|=c ，∴PA=c ，|PF 1|﹣|PF 2|=|PA|+|AF 1|﹣|PF 2|=|AF 1|=2a ，∵|AF 1|=c ， c=2a ，即离心率 e= =2， 应选：B ．第6页〔共19页〕6．如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，假设BC=8，那么CD=〔〕A．B．C．D．【考点】弦切角．【分析】利用弦切角定理可得∠DCA=∠CBA，分别求出其余弦值，即可解得CD的值．【解答】解：∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，cos∠CBA==，又AD⊥CD，cos∠DCA===，∵由可得：∠DCA=∠CBA，∴cos∠DCA=cos∠CBA，可得：=，进而解得：CD=．应选：D．7．函数f〔x〕= sin2x+cos2x+的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，假设a∈〔﹣，0〕那么a+b=〔〕A．πB．C．D．0【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用两角和的正弦化简，由相位落在x轴上求得x值，可得a，b的值，那么答案可求．【解答】解：∵f〔x〕=sin2x+cos2x+=．由，得x=．∵a∈〔﹣，0〕，取k=0，得x=．又f〔x〕的图象关于点〔a，b〕成中心对称图形，∴，那么a+b=0．应选：D．第7页〔共19页〕8．函数f〔x〕=，假设函数g〔x〕=ax﹣+3〔a＞0〕，假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，那么实数a的取值范围是〔〕A ．〔﹣∞6]B6∞〕C∞4D4∞，．[，+．〔﹣，﹣]．[﹣，+〕【考点】全称命题．【分析】函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈.时，f〔x〕=，利用导数研究函数的单调性可得：f〔x〕∈．可得?x1∈[0，1]，f〔x1〕∈[01gx〕=ax3a0〕在[]上单调递增，由于对，]．由于函数〔﹣+〔＞，?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得〔fx1〕=g〔x2〕成立，可得[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，即可得出．【解答】解：函数f〔x〕=，当时，f〔x〕∈．时，f〔x〕=，f′〔x〕==＞0，∴函数f〔x〕在上单调递增，∴ f〔x〕∈．?x1∈[0，1]，∴f〔x1〕∈[0，1]．gx〕=ax﹣3a0〕在[]上单调递增，由于函数〔+〔＞，假设对?x1∈[0，1]，总?x2∈[0，]，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，∴[0，1]∈{g〔x〕|x∈}，∴，解得a≥6．应选：B．二、填空题：本大题共/6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上..第8页〔共19页〕2xa=0 无实根的概率91ax 的一元二次方程x﹣+．从区间[ ，]上随机取一个实数，那么关于为 ．【考点】几何概型．【分析】根据关于 x 的一元二次方程x 2﹣x+a=0无实根，得到△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，从而求出符合条件的事件的概率．x 2xa=0【解答】解：假设关于 x的一元二次方程 无实根，﹣+那么△=1﹣4a ＜0，解得：a ＞，“0 1]上随机取一个实数 ax的一元二次方程x 2xa=0〞设事件从区间[， ，那么关于﹣+ 无实根为事件A ，那么P 〔A 〕== ，故答案为：．10．一个几何体的三视图〔单位：m 〕如下图，那么此几何体的外表积为12π+12m 2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是半个圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和三角形的面积公式求出此几何体的外表积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆锥，且底面圆的半径 r=3m 、圆锥的高是4m ，那么母线l= =5〔m 〕，∴此几何体的外表积S===12π+12〔m2〕，故答案为： 12π12．+11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，如果输入的N 的值是10，那么输出的 S 的值是．第9页〔共19页〕【考点】程序框图．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得N=10，S=0，k=1执行循环体，S=，满足条件k≤10，执行循环体，k=2，S=+，满足条件k≤10，执行循环体，k=3，S=++，满足条件k≤10，执行循环体，k=11，S=++++，不满足条件k≤10，退出循环，输出S=+=1++〔﹣〕+〔﹣〕++〔﹣〕+〔﹣〕=．故答案为：．12．函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，且f〔x〕在[0，+∞〕上单调递减，假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么实数m的取值范围是〔﹣∞，〕．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性可得|m|＜|1﹣m|，由此求得m的范围．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，∴f〔x〕的图象关于y轴对称．∵f x〕在[，+∞〕上单调递减，∴f〔x〕在〔﹣∞0上单调递增，〔，]假设f〔m〕＞f〔1﹣m〕，那么|m|＜|1﹣m|，∴m＜，故答案为：．第10页〔共19页〕13．O是△ABC的外接圆的圆心，假设AC=3，? =2，那么AB=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把=代入? =2，再转化为与的等式求解．【解答】解：如图，? =，∵AC=3，∴，那么，∴AB=．故答案为：．14．函数f〔x〕=，假设函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，那么实数a的取值范围是a≤0或1≤a＜2．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数f〔x〕=的图象，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，即函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，利用图象，即可得出结论．【解答】解：函数f〔x〕=，图象如下图，函数y=f x〕﹣ax1y=f x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，〔+恰有两个零点，即函数〔由图可得a≤0时，函数y=f〔x〕﹣ax+1恰有两个零点，1，1〕代入y=ax﹣1得a=2，∴1≤a＜2．函数y=f〔x〕与y=ax﹣1恰有两个交点，综上所述，a≤0或1≤a＜2．故答案为：a≤0或1≤a＜2．第11页〔共19页〕三、解答题：本大题共6小题，总分值80分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤15．甲、乙、丙三种食物的维生素及本钱入戏表实数：食物类型甲乙丙维生素C〔单位/kg〕300500300维生素D〔单位/kg〕700100300本钱〔元/kg〕543某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．〔1〕设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100﹣x﹣ykg〔x≥0，y≥0〕，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；〔2〕用x，y表示这100kg混合食物的本钱z，求出z的最小值．【考点】简单线性规划．【分析】〔1〕根据条件建立不等式关系，即可作出对应的平面区域．2〕根据线性规划的应用进行平移求解即可．【解答】解：〔I〕因为x≥0，y≥0，那么，化简为，结合100﹣x﹣y≥0，可列出x，y满足的数学关系式为，在xOy平面中，画出相应的平面区域如下图；II〕这100kg混合食物的本钱z=5x+4y+3=2x+y+300，平面区域是一个三角形区域，顶点为A〔，25〕，B〔50，50〕，C〔75，25〕，目标函数z=2x+y+300在经过点A〔，25〕时，z取得最小值400元．第12页〔共19页〕16ABC的三个内角 A， B ， C 所对的边分别为 a bc acsinAcsinC﹣．△，，，且〔﹣〕 +bsinB=0．〔1 〕求B 的值； 2 〕求 sinA sinC 的最大值及此时 A ， C 的值．〔 +【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】〔1〕根据正弦定理化简的式子， 再由余弦定理求出cosB ，由内角的范围求出B ；〔2〕由〔I 〕和内角和定理求出C ，代入sinA+sinC 后利用两角和与差的正弦公式化简，利用正弦函数的性质求出式子sinA +sinC 的最大值，以及此时 A ，C 的值．1a c 〕 sinAcsinC ﹣ bsinB=0 ，【解答】解：〔〕由得，〔﹣+根据正弦定理得〔 ac ac 2 ﹣ b 2﹣〕+=0，化简得b 2=a 2+c 2﹣ac由余弦定理得 b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，所以cosB= ，由0＜B ＜π得B=〔II 〕由〔I 〕得：C=π﹣A ﹣B=，sinA sinC=sinAsin〕++〔==当时，所以当A= 时，且C= ，sinA+sinC 取得最大值．（ 17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥BC ，平面PACD 为直角梯形，∠PAC=90°，PD ∥AC ，PA=AB=PD=1，AC=2，∠BAC=120° 1〕求证：PA ⊥AB ；2〕求直线BD 与平面PACD 所成角的正弦值； 3〕求二面角D ﹣BC ﹣A 的平面角的正切值．第13页〔共19页〕【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．【分析】〔Ⅰ〕由PA⊥BC，PA⊥AC，得到PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥AB．〔Ⅱ〕过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角，由此能求出直线BD与平面PACD所成角的正弦值．〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BC﹣A 的平面角的正切值．【解答】〔本小题总分值13分〕证明：〔Ⅰ〕因为PA⊥BC，∠PAC=90°，即PA⊥AC，因为AC，BC交于点C，所以PA⊥平面ABC，而AB?底面ABC，所以PA⊥AB．解：〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，平面PACD⊥平面ABC，过点B作BM⊥CA交CA延长线于点M，连结DM，那么∠BDM即是直线BD与平面PACD所成角；取AC的中点E，连接BE，DE，那么DE∥PA；在△ABE中，AB=AE=1，∠BAE=120°，所以BE==，，所以因为DE∥PA，所以DE⊥平面ABC，BD==2，在直角三角形△BDM中，，即直线BD与平面PACD所成角的正弦值为．〔Ⅲ〕过点E作EF⊥BC，垂足为F，连接DF，那么∠DFE为二面角D﹣BC﹣A的平面角，在△EBC中，，那么BC==，，，，即二面角D﹣BC﹣A的平面角的正切值为．第14页〔共19页〕18．椭圆 C ： + =1〔a ＞b ＞0〕上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C 的短轴为直径的圆 O 经过两个焦点， A ，B 是椭圆C 的长轴端点．1〕求椭圆C 的标准方程和圆O 的方程；2〕设P 、Q 分别是椭圆C 和圆O 上位于y 轴两侧的动点，假设直线PQ 与x 平行，直线AP 、BP 与y 轴的交点即为 M 、N ，试证明∠MQN 为直角．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的定义和a ，b ，c 的关系，解方程可得椭圆的方程和圆的方程；〔2〕设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，求得M ，代入椭圆方程，求得 P 的坐标，求出直线BP 的方程，可得N 的坐标，设Q 〔x Q ，y 0〕，求得向量QM ，QN 的坐标，运用向量数量积计算即可得证．【解答】解：〔1〕由椭圆定义可得2a=4，又b=c 且b 2+c 2=a 2，解得a=2，b=c= ，即椭圆 C 的标准方程为 ，那么圆O 的方程为 x 2+y 2=2；2〕证明：设P 〔x 0，y 0〕，直线AP ：y=k 〔x+2〕〔k ≠0〕，令x=0可得M 〔0，2k 〕．将和 y=kx2k 0〔+〕〔 ≠〕联立可得（ 2k 2+1〕x 2+8k 2x +8k 2﹣4=0，第15页〔共19页〕那么 ，， ，故 ，直线BP 的斜率为 ，直线BP ： ，令x=0可得 ．设Q 〔x Q ，y 0〕，那么，由， ，可得 ，所以 ，即∠MQN 是定值90°．19．函数 f 〔x 〕=ax 2﹣lnx 〔a ∈R 〕1〕当a=1时，求曲线y=f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕的切线方程； 2〕假设?x ∈〔0，1]，|f 〔x 〕|≥1恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f ′〔1〕，f 〔1〕，求出切线方程即可；〔2〕求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合函数的单调性确定出 a 的具体范围即可． 【解答】解：〔1〕a=1时，f 〔x 〕=x 2﹣lnx ，f ′〔x 〕=2x ﹣ ， 因为f'〔1〕=1，f 〔1〕=1， 所以切点为〔1，1〕， 切线方程为 y=x ．〔2〕由得 f ′〔x 〕=2ax ﹣ ．① 假设 f ′x 〕≤ 0 在〔 0 1 2a〔 ，]上恒成立，那么 ≤恒成立，所以2a ≤ =1，即a ≤．即a ≤时，f 〔x 〕在〔0，1]单调递减，〔f 〔x 〕〕min =f 〔1〕=a ，与|f 〔x 〕|≥1恒成立矛盾．②当 a时，令 f ′x 〕 =2ax ﹣=0 ，得 x=01]，＞ 〔∈〔，第16页〔共19页〕所以当x∈〔0，〕时，f′〔x〕＜0，f〔x〕单调递减；当x∈〔1]时，f′x〕＞0f x〕单调递增．，〔，〔所以〔f〔x〕〕min=f〔〕=〔1+ln2a〕，由|f〔x〕|≥1得，〔1+ln2a〕≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞〕．20．数列{a n}与{b n}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，假设a k﹣1+b k﹣1≥0，那么a k=a k﹣1，b k=；假设a k﹣1+b k﹣1＜0，那么a k=，b k=b k﹣1．〔Ⅰ〕假设a=﹣1，b=1，求a2，b2，a3，b3的值；S a b2﹣a b a S a b表示〕；〔Ⅱ〕设n=〔b1﹣1〕+〔2〕++〔n﹣n〕，求n〔用，〔Ⅲ〕假设存在n∈N *，对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有b﹣＞b，求n的最大值〔用k1ka，b表示〕．【考点】数列的应用．【分析】〔Ⅰ〕由题意可直接写出答案；〔Ⅱ〕分情况计算b﹣a，得{b﹣a}是以b﹣a=b a为首项，为公比的等比数列，从k k k k11﹣而可得S n；〔Ⅲ〕由b k﹣1＞b k，数列{a n}与{b n}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a=a，解之即可．k，结合〔Ⅱ〕知【解答】解：〔Ⅰ〕a2=﹣1，b2=0，a3=，b3=0；〔Ⅱ〕∵=，=，∴无论是a k﹣1+b k﹣1≥0，还是a k﹣1+b k﹣1＜0，都有b k﹣a k=，即{b k﹣a k}是以b1﹣a1=b﹣a为首项，为公比的等比数列，所以S a ba b a=；n=〔b1﹣1〕+〔2﹣2〕++〔n﹣n〕〔Ⅲ〕∵b k﹣1＞b k，及数列{a n}与{b n}满足的关系，a k﹣1+b k﹣1≥0，∴a k=a k﹣1，即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有a k=a，第17页〔共19页〕由〔Ⅱ〕知b﹣a=，∴b=a+，k k k所以a k﹣1+b k﹣1=，解得，所以n的最大值为不超过的最大整数．第18页〔共19页〕2021年9月8日第19页〔共19页〕。