专题06 直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)

七年级数学下册解法技巧思维培优
专题06 直角坐标系中三角形面积的相关问题典例题型一利用点的坐标求面积
1．如图,三角形ABC的顶点坐标分别是A〔﹣1,2〕,B〔﹣3,0〕,C〔2,0〕,求△ABC的面积．
【点睛】根据点的坐标得到BC＝5,BC上的高为2,然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：△ABC的面积=1
2
×〔2+3〕×2＝5．
2．〔2021•信丰期末〕在平面直角坐标系中,点A〔1,﹣1〕,B〔1,4〕,C〔﹣3,1〕、〔1〕在图中画出△ABC；
〔2〕求△ABC的面积．
【点睛】〔1〕描点、连线即可得；
〔2〕根据三角形的面积公式计算可得．
【详解】解：〔1〕如下图,△ABC即为所求：
〔2〕△ABC 的面积为12×5×4＝10． 3．〔2021•河北期末〕如图,在平面直角坐标系中,点A 〔0,4〕,B 〔8,0〕,C 〔8,6〕三点．
〔1〕求△ABC 的面积；
〔2〕如果在第二象限内有一点P 〔m ,1〕,且四边形ABOP 的面积是△ABC 的面积的两倍；求满足条件的P 点的坐标．
【点睛】〔1〕由点的坐标得出BC ＝6,即可求出△ABC 的面积；
〔2〕求出OA ＝4,OB ＝8,由S 四边形ABOP ＝S △AOB +S △AOP 和条件得出方程,解方程即可．
【详解】解：〔1〕∵B 〔8,0〕,C 〔8,6〕,
∴BC ＝6,
∴S △ABC =12
×6×8＝24； 〔2〕∵A 〔0,4〕〔8,0〕,
∴OA ＝4,OB ＝8,
∴S 四边形ABOP ＝S △AOB +S △AOP
=12×4×8+12×4〔﹣m 〕＝16﹣2m ,
又∵S 四边形ABOP ＝2S △ABC ＝48,
∴16﹣2m ＝48,
解得：m ＝﹣16,
∴P 〔﹣16,1〕．
典例题型二 利用面积求点的坐标
4．A 〔﹣3,0〕,B 〔2,0〕,C 〔﹣2,1〕,点D 是y 轴上的一点．
〔1〕假设A 、B 、C 、D 所组成的四边形的面积为15,求D 点坐标；
〔2〕假设A 、B 、C 、D 所组成的四边形面积小于15,求D 点纵坐标的取值范围．
【点睛】〔1〕可分别点D 在y 轴的正半轴上和点D 在y 轴的负半轴上两种情况计算；
〔2〕由〔1〕中点D 的坐标可确定出D 的取值范围．
【详解】解：〔1〕如图1所示：
设点D 的坐标为〔0,m 〕．
∵S ABCD ＝S △ABC +S BCEF ﹣S △CED ﹣S △BDF ,
∴12×5×1+12(m −1+m)×4−12×2×(m −1)−12×2×m =15．
解得：m ＝6.75．
如图2所示：
∵S ACBD ＝S △ABC +S ABD ,
∴12×5×1+12×5×(−m)=15．
解得：m ＝﹣5．
综上所述点M 的坐标为〔0,﹣5〕或〔0,6.75〕．
〔2〕由〔1〕可知点D 纵坐标的取值范围是﹣5＜D y ＜6.75．
5．平面直角坐标系中,A 〔﹣1,2〕,B 〔2,1〕,线段AB 交y 轴于C 点
〔1〕求点C 的坐标；
〔2〕在y 轴上的点P ,假设△ABP ≤6,求出P 点纵坐标的取值范围．
【点睛】〔1〕运用待定系数法可求出直线AB 的解析式,只需令x ＝0,就可得到直线AB 与y 轴交点C 的坐标；
〔2〕运用割补法可得到CP 的范围,然后根据CP ＝|y P ﹣y C |,就可求出P 点纵坐标的取值范围．
【详解】解：〔1〕设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ,
那么有{−k +b =22k +b =1
, 解得{k =−13b =53． 故直线AB 的解析式为y =−13x +53．
当x ＝0时,y =53,
那么点C 的坐标为〔0,53〕； 〔2〕∵A 〔﹣1,2〕,B 〔2,1〕,
∴|x A |＝1,|x B |＝2,
∴S △ABP ＝S △ACP +S △BCP
=12CP •|x A |+12CP •|x B |
=12CP •1+12CP •2
=32CP ．
∵S △ABP ≤6,
∴32CP ≤6, ∴CP ≤4,
∴|y P −53|≤4,
∴﹣4≤y P −53≤4,
∴−73≤y P ≤173．
∴P 点纵坐标的取值范围为−73≤y P ≤173．
6．〔2021•金乡县校级期末〕如图,在△AOB 中,A 、B 两点的坐标分别为〔2,4〕和〔6,2〕,求△AOB 的面积．
【点睛】过A 作水平线l 交y 轴于点E ,过B 作垂线,交直线l 与点C ,交x 轴于点D ,四边形面积ECDO 为
24．△OAB 的面积为24减去三个直角三角形的面积,△ABO 面积为24﹣4﹣6﹣4＝10．
【详解】解：如图,过A 作水平线l 交y 轴于点E ,过B 作垂线,交直线l 与点C ,交x 轴于点D ,那么 S 矩形ECDO ＝6×4＝24,
S Rt △AEO =12×4×2＝4；
S Rt △ABC =12×2×4＝4；
S Rt △OBD =12×6×2＝6；
那么S △OAB ＝S 矩形ECDO ﹣S Rt △ABC ﹣S Rt △AEO ﹣S Rt △OBD ＝10．
故三角形AOB 的面积是10．
7．如下图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的边在AB在x轴,A〔﹣2,0〕,C〔2,4〕,S△ABC＝6,画出符合条件的三角形ABC,并直接写出点B的坐标．
【点睛】建立平面直角坐标系并分点B在点A的左边和右边两种情况写出点B的坐标即可．
【详解】解：∵AB在x轴,A〔﹣2,0〕,C〔2,4〕,S△ABC＝6,
∴AB＝3,
△ABC如下图,
点B在点A的左边时,﹣2﹣3＝﹣5,
所以,点B的坐标为〔﹣5,0〕,
点B'在点A的右边时,﹣2+3＝1,
所以,点B '的坐标为〔1,0〕；
稳固练习
1．在平面直角坐标系中有两个动点A 〔a ,0〕、B 〔0,a 〕和一个固定的点C 〔6,1〕〔a ＞0〕,假设△ABC 的面积是5,求a 的值．
【点睛】过点C 作CD ⊥x 轴于D ,然后分a ＞6和a ＜6两种情况表示出△ABC 的面积,再解关于a 的方程即可得解．
【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ,
①a ＞6时,如图1,S △ABC =12a 2−12〔1+a 〕×6−12〔a ﹣6〕×1＝5,
整理得,a 2﹣7a ﹣10＝0,
解得a 1=7+√892,a 2=7−√892
〔舍去〕, ②a ＜6时,如图2,S △ABC =12〔1+a 〕×6−12〔6﹣a 〕×1−12a 2＝5,
整理得,a 2﹣7a +10＝0,
解得a 1＝2,a 2＝5,
综上所述,a 的值为7+√892或2或5．
2．〔2021•南通月考〕在平面直角坐标系中,A 、B 、C 三点的坐标分别为〔﹣2,4〕、〔﹣3,0〕、〔4,0〕． 〔1〕画出△ABC ；
〔2〕△ABC 的面积为 14 ．
【点睛】〔1〕根据A 、B 、C 三点的坐标分别为〔﹣2,4〕、〔﹣3,0〕、〔4,0〕．画出△ABC 即可；
〔2〕根据网格即可求出△ABC 的面积．
【详解】解：〔1〕如图,
△ABC 即为所求；
〔2〕△ABC 的面积为：12×7×4＝14． 故答案为14．
3．〔2021•成武期末〕如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A 〔0,0〕,B 〔7,0〕,C 〔9,5〕,D 〔2,7〕．
〔1〕在坐标系中,画出此四边形；
〔2〕求此四边形的面积．
【点睛】〔1〕补充成网格平面直角坐标系,然后确定出点B、C、D的位置,再与点A顺次连接即可；〔2〕利用四边形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计算即可得解．
【详解】解：〔1〕四边形ABCD如下图；
〔2〕四边形的面积＝9×7−1
2
×2×7−12×2×5−12×2×7,
＝63﹣7﹣5﹣7,＝63﹣19,
＝44．
4．〔2021•九龙坡区期末〕在平面直角坐标系中,有A〔0,a〕,B〔b,0〕两点,且a,b满足b=√a2−4+√4−a2+12
a−2
〔1〕求A,B两点的坐标；
〔2〕假设点P在x轴上,且△P AB的面积为6,求点P的坐标．
【点睛】〔1〕由二次根式的被开方数是非负数可以求得a、b的值．那么易求点A、B的坐标．〔2〕设P〔x,0〕,由三角形的面积公式解答．
【详解】解：〔1〕依题意,得：{a2−4≥0 4−a2≥0 a−2≠0
,
解得a＝﹣2；那么b＝﹣3．
所以A 〔0,﹣2〕,B 〔﹣3,0〕；
〔2〕设P 〔x ,0〕,
由题意知,12|x +3|×2＝6． 解得x ＝3或x ＝﹣9．
所以点P 的坐标〔3,0〕或〔﹣9,0〕．
5．〔2021•濉溪期末〕在如下图的平面直角坐标系中,作出以下坐标的A 〔﹣3,2〕,B 〔0,﹣4〕,C 〔5,﹣3〕,D 〔0,1〕．并求出四边形ABCD 的面积．
【点睛】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如下图,S 四边形ABCD =12×5×3+12×5×5=20．
6．〔2021•越秀区校级月考〕如图,△ABC 〔网格中每个小正方形的边长均为1〕．
〔1〕三个顶点坐标分别为：A 〔﹣1,4〕 ,B 〔﹣4,﹣1〕 ,C 〔1,1〕 ；
〔2〕求三角形ABC 的面积．
【点睛】〔1〕根据图象得出点的坐标即可；
〔2〕根据A、B、C的坐标求出正方形EFGB的边长,求出△AEB、△AFC、△BGC的边长,再根据面积公式求出即可．
【详解】解：〔1〕A点的坐标是〔﹣1,4〕,B点的坐标是〔﹣4,﹣1〕,C点的坐标是〔1,1〕,
故答案为：〔﹣1,4〕,〔﹣4,﹣1〕,〔1,1〕；
〔2〕
过C作X轴的垂线,分别过A作EF⊥y轴,过C作FG⊥x轴,过B作BE⊥x轴,BG⊥y轴,EF交BE于E,EF 交FG于F,BG交FG于G,
∵A点的坐标是〔﹣1,4〕,B点的坐标是〔﹣4,﹣1〕,C点的坐标是〔1,1〕,
∴EF＝4+1＝5,BE＝1+4＝5,AE＝4﹣1＝3,AF＝1﹣〔﹣1〕＝2,CF＝4﹣1＝3,CG＝1+1＝2,
∴△ABC的面积S＝S正方形EFGB﹣S△BEA﹣S△AFC﹣S△BGC＝5×5−1
2
×3×5−12×2×3−12×5×2=9.5．。