七年级数学角练习题课堂讲义
人教版初一数学上册 角 讲义
角知识点一、角的概念由两条有公共端点的射线组成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的边，这个公共端点叫做角的顶点。
例1、写出下列角的名称（）（）（）（）（）角的符号时“∠”，有三种表示方法：①用角的两边和角的顶点的字母来表示，如∠AOB、∠O②用数字书写在角的内部来表示，如∠1、∠2③用希腊字母来表示，如∠α、∠β注意：∠AOB的顶点必须是点O若∠O的顶点有2个或以上的角，则不能用一个字母的方法∠O表示它例3、下列四个图形中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是（）例4、如图，下列说法错误的是（）A、∠DAE也可以表示为∠AB、∠1也可以表示为∠ABCC、∠BCE也可以表示为∠CD、∠ABD是一个平角知识点二、余角和补角总结：1、直角为90°，平角为180°，周角为360°2、若两个角相加等于90°，那么它们互为余角，简称“互余”3、若两个角相加等于180°，那么它们互为补角，简称“互补”例1、∠1和∠2互余，∠1=30°，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=90°，则∠2=______ 例2、∠1和∠2互余，∠1=x，则∠2=______；∠1和∠2互补，∠1=x，则∠2=______，则这个角的度数是____________例3、一个角的余角是这个角的补角的13例4、一个角的补角比这个角的余角的3倍少16°，求这个角的度数1、∠α的余角等于30°，那么∠α的补角=_____；∠α的补角等于140°，那么∠α的余角=_____2、已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，若∠1=63°，则∠3=_____3、互补的两个角中，一个角的2倍比另一个角的3倍少10°，则这两个角分别是_________4、∠α的补角是它的余角的4倍，则∠α=_____5、一个角是它的余角的2倍，那么这个角是它补角的_____倍6、∠α=2∠β，∠α的余角的3倍等于∠β的补角，则∠α=_____，∠β=_____7、如果∠A的补角与∠A的余角互补，那么2∠A=_____8、一个锐角的补角比它的余角大____________9、如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，则∠1与∠3的关系是________________10、两个角的大小之比是7：3，他们的差是72°，则这两个角的关系是_____________11、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EG。
角和余角补角-讲义(教师版)
角和余角补角一、课堂目标1.掌握角的定义和表示，会比较角的大小．2.理解角平分线的定义，能正确完成角度的相关计算和换算．3.理解余角补角的定义与性质，能正确完成余角补角的相关计算．【备注】【目标解读】a.关联知识：本讲属于初中数学——几何初步这个模块，学好本讲知识将在后面的几何知识学习中帮助学生完成角的计算或数量关系的确定；本讲知识在阶段性考试中属于必考内容.b.本讲解读：本讲重点内容是角的相关计算，请教师通过【经典例题】的讲解来展示角度计算的思路和完整的解答过程，并在后面的【题目练习】中重点关注学生解题过程的书写；本讲的难点内容是：余角补角的性质，请教师先讲解余角补角性质、再展示直接运用性质完成计算或确定数量关系.c.能力素养：主要培养学生的几何直观能力和计算能力.二、知识讲解1. 角的概念及运算角的概念从静的角度认识角从动的角度认识角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．角的表示方法角的表示三个大写字母一个大写字母数字小写希腊字母或【备注】【教学建议】提醒学生注意：①用三个大写字母表示时，表示顶点的字母必须写在中间．其他两个字母可以调换位置，如图也可记为，但不能写成或等．②用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③当在一个顶点处有两个或两个以上的角时，其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示．④在角的内部靠近顶点处画弧线，用单独的一个数字来表示．⑤用同一个数字或小写的希腊字母不能表示超过一个以上的角．经典例题1A.就是B.可以用表示C.和是同一个角D.和不是同一个角A 选项：B 选项：【解析】如图所示，下列说法中正确的是（ ）．【答案】B 是单独一个角，不明确，故错误；，故正确；C 选项：D 选项：【标注】与是两个不同的角，故错误；与是同一个角，故错误．故选 B .【知识点】角的表示方法思路梳理知识点：1、2、3、题目练习1A.与表示同一个角B.表示的是C.也可用表示D.图中共有三个角，，【标注】如图所示，下列表示角的方法错误的是（）．【答案】C【知识点】角的表示方法角的换算与大小比较以度、分、秒为基本单位的角的度量值，叫做角度值．①把一个周角等分，每一份就是度的角，记作．②把的角等分，每一份就是分的角，记作．③把的角等分，每一份就是秒的角，记作．，，．，，．周角，平角．【注意】由大化小乘以进率，由小化大除以进率经典例题2A.B. C.D.【解析】【标注】若，，，则有（ ）．【答案】C ∵，，∴，∵，∴，∴．故选．【知识点】角的大小比较思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习21.【标注】【答案】【能力】运算能力【知识点】角度换算A.一定大于B.一定小于C.一定等于D.可能大于、等于或小于2.已知是直线上一点（点在点、之间），是一条射线，则与的大小关系是（）．。
【精品讲义】七年级上册数学 角
xx一对一辅导讲义学生姓名年级七年级科目数学授课教师上课时间年月日课时2h教学课题角的计算和证明教学目标1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．教学重点与难点掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．教学过程考点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．图1 图2（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3. 角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角（牢记三角板角度）．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．考点二、角的比较与运算1. 角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3. 角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．考点三、余角和补角1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。
七年级数学上册专题复习讲义第十二讲角的初步认识(二)(pdf)新人教版
第十三讲角的初步认识（二）一、知识精讲1.角的定义角的定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。
角的定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2.角的大小比较（1）叠合法；（2）度量法3.余角和补角如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.二、典例解析【例1】（2017洪山区期末）如图，点O位直线AB上一点，∠COE=90°，OF平分∠AOE.（1）如图，若∠COF＝25°，则∠BOE=.若∠COF＝α，则∠BOE＝.（2）当射线OE绕点O旋转到如图所示的位置时其他条件不变①中的∠COF与∠B OE的数量关系是否仍然成立？请说明理由。
（3）如图3在（2）的条件下，在∠BOE的内部是否存在射线OD，使得∠BOD＝105°，且∠COF＝4∠DOE，若存在，求出∠AOC的度数，若不存在，请说明理由.【练1】如图l，已知∠AOC=m°，∠BOC=n°且m、n满足等式|3m－420|+(2n －40)=0，射线OP从OB处绕点0以4度／秒的速度逆时针旋转．（1）试求∠AOB的度数；54=∠+∠∠BOC DOE COE （2）如图l，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OQ 从OA 处以l 度／秒的速度绕点O 顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得∠POQ =10°？（3）（2012，青山区）如图2，若射线OD 为∠AOC 的平分线，当射线OP 从OB 处绕点O 开始逆时针旋转，同时射线OT 从射线OD 处以x 度／秒的速度绕点O 顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线OE 处（OE 在∠DOC 的内部）时，且试求x .【例2】（2017江汉区期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方.（1）将图1中的三角板点O旋转至图2所示位置，使OM恰好平分∠BOC，问：线段ON的反向延长线是否平分∠AOC？为什么？（2）将图1中的三角板绕点O按每秒6度的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON恰好平分∠AOC，则t的值是.（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3所示位置，请探究：∠AOM与∠NOC之间有什么样的数量关系？并说明理由.【例3】（2017东西湖区期末）∠AOB＝80°，∠COD＝40°，OF为∠AOD的角平分线.（1）如图1，若∠COF＝10°，则∠BOD＝________；若∠COF＝m°，则∠BOD＝；猜想：∠BOD与∠COF的数量关系为_____________；（2）当∠COD绕点O按逆时针旋转至图2的位置时，(1)的数量关系是否仍然成立？请说明理由。
七年级数学上册 4.3角例题与讲解(北师大七年级上)
3 角1．角的定义(1)静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的几何图形叫做角．如图甲．角的有关概念：顶点：两条射线的公共端点．边：组成角的两条射线．(2)动态定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何图形．如图乙．谈重点角的理解(1)角有两个特征：①角是由两条射线组成的；②这两条射线有公共的端点．(2)角的大小与角的两边的长短无关：由于角的两边是射线，而射线是向一方无限延伸的，所以角的大小与角的两边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关．【例1】下列说法错误的有( )．①有公共点的两条射线形成的图形是角②从一点引出的两条射线形成的图形是角③角的大小与两边所画的长度有关④线段绕着一个端点旋转也可以形成角A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①×公共点与公共端点不同②√具备角的两个基本元素③×角的大小不因为两边的长短而改变④×角的两边是射线答案：C2．角的表示方法及画法角的表示方法有四种．(1)三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，如图(1)中的角，可记为∠AOB，注意顶点的字母写在中间，每条边上的一点A，B写在两旁．(2)顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，如图(1)中的∠AOB也可记为∠O.(3)阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，如图(2)中的∠AOB可记为∠1.(4)希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(α，β，γ等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，如图(2)中的∠BOC可记为∠α.这种方法与数字表示法实际上是一样的．释疑点表示角时的注意事项①以上四种表示方法的前面必须加上角的符号“∠”．②表示角所用的符号“∠”，不能写成小于号“<”．③当一个顶点处有两个以上的角时，不能用顶点字母表示法来表示角，如图(2)中以O 为顶点的角有∠1，∠α，∠AOC ，就不能用∠O 来表示了．否则，就会产生混乱．3．平角、周角(1)平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，平角是180°，如图1.(2)周角：如图2，一条射线绕它的端点旋转一周，当终边与始边重合时，所成的角叫做周角．周角等于360°.(3)平角与周角的关系：一周角等于两平角．平角的两边成一条直线，周角的两边重合后成一条射线，但不能认为一条直线就是平角或认为一条射线就是周角．角必须有顶点和两边．【例3】 下列说法是否正确，为什么？①平角是一条直线；②钟表上的分针经过1小时形成一个周角．分析：可根据平角和周角的形成定义判断．解：①错．因为平角是一条射线绕着它的端点旋转到反方向位置时形成的图形，平角有顶点、边这些基本元素，而直线没有，故是错误的；②正确．因为分针经过1小时会旋转一周，所以分针经过1小时会回到初始位置，即能形成一个周角．4．度、分、秒的换算(1)角的单位及意义角的单位是度、分、秒．意义：①把一个平角180等分，每一份就是一度的角，记作1°；②把一度的角60等分，每一份就是一分的角，记作1′；③把一分的角60等分，每一份就是一秒的角，记作1″.(2)度、分、秒的进率及换算方法度、分、秒的进率是60.即1°＝60′，1′＝60″，1°＝60′＝3 600″.度6060⨯÷分6060⨯÷秒(3)度、分、秒有关的计算度、分、秒的进率是六十进制，不同于十进制．在运算中满60才向高位进1，而借1则表示低位的60.在进行度、分、秒的加减法或乘除法的运算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减、不够除的要借位．从高位借的，单位要化为低位的单位后才能进行运算．在相乘或相加时，当低位大于或等于60时，要向高位进位．【例4－1】 (1)用度、分、秒表示48.13°为__________；(2)用度表示23°9′36″为__________．解析：(1)先把0.13°化成分：60′×0.13＝7.8′，再把0.8′化成秒：60″×0.8＝48″，所以48.13°＝48°7′48″；(2)先把36″化成分：⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，再把9.6′化成度：⎝⎛⎭⎫160°×9.6＝0.16°，所以23°9′36″＝23.16°.答案：(1)48°7′48″ (2)23.16°【例4－2】 计算：(1)13°29′＋78°37″； (2)61°39′－22°5′32″；(3)23°53′×3； (4)107°43′÷5.分析：先将相同单位相加减，注意进位和借位；乘法要先乘低位，再乘高位；除法是先除高位，高位余数换算成低位数后，再除低位．解：(1)13°29′＋78°37″＝91°29′37″.(2)61°39′－22°5′32″＝61°38′60″－22°5′32″＝39°33′28″.(3)23°53′×3＝69°159′＝71°39′.(4)107°43′÷5＝(105°＋2°43′)÷5＝105°÷5＋163′÷5＝21°＋(160′＋180″)÷5＝21°＋160′÷5＋180″÷5＝21°32′36″.5.角的计数方法数角的个数与数线段的条数的方法基本上相同，都要按一定的方法去数．常用的有两种方法：①始边计数法：先以某条边为始边(固定一边)，按顺时针方向或逆时针方向找到与之构成的所有的角，然后再以另一条射线为边，重复上面的过程，最后把所有的角的个数加起来，就是构成角的总个数．②分类计数法：先数清基本的角，再数由两个基本角组成的角，由三个基本角组成的角……【例5】如图，图中共有多少个角？用字母分别表示出来．分析：要确定有多少个角，需要先确定始边与终边的条数．可以用始边计数法数角的个数．即先以OA为始边，则能与它组成角的边有3条，就有3个角；再以OB为始边，按逆时针数出角的个数，依次类推．解：以OA为一边的角有∠AOB，∠AOC，∠AOD；以OB为一边且不重复的角有∠BOC，∠BOD；以OC为一边且不重复的角有∠COD.因此图中共有6个角，它们分别为：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD.6．角的应用角在生活和生产中随处可见．本节的有关角的应用主要是钟表中的角．钟面上共有12个大格，把周角平均分，即360°÷12＝30°.钟表面上有60个小格，360°÷60＝6°.因此，时针每小时转动30°，分针每分钟转动6°.时针与分针的夹角的求法：先确定时针与分针之间有几个大格，即有多少个30°.用30°乘大格数．特别注意：①从时针开始数，所形成的角有时需要按顺时针数，如3：40；有时需要按逆时针数，如2：50.②从时针开始，按顺时针形成的角，两个度数相减；按逆时针形成的角度数相加．③时针每分钟转30°÷60＝0.5°.【例6】如图是部分节目的播出时间，分别确定出钟表上时针与分针所成的最小的角的度数．分析：确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数，需要先确定时针与分针形成的角中包含几个大格和小格．0°解：新闻30分：0°；今日说法：30°×5＋35×0.5°＝167.5°；电视剧：30°×4＝120°.。
七年级数学上册 角 复习讲义
角知识导图基础知识点1角：有公共端点的两条射线组成的图形．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（）．A BC D2把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分得角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．2．计算：（1）902339'︒-︒=；（2）17652'3︒÷=．3角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线．3．已知30°ABC∠=，BD是ABC∠的平分线，则ABD∠＝______度．4如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其4．已知26α∠=，则α∠的补角是度．B1AOCBA1OOCBA1BA1O几何图形点、线、面、体立体图形平面图形从不同方向看立体图形展开立体图形直线、射线、线段平面图形线段的大小比较两点确定一条直线两点之间、线段最短角的度量角角的比较与运算余角和补角角的平分线等角的余角相等等角的补角相等重点题型1【互余、互补】5．下列叙述正确的是（ ）．A ．90︒的角是余角B ．110︒和90︒的角互为补角C ．15︒、25︒、50︒的角互为余角D ．120︒和60︒的角互为补角6．若90αβ∠+∠=︒，90βγ∠+∠=︒，则α∠与γ∠的关系是（ ）．A ．互余B ．互补C ．相等D ．90αγ∠=︒+∠ 7．如果一个角的余角是50︒，那么这个角的补角的度数是（ ）．A ．130︒B ．40︒C ．90︒D ．140︒8．一个角的补角加上10︒后，等于这个角的余角的5倍，求这个角的度数．9．两个角的大小之比是7:3，他们的差是72°，求这两个角的度数．ABCDEF123 O ABCDE重点题型2【角度计算】10．如图所示，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．11．如图，从∠AOB 内部引出一条射线OC ，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，若∠AOB ＝80°，求∠DOE 的度数．12．如图，BD 平分∠ABC ，BE 分∠ABC 为2:5两部分，∠DBE ＝21°，求∠ABC 的度数．两步一回头13．下列关于角的说法正确的是（ ）．A ．两条射线组成的图形叫做角B ．延长一个角的两边C ．角的两边是射线，所以角不可以度量D ．角的大小与这个角的两边长短无关 14．下列各角中，是钝角的是（ ）．A ．14周角 B ．23周角 C ．23平角 D ．14平角能用一副三角板画出来的角都是______的倍数． 15．下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（ ）．①15︒的角；②65︒的角；③75︒的角；④135︒的角；⑤145︒的角． A ．①③④B ．①③⑤C ．①②④D ．②④⑤16．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为 度． 17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°， 则∠2的度数是（ ）．A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°问题探究【角的几何推理】18．如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．求： （1）∠MON ＝ °；（2）如果（1）中的∠BOC ＝β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数； （3）如果（1）中的∠AOB ＝α，其它条件不变，求∠MON 的度数； （4）从（1）、（2）、（3）的结果中能看出什么规律？19．已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．（本题所指的角均是小于平角的角）MONC B ACAO D EB图12拓展延伸20．如图，表示南偏东40°的方向线是射线（ ）．A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD21．学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25︒方向，那么平面图上的∠CAB 等于（ ）． A ．115︒ B ．155︒ C ．25︒ D ．65︒22．如图12，AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，则∠AOC 的度数是 ．23．如图13所示，∠AOB 是平角，∠AOC ＝40°，∠BOD ＝70°，OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∠MON 等于_________．24．一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为 ． 25．观察时针，回答问题：（1）分针多长时间转一圈？它的转速是多少度/分？ （2）从1时开始到6时整，时针转动了多少度？（3）从中午12时整开始，经过多少时间，时针与分针再次重合？26．如图，东西方向的海岸线上有A 、B 两个观测站，在A 地发现它的北偏东30︒方向上有一条渔船，同一时刻，在B 地发现这条渔船在它的北偏西60︒方向上，试画图说明这条渔船的位置．ABCMA DNB O图1327．如下图1，将面积为a 2的小正方形BFED 与面积为b 2的大正方形AECM 放在一起（b ＞a ＞0），试用a 、b 表示三角形ABC 的面积．28．在抗日战争时期，一组游击队员奉命把A 村的一批文物送往一个安全地带，在A 村的南偏东50°距离3千米处有一B 村，他们从A 村出发，以北偏东80°方向行军，不知道走了多远以后，他们发现B 村出现了烟火，于是决定先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了7千米的路程，直接赶到B 村消灭了敌人，结束战斗后，这组游击队员应到哪里去取文物呢？假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗？（画图说明）课堂加油站天气要降温了，如果怕冷你可以去墙角取暖，因为墙角有90度．不过躺在地下会更暖，因为地面有180度．如果还是怕冷你可以自转一周，因为有360度．但是，如果还是怕冷，可以众里寻她（他）……课堂小结A B C D MFECB这一讲我们主要学习了什么？一、互余、互补二、角的平分线，如图： 因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝∠______＝12∠____．三、几何定值问题有什么技巧？西南北东30° OAa b1 2 O课后练习29．下列说法正确的是（ ）．A ．角的两边都是线段B ．一条射线是一个周角C ．平角是一条线段D ．角的大小与它的两边的长短无关30．如图，OA 是表示北偏东30︒方向的一条射线， 仿照这条射线画出表示下列方向的射线： （1）南偏东30︒；（2）北偏西60︒．31．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°．（1）请你数一数，图中有 个小于平角的角； （2）求出∠COE 的度数．课堂小测32．把一个圆形的蛋糕等分成12份，每份中的角是 °．33．如图，直线a ，b 相交于点O ，若1∠等于40︒，则2∠等于（ ）．A ．50︒B ．60︒C ．140︒D ．160︒34．已知∠α的余角是4251'16''︒，则α∠的度数是___________． 35．已知∠α与∠β是互为补角，∠α＝100°30'，那么∠β的度数是（ ）．A ．80°30'B ．100°30'C ．179°30'D ．79°30'36．点B 在点A 的南偏东40°，则点A 在点B 的____________． 37．已知∠AOB ＝3∠BOC ，若∠BOC ＝30°，则∠AOC 等于（ ）．A ．120°B ．120°或60°C ．30°D ．30°或90°38．已知OC 是∠AOB 的平分线，则下列各式：①12AOC AOB ∠=∠；②∠AOC ＝ ∠COB ；③∠AOB ＝2∠AOC ，其中正确的是（ ）．A ．只有①B ．只有①②C ．只有②③D ．①②③39．小明从A 处向北偏东72°38'方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西15°38'方向走15m 到达C 处，则∠BAC 的度数为 度．40．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，根据_____________________，可得∠2＝∠4． 41．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；3cm7cm 62° 80°西南东CMA BN 50°北②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．能表示∠β的余角的是_______（填序号）．参考答案 1．B2．（1）6621'︒；（2）5857'20''︒． 3．15 4．1545．D 6．C 7．D8．解：设这个角的度数为x ，180105(90)x x -+=-，65=x ．9．解：设两个角的度数为7x 、3x ，7372x x -=，18x =，两个角的度数是126、54． 10．解：∠2=70°，∠3=50°．11．解：因为OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，所以∠COD ＝12∠AOC ，∠COE ＝12∠BOC ，因为∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝80°，所以∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝40°． 12．98°13．D14．C15．A16．12017．B18．（1）45°；（2）45°；（3）2α；（4）∠MON 只与∠AOC 有关，与∠BOC 无关． 19．当OC 在∠AOB 内部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝30°；当OC 在∠AOB 外部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝60°．20．C 21．A 22．30° 23．125︒ 24．28°25．（1）60分钟；6度/分； （2）150°； （3）72011分钟．26．北偏东30︒方向和北偏西60︒方向两射线的交点即为渔船的位置 27．212b28．解：由题意作答图，作法如下：（1）在平面上任找一点为A （村） （2）作出A 村的南偏东50°的方向线AM ，在AM 上截取AB ＝3cm （以1cm 表示1千米）（3）作出A 村的北偏东80°的方向线AN （4）以B 点为圆心，以7cm 为半径作圆弧交AN 于C（5）连结BC ，量出C 点在B 点处的方向为北偏东62°，BC ＝7cm ，则从B 处以北偏东62°的方向出发走7千米到达C 处，则C 处附近就为藏文物地点．29．D 30．略 31．（1）9； （2）65°． 32．30 33．C 34．478'44''︒ 35．D36．北偏西40°37．B38．D39．12340．等角的余角相等41．①②④。
人教版 七年级(上)数学讲义 角的计算 提高班 (含解析)
第11讲角的计算知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初一，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习余角和补角以及方位角的概念及应用，掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．知识梳理讲解用时：15分钟余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．课堂精讲精练【例题1】若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝．【答案】45°．【解析】解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45°讲解用时：5分钟解题思路：两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．教学建议：考查余角与补角的定义，要求学生熟记概念并能列出方程难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习1.1】如图所示，O为直线AB上一点，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则图中互余的角有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D．【解析】解：由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC可知∠AOM=∠MOC，∠CON=∠BON∴∠MOC+∠CON=∠AOM+∠BON==90°∴∠MOC+∠CON=90°，∠AOM+∠BON=90°，∠AOM+∠CON=90°，∠MOC+∠BON=90°共4对，故选D．讲解用时：5分钟解题思路：根据角平分线的定义余角和补角的性质求得．教学建议：熟悉角平分线的概念和余角补角的性质．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习1.2】一个角的补角比它的余角的2倍还多20°，这个角的度数为°．【答案】20．【解析】解：设这个角的度数是x，则它的补角为：180°﹣x，余角为90°﹣x；由题意，得：（180°﹣x）﹣2（90°﹣x）=20°．解得：x=20°．答：这个角的度数是20°．故答案为：20．讲解用时：5分钟解题思路：设出所求的角为x，则它的补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，根据题意列出方程，再解方程即可求解．教学建议：考查余角和补角的定义；难点是根据角之间的互余和互补关系列出方程．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题2】已知∠β=3∠α，∠β的余角的3倍等于∠α的补角，求∠α，∠β的度数．【答案】11.25°，33.75°．【解析】解：设∠α=x，则∠β=3x，∠β的余角为90°﹣3x，∠α的补角为180°﹣x，由题意得，3（90°﹣3x）=180°﹣x，解得：x=11.25°．则∠α=11.25°，∠β=11.25°×3=33.75°．即∠α，∠β的度数分别为11.25°，33.75°．讲解用时：6分钟解题思路：：设∠α=x，则∠β=3x，∠β的余角为90°﹣3x，∠α的补角为180°﹣x，根据∠β的余角的3倍等于∠α的补角列方程求解．教学建议：考查余角和补角的知识，重点是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习2.1】两个角的比是6：4，它们的差为36°，则这两个角的关系是（）A．互余B．相等C．互补D．以上都不对【答案】C．【解析】解：设一个角为6x，则另一个角为4x，则有6x﹣4x=36°，∴x=18°，则这两个角分别为108°，72°，而108°+72°=180°∴这两个角的关系为互补．故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：设这两个角为6x，4x，则有6x﹣4x=36°，可求出x的值，那么就可求出这两个角，也能得到这两个角的关系．教学建议：本题通过设适当的参数求出x=18°后，求出这两个角的值后，判断关系为互补．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习2.2】如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③（∠α+∠β）；④（∠α﹣∠β）．正确的有【答案】①②④．【解析】解：∵∠α和∠β互补，∴∠α+∠β=180°．因为90°﹣∠β+∠β=90°，所以①正确；又∠α﹣90°+∠β=∠α+∠β﹣90°=180°﹣90°=90°，②也正确；（∠α+∠β）+∠β=×180°+∠β=90°+∠β≠90°，所以③错误；（∠α﹣∠β）+∠β=（∠α+∠β）=×180°=90°，所以④正确．综上可知，①②④均正确．讲解用时：6分钟解题思路：根据角的性质，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°，可将，①②③④中的式子化为含有∠α+∠β的式子，再将∠α+∠β=180°代入即可解出此题．教学建议：本题考查角之间互补与互余的关系，互补两角之和为180°，互余两角之和为90°．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题3】钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（）A．77.5°B．77°5′C．75°D．以上答案都不对【答案】A．【解析】解：我们把时针指向2，分针指向12作为起始位置，当分针指向25时，他转了25×6°=150°，此时时针转动了150°×=12.5°，则时针和3之间还有30°﹣12.5°=17.5°，故时针和分针之间夹角为30°×2+17.5°=77.5°．故选：A．讲解用时：6分钟解题思路：画出图形，利用钟表表盘的特征解答．教学建议：在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°；两个相邻数字间的夹角为30°，每个小格夹角为6°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习3.1】由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是．【答案】90°．【解析】解：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等分，每一份是30°，从2点15分到两点30分分针转过了3份，转过的角度为90°讲解用时：5分钟解题思路：先画出图形，确定时针和分针的位置利用钟表表盘的特征解答．教学建议：考查角的概念，重点是掌握时针和分针转动的角度难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【例题4】时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转度时，分针与时针第一次重合？【答案】13度【解析】解：在开始时，分针“落后”于时针150°．设分针与时针第一次重合时，时针转动了α角，那么，分针转动了（150°+α）．因为分针转速是时针的12倍，所以150°+α=12α，1171311150︒︒==α． 即时钟里，时针从5点整的位置起，顺时针方向转13度时，分针与时针第一次重合．讲解用时：6分钟 解题思路：在开始时，从顺时针方向看，时针在分针的“前方”，它们相差5×30°=150°．由于分针转动速度远远大于时针转动速度（是它的12倍），因此，总有一刻，分针“追上”时针（即两者重合）．具体追上的时刻决定于开始时，分针与时针的角度差及它们的速度比．教学建议：考查钟表分针所转过的角度计算．说明钟表里的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无【练习4.1】在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？【答案】或．【解析】 解：设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x 分钟，时针与分针成60° 角．①当分针在时针上方时，由题意得：（3+）×30﹣6x=60，解得：x=；②当分针在时针下方时，由题意得：6x﹣（3+）×30=60解得：x=．答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成60° 角．讲解用时：8分钟解题思路：分类讨论：①当分针在时针上方时②当分针在时针下方时两种情况列出方程解答即可．教学建议：考查钟面角，难点是分类讨论的应用．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题5】如图所示，下列说法错误的是（）A．OA的方向是西北方向B．OB的方向是南偏西60°C．OC的方向是南偏东60°D．OD的方向是北偏东50°【答案】C．【解析】解；A、OA方向是西北方向，故本选项说法正确；B、OB的方向是南偏西60°，故本选项说法正确；C、OC方向是南偏东30°，故本选项说法错误；D、OD方向是北偏东50°，故本选项说法正确；故选：C．讲解用时：5分钟解题思路：根据方向角的表示方法及图示，可得答案．教学建议：本题考查了方向角，利用了方向角的定义．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习5.1】如图，射线OA位于北偏西30°方向，射线OB位于南偏西60°方向，则∠AOB=．【答案】90°．【解析】解：如图，由图可知：∠AOB=180°﹣30°﹣60°=90°．故答案为：90°．讲解用时：6分钟解题思路：根据方向角的定义，即可解答．教学建议: 考查方向角的定义，重点是正确找出方位角.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【练习5.2】在飞机飞行时，飞行方向是用飞行路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的，如图，用AN（南北线）与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角，从A到B的飞行方向角为35°，从A到C的飞行方向角为60°，从A到D的飞行方向角为145°，试求AB与AC之间夹角为多少度？AD与AC之间夹角为多少度？并画出从A飞出且方向角为105°的飞行线．【答案】25°，85°．【解析】解：由题意可知∠NAB=35°，∠NAC=60°，∠NAD=145°．故AB与AC之间夹角为∠NAC﹣∠NAB=60°﹣35°=25°，AD与AC之间夹角为∠NAD﹣∠NAC=145°﹣60°=85°，从A飞出且方向角为105°的飞行线，即∠NAE=105°．讲解用时：8分钟解题思路：阅读题目条件，明确飞机飞行角的概念，找到南北线与飞行线之间顺时针方向夹角，计算其角度解答．教学建议: 此题是一道材料分析题，解答时要认真阅读，明确题目条件，特别是题目中的新概念，依据新概念解答．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）求∠BOD的度数；（2）试判断∠BOE和∠COE有怎样的数量关系，说说你的理由．【答案】（1）∠BOD=155°；（2）∠BOE=∠COE，理由如下：由角的和差，得∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°，则∠BOE=∠COE．【解析】解：（1）由角平分线的定义，得∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°．由邻补角的定义，得∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣25°=155°；（2）∠BOE=∠COE，理由如下：由角的和差，得∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，∠COE=∠DOE﹣∠COD=90°﹣25°=65°，则∠BOE=∠COE．讲解用时：8分钟解题思路：（1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案；（2）根据角的和差，可得答案．教学建议：本题考查角的计算，重点是灵活利用角的和差.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE=140°，∠COD=30°，则∠AOB=°．【答案】40．【解析】解：∵OD是∠COE的平分线，∠COD=30°，∴∠COE=2∠COD=60°，∵∠AOE=140°，∴∠AOC=∠AOE﹣∠COE=80°，∵OB是∠AOC的平分线，∴∠AOB=∠AOC=40°，故答案为：40．讲解用时：5分钟解题思路：根据角平分线定义求出∠COE，求出∠AOC，根据角平分线定义求出即可．教学建议：考查角的有关计算和角平分线定义，难点是根据角平分线定义求出∠COE的度数．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无如图，将一副三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=（）度．A．小于180°B．大于180°C．等于180°D．无法确定【答案】C．【解析】解：如右图所示，∵∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180°，∴∠AOB+∠COD=180°．故选：C．讲解用时：8分钟解题思路：先利用∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，而∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，于是有∠AOB+∠COD=180°．教学建议：考查角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无【例题7】如图，∠AOB=20°，∠AOE=110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE．（1）求∠COD的度数；（2）若以点O为观察中心，OA为正东方向，求射线OD的方位角；（3）若∠AOE的两边OA，OE分别以每秒5°和每秒3°的速度，同时绕点O按逆时针方向旋转，当OA回到原处时，OA，OE停止运动，则经过多少秒时，∠AOE=30°？【答案】（1）15°；（2）北偏东35°；（3）40秒或70秒．【解析】解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOB=20°，所以∠AOC=40°，因为OD平分∠AOE，∠AOE=110°，所以∠AOD=55°，因为∠COD=∠AOD﹣∠AOC，所以∠COD=55°﹣40°=15°；（2）因为90°﹣55°=35°，所以射线OD的方位角是北偏东35°；（3）设经过x秒时，∠AOE=30°，①如图1所示，当OA未追上OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣30，解得，x=40；②如图2所示，当OA超过OE时，依题意，得5x﹣110=3x﹣305x﹣110=3x+30，解得，x=70．讲解用时：10分钟解题思路：（1）根据图示得到∠AOC=40°；然后由角平分线的定义得到∠AOD=55°，进而得出∠COD的度数；（2）根据方向角的表示方法，可得答案；（3）设经过x秒，∠AOE=30°，依据题意列出方程并解答即可．教学建议：本题考查了角平分线的性质，角的和差，方向角的表示方法等．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边．难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无【练习7.1】已知射线OA，由O点再引射线OB，OC，使∠AOB=60°，∠BOC=30°，则∠AOC 的度数是．【答案】30°或90°．【解析】解：当射线OC在∠AOB内部时，∵∠AOB=60°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣30°=30°当射线OC在∠AOB外部时，∵∠AOB=60°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+30°=90°．∴∠AOC=30°或90°．故填30°或90°．讲解用时：5分钟解题思路：本题是角的计算中的多解题，出现多解得原因在于三条射线OA，OB，OC的位置不能确定，求解时应分情况讨论．教学建议：本题是多解问题，易错点是漏解，因为题目中没有交代其中的位置关系，所以求解时要讨论，在线段的计算中有时也出现类似的情况．难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无课后作业【作业1】已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C、E、F在直线AB的同侧(如图∠所示)时．试说明∠BOE＝2∠COF；(2)当点C与点E、F在直线AB的两旁(如图∠所示)时(1)中的结论是否仍然成立?请给出你的结论并说明理由；(3)将如图∠中的射线OF绕点O顺时针旋转m°(0＜m＜180)，得到射线OD，设∠AOC＝n°，若∠BOD＝2(60)3n°，则∠DOE的度数是多少?(用含n的式子表示)【答案】（1）如图∠，设∠COF＝α，则∠EOF＝90°-α因为OF是∠AOE的平分线所以∠AOF＝90°-α所以∠AOC＝(90°-α)-α＝90°-2α∠BOE＝180°-∠COE-∠AOC＝180°-90°-(90°-2α)＝2α即∠BOE＝2∠COF；（2）成立；（3）5(30)3n +° 【解析】解：(1)如图∠，设∠COF ＝α， 则∠EOF ＝90°-α因为OF 是∠AOE 的平分线所以∠AOF ＝90°-α所以∠AOC ＝(90°-α)-α＝90°-2α∠BOE ＝180°-∠COE -∠AOC＝180°-90°-(90°-2α)＝2α即∠BOE ＝2∠COF(2)成立．如图2设∠AOC ＝β，则902AOF β︒-∠= 所以145(90)22°°COF AOC AOF ββ∠=∠+∠=+=+ ∠BOE ＝180°-∠AOE ＝180°-(90°-β)＝90°+β所以∠BOE ＝2∠COF(3)因为∠DOE ＝180°-∠AOE -∠BOD2180(90)(60)3n n =----°°° 5(30)3n =+° 故DOE ∠的度数是5(30)3n +° 讲解用时：10分钟难度：3 适应场景：练习题 例题来源：无【作业2】轮船在海面上以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午8时到达A 处，测得灯塔C 在北偏西45°方向，上午10时到达B 处，又测得灯塔C 在北偏西60°方向．(1) 根据题设条件，选用适当的比例尺画出图形；(2)量出BC 的图上距离，并推算出BC 的实际距离；轮船继续向北航行到达D 处，这时灯塔C 在轮船的正西方向，这时CD 的实际距离是多少?(3)你能确定轮船到达D 处时的时间吗?【答案】（1）如图所示．作图步骤如下：∠从点A引南北、东西方向的两条直线，并画出∠DAC＝45°；∠轮船从8时到10时共航行了30海里，在南北方向上截取AB＝7 mm(这时图距7 mm表示30海里)；∠画∠DBC＝60°，射线AC、BC的交点C就是灯塔C的实际位置；∠在图上作∠CDA＝90°，CD与AD交于点D．（2）94海里，81海里；（3）13时8分24秒．【解析】解：(1)如图所示．作图步骤如下：∠从点A引南北、东西方向的两条直线，并画出∠DAC＝45°；∠轮船从8时到10时共航行了30海里，在南北方向上截取AB＝7 mm(这时图距7 mm表示30海里)；∠画∠DBC＝60°，射线AC、BC的交点C就是灯塔C的实际位置；∠在图上作∠CDA＝90°，CD与AD交于点D．(2)从图中依次量出BC≈22 mm，BD≈11 mm，CD≈19 mm，那么BC的实际距离为30227⨯≈94(海里)，CD的实际距离为19×307≈81(海里)．(3)BD的实际距离为30117⨯≈47(海里)，轮船船速为15海里／时，所以，轮船到达D处所需时间为3011157⨯÷≈3.14(小时)，即3小时8分24秒．3小时8分24秒+10小时＝13小时8分24秒．答：轮船到达D处时的时间是13时8分24秒．讲解用时：6分钟难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无【作业3】在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?【答案】7时5511分. 【解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线． 讲解用时：5分钟难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无。
七年级上数学角教案及练习
七年级上数学角教案及练习第一章：认识角1.1 角的概念学习目标：1. 了解角的概念，能正确识别各种角。
2. 掌握角的度量方法。
教学内容：1. 引入角的概念，通过实物演示和图形展示，让学生直观地理解角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
2. 讲解角的度量方法，介绍量角器的使用。
教学活动：1. 实物演示，引导学生观察和描述角的特点。
2. 绘制各种角，让学生练习识别和度量角。
练习题：1. 判断题：一条射线和一条线段所形成的图形是角。
角的大小可以用度数来表示。
2. 选择题：用量角器量一个角的度数时，应该让量角器的中心点与角的顶点重合，让量角器的0°刻度线与角的一条边重合。
如果角的度数是60°，另一条边应该与量角器的（）刻度线重合。
A. 60°C. 180°3. 填空题：一个直角的度数是____°。
一个平角的度数是____°。
1.2 角的分类学习目标：1. 掌握各种角的分类及特点。
2. 能够正确判断角的类型。
教学内容：1. 讲解角的分类，包括锐角、直角、钝角、周角、平角。
2. 分析各种角的特点和定义。
教学活动：1. 展示各种角的图形，引导学生观察和描述角的特点。
2. 通过实例和练习，让学生练习判断角的类型。
练习题：1. 判断题：一个周角的度数是360°。
一个平角的度数等于一个直角的度数。
2. 选择题：下面哪个图形的角是锐角？A. 等边三角形C. 钝角三角形3. 填空题：一个锐角的度数大于____°，小于____°。
一个直角的度数是____°。
六、角的计算6.1 角的和差学习目标：1. 理解角的大小可以相加或相减。
2. 学会计算两个角的和差。
教学内容：1. 讲解角的大小可以相加或相减，例如：A + B = C，A B = D。
2. 通过图形和实例，让学生理解角的和差关系。
教学活动：1. 展示图形，引导学生观察角的和差关系。
专题4.3 角讲练-2021年初中数学七年级上册同步讲练(教师版含解析)
专题4.3角典例体系(39页)一、知识点1.角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。
或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。
终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
3.用一副三角板，可以画出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°4.角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。
把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。
1°=60’，1’=60”5.角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量，可以比较(3)角可以参与运算。
6.角的平分线从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
7.余角和补角①如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。
用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°②如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。
七年级上数学角教案及练习
七年级上数学角教案及练习一、教学目标1. 让学生理解角的定义，掌握角的性质和分类。
2. 培养学生运用角的概念解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思维能力。
二、教学内容1. 角的定义：角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
2. 角的性质：a. 角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
b. 角的度量单位是度，用符号“°”表示。
c. 角的大小可以用量角器进行测量。
3. 角的分类：a. 锐角：大于0°且小于90°的角。
b. 直角：等于90°的角。
c. 钝角：大于90°且小于180°的角。
d. 平角：等于180°的角。
e. 周角：等于360°的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：角的定义、性质和分类。
2. 教学难点：角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
四、教学方法1. 采用直观演示法，通过实物和图形引导学生理解角的定义。
2. 采用讲解法，讲解角的性质和分类。
3. 采用练习法，让学生通过实际操作和练习巩固所学知识。
五、教学步骤1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生认识角，如钟表上的时针和分针形成的角。
2. 讲解角的定义：讲解角的概念，让学生明白角是由一点引出的两条射线所围成的图形。
3. 讲解角的性质：讲解角的大小与边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
通过实物和图形进行演示，让学生直观地理解角的性质。
4. 讲解角的分类：讲解锐角、直角、钝角、平角和周角的定义，让学生了解不同类型的角。
5. 练习巩固：布置练习题，让学生运用所学知识解决实际问题，如测量物体上的角的大小。
6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，让学生回顾所学知识，巩固记忆。
7. 课后作业：布置课后作业，让学生进一步巩固角的知识。
六、教学内容与目标1. 教学内容：a. 角的度量：学习使用量角器测量角的大小。
b. 角的加减法：学习如何将两个角相加或相减。
七年级数学上认识角专题复习讲义(浙教版)
七年级数学上认识角专题复习讲义(浙教版)认识角重难点易错点解析角的基础概念下列说法中正确的个数是（）①由两条射线组成的图形叫做角②角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的角度有关③角的两边是两条射线④把一个角放到一个放大10倍的放大镜下观看，角度数也扩大10倍．A．1个B．2个C．3个D．4个角的度量单位填空：(1)25°24′36″=°63°12′18″=°(2)37.75°=°′″57.32°=°′″金题精讲题一：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的选项是（）题二：计算：（1）48°39′+67°31′（2）120°-36°18′52″题三：有一个不规则的三角板，其中一个角是19°，你能否只用19°的这个角画出来一个1°的角呢？题四：α、β、γ中，有2个锐角和1个钝角，在计算的值时，有3位同学分别算出了23°、24°、25°，但是其中只有一个是正确的，那么.思维拓展题一：如图，有一只蚂蚁从点A出发，按顺时针方向沿图所示的方向爬行，最后又爬回到A点，那么蚂蚁在此过程中共转了多少度的角？认识角讲义参考答案重难点易错点解析1、B2、(1)25.41；63.205(2)37°45′0″；57°19′12″金题精讲题一：D题二：（1）116°10′（2）83°41′8″题三：转19次题四：345°思维拓展题一：1080°。
七年级数学角知识精讲 试题
七年级数学角人教实验版制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 角的定义及其表示方法。
2. 角的大小的比拟方法，角的和、差、倍、分的意义和角的平分线的意义。
3. 余角和补角的性质。
二. 知识要点：1. 角的定义定义1：有公一共端点的两条射线组成的图形叫做角。
这个公一共的端点是角的顶点，这两条射线是角的两边。
定义2：角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
2. 角的表示方法〔1〕用单个数字、大写字母或者希腊字母表示。
〔2〕用三个字母表示，中间的字母表示角的顶点。
1AOBαABCOαβ3. 度、分、秒的互化〔1〕1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，直角＝90°。
〔2〕1°＝60′，1′＝60″。
〔3〕角度制中是以60为进位数的，它和时间是的小时、分钟、秒间的度量相类似。
时钟被分成12格，相当于把圆周12等分，每一等分等于30°，时针每小时走一格为30°°；分针每小时走一圈是360°，每分钟走6°。
4. 角的度量和比拟方法叠合法——从形的方面进展比拟；度量法——从数的方面进展比拟。
O ABC5. 角的平分线〔1〕定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
〔2〕符号语言表达：如图①所示，因为∠AOC ＝∠BOC ，所以OC 是∠AOB 的平分线。
反之，假如OC 是∠AOB 的平分线，那么∠AOC ＝∠BOC ，并且有∠AOC ＝12∠AOB 或者∠BOC ＝12∠AOB ，以及∠AOB ＝2∠AOC 或者∠AOB ＝2∠BOC 。
〔3〕假如有两条射线把一个角平均分成三等分呢〔图②〕？ABC O OABCD图①图②6. 两角的和、差、倍、分的意义 〔1〕两角的和与差1212ABC(1)12(2)DEF〔2〕一个角的n倍，n分之一假如n个∠α的和是∠β，那么∠β＝n∠α，∠α＝1n∠β。
金老师教育培训苏教版数学讲义含同步练习七年级上册37角(第二课时)知识讲解
角（提高）【典型例题】类型一、角的比较与运算1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3＝13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】解：(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．3.（2016春•龙口市期中）如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（4）从上面的结果中，发现：∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线。
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培优学堂七年级数学角练习题（1月1、2日）
1、如图所示，已知∠AOB=165°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD ．
2、已知：如图∠ABC ＝30°，∠CBD ＝70°BE 是∠ABD 的平分线，求∠DBE 的度数。
3、如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，
34COF ∠，求BOD ∠ 的度数．
4、如图，点O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线，若∠AOD =14°， 求∠DOE 、∠BOE 的度数．
5、如图10，将长方形纸片沿ＡＣ对折，使点Ｂ落在Ｂ′，ＣＦ平分∠Ｂ′ＣＥ，求∠ＡＣＦ的度数．
图10
A C
B
E
F
B '
6、如图14，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．
（1）若∠DOB与∠DOA的比是2∶11，求∠BOC的度数．
（2）若叠合所成的∠BOC=n°(0<n<90)，则∠AOD的补角的度数与∠BOC的度数之比是多少
7、如图，已知∠AOB＝90°，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
（1）若∠AOC＝30°，求∠MON的度数，
（2）若∠BOC＝50°，求∠MON的度数，
（3）由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。
8、如图，已知∠AOB＝90°，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，
（1）若∠AOC＝40°，求∠MON的度数，
（2）若∠AOC＝α，求∠MON的度数，
（3）若∠BOC＝β，求∠MON的度数，
（4）由（1）（2）（3）的结果，你发现了什么规律，请写出结论，并说明理
由。
9、已知：如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，
射线OE平分∠BOC，∠EOD=42︒，求∠EOC的大小
10、
1
2
AOB AOC AOD AOC BOC BOD
∠∠∠∠∠=∠
如图，已知是的余角，是的补角，且，AOC BOD
∠∠
求、的度数。
A B
C
N
M
A B
N
M
O
A B C D
E
O A
B
C
D。