二阶锥规划基于SOC函数的新光滑牛顿算法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
收稿日期：2019年3月27日；录用日期：2019年4月11日；发布日期：2019年4月18日
摘要
本文在向量值Fischer-Burmeister (FB)函数和向量值Natural-Residual (NR)函数的基础上，提出一种求 解二阶锥规划(SOCP)问题的光滑函数。用一个带扰动的牛顿方程组去获得搜索方向，在适当假设下，分
1) x ∈ K ⇔ λ2 ≥ λ1 ≥ 0, x ∈ K 0 ⇔ λ2 ≥ λ1 > 0 ， 2) 对任意的 x ∈ Rn ， x2 = λ12c1 + λ22c2 ∈ K ， 3) 对任意的 x ∈ K ， x = λ1c1 + λ2 c2 ∈ K 。 在线性规划中，互补性条件为：若 x ≥ 0, s ≥ 0 ，则 xT s = 0 当且仅当 xi=si 0=,i 1,, r ，二阶锥规划有
其对偶问题：
{ } max bT y | AT y + s= c, s ∈ K, y ∈ Rm .
(1.4)
二阶锥规划是一类非光滑凸规划问题，它是在仿射空间与有限个二阶锥的笛卡尔积的交集上极小化 或极大化一个线性函数。在现实生活中有着广泛的应用：许多工程，力学，投资组合，线线阵列等都可 以转化为二阶锥问题求解。此外，许多数学问题也可转化为二阶锥求解，如线性规划，二次规划，凸二
向量值 FB 函数，向量值 NR 函数等，不能直接用牛顿法求解为了进一步研究，先给出光滑化的概念。 定义 2.2：(文[4])对于不可微函数 h : Rn → Rm ，考虑带有参数 µ > 0 的函数 hµ : Rn → Rm ，如果它具
备如下性质：
1) 对于任意的 µ > 0 ， hµ 是光滑的；
(1.2)
其中 y ∈ Rm , si ∈ K ni , I = {1, 2,, r} 。为便于问题的描述，使用如下记号：
r
∑ n ni , K = K ni × K ni ×× K ni , A= ( A1, A2 ,, Ar ) ∈ Rm×n ,
i =1
=c (c1, c2 ,, cr ) ∈= Rn , x ( x1; x2 ;; xr )= ∈ K , s ( s1; s2 ;; sr ) ∈ K.
梁晓娟，曾友芳
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
x
s
=
0.
DOI: 10.12677/aam.2019.84067
604
应用数学进展
梁晓娟，曾友芳
对二阶锥规划，其二阶锥互补函数定义如下： 定义 2.1：(文[3])如果向量值函数 φsoc : Rn × Rn → Rn 满足
φsoc ( x, s) =0 ⇔ x s =0, x ∈ K, s ∈ K.
(2.2)
则称 φ soc 为二阶锥互补函数。
结合问题(1.3)和(1.4)的最优性条件，定义函数 H ( x, y, s) : Rn+m+n → Rm+n+n 如下：
b − Ax
H ( x, y, s) = c − AT y − s ，
(2.3)
φsoc ( x − s)
即
{ } ( ) K ni =xi =xi0 ; xi ∈ Rni xi0 ≥ xi ,
( ) { } 这里 . 为向量的欧几里得范数。易知 K ni 是自对偶的，即 K ni =
K ni
*
=
si ∈ Rin | xiT si ≥ 0, ∀xi ∈ K ni 其对
偶规划为：
max bT y
s.t. AiT y + si = ci , i ∈ I , si Kni 0, i ∈ I.
Received: Mar. 27th, 2019; accepted: Apr. 11th, 2019; published: Apr. 18th, 2019
Abstract
Based on the Fischer-Burmeister function and the Natural-Residual function, a new smoothing Newton method is proposed for solving the second-order cone programming. This algorithm adopts a Newton equation with disturbance to gain the search direction. Under suitable assumptions, we prove that the proposed method is globally and locally quadratically convergent. Finally, some numerical results are given.
这里用 Rn 表示
n
维实列向量，且将
R n1
× Rn2
×
×
R
nr
定义为
Rn1 +n2 ++nr
，因此
( x1; x2 ;; xr ) ∈ K
是
R n1
+
n2
++
nr
中的列向量。则上面(1.1)和(1.2)式可转化为如下简洁形式：
{ } min cT x | A=x b, x ∈ K .
(1.3)
Open Access
1. 引言
本文主要考虑以下线性二阶锥规划问题：
r
∑ min ciT xi
i
r
s.t. ∑ Ai xi = b，
i
xi Kni 0,i ∈ I ={1, 2,, r}
(1.1)
( ) 其中，b ∈ Rm , ci ∈ Rni , Ai ∈ Rm×ni, 是已知量，xi 0 Kni i ∈ I 表示 xi ∈ K ni 是变量。K ni 是维数为 ni 的二阶锥，
值函数 φ (µ, x, s) : R+ × Rn × Rn → Rn ：
( ) φ (µ, x, s) = x + s − µ ( x − s)2 + (1− µ ) x2 + s2 + 2µ2e
(3.1)
为了减少变量的个数，使证明简单，令 z = (µ, x, y) ，定义函数 H ( z ) 如下：
eµ −1
= H ( z) b − Ax ，
(3.2)
( )
φ µ, x, c − AT y
( ) ( ) 显然，若 0, x*, y* 是 H ( z ) = 0 的解，则 x*, y*, c − AT y* 是原问题(1.3)及其对偶问题(1.4)的最优解。
A New Smoothing Newton Method for Second-Order Cone Optimization Based on SOC Function
Xiaojuan Liang, Youfang Zeng
School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning Guangxi
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(4), 602-612 Published Online April 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.84067
文章引用: 梁晓娟, 曾友芳. 二阶锥规划基于 SOC 函数的新光滑牛顿算法[J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 602-612. DOI: 10.12677/aam.2019.84067
析了算法的全局收敛和局部收敛速度，给出了数值实验结果。
关键词
二阶锥规划，光滑牛顿法，全局收敛，局部二次收敛
λi = x0 + (−1)i+1 x ,i= 1, 2.
=ci
= 12 1;(−1)i+1 xx , x ≠ 0; i
。 ω ∈ Rn−1 是满足 ω = 1 的任意向量。 1, 2
( ) 1
2
1;(−1)i+1 ω
, x = 0;
关于谱值，谱向量的相关性质归纳如下：
Keywords
Second-Order Cone Programming, Smoothing Newton Method, Global Convergence, Quadratical Convergence
二阶锥规划基于SOC函数的新光滑牛顿算法
梁晓娟，曾友芳
广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁
2. 基础知识
二阶锥规划建立在与二阶锥相伴的代数基础上，为了更好地研究二阶锥规划，下面将简要介绍与二
阶锥相伴的欧几里得若当代数的基本概念和与之相关的重要结论，二阶锥规划的对偶理论和最优性条件
等。先介绍一些记号，其中 U 表示反射矩阵， En−1 表示 (n −1) 阶单位阵， Arw( x) 表示一个箭形矩阵， 本文用相应的大写字母表示箭形矩阵， X = Arw( x) ， S = Arw(s) ，W = Arw(w) 。
其中 φsoc ( x − s) 是任意的二阶锥互补函数。易见 H ( x, y, s) = 0 是与最优性条件等价的方程组，由此可知，
( ) H ( x, y, s) = 0 的解 x*, y*, s* 满足最优性条件，是问题(1.3)和(1.4)的最优解对。由上易知，求解此方程组
的关键在于构造合适的二阶锥互补函数。由于常见的二阶锥互补函数在(0,0) 点不可微(即非光滑)，例如
U
1
0
0T − En −1
∈
Rn×n
,
Arw
(
x
)
x1 x
xT x0 En−1
,
e
(1; 0 )
∈
Rn.
对于 = ∀x ( x0 ; x ) ∈ R × Rn−1= , s ( s0 ; s ) ∈ R × Rn−1 ，定义如下若当积：
x
s
= xT s x0 s + s0 x
着类似于线性规划的互补性条件。
引理 2.1：(互补性条件)设 x, s ∈ K ，即 xi , si ∈ Ki ,i = 1,, r ，则 xT s = 0 当且仅当 xi si = 0 。 在线性规划中，若原问题与对偶问题任意一个存在最优解，则另一个也存在最优解，且原问题与对
偶问题最优值相等，但二阶锥规划不具有这种性质，若要二阶锥规划的强对偶理论成立，必须使得原问 Nhomakorabea2)
lim
µ →0
hµ
(= x)
h ( x),∀x ∈ Rn ，
则称 hµ 是 h 的光滑函数。
3. 一个新的光滑函数及其性质
光滑函数在二阶锥规划光滑算法研究中起着重要作用(文[5] [6] [7] [8] [9])。由于向量值 FB 函数和向
量值 NR 函数并不处处连续可微，大大影响了其实际应用。本文通过光滑化对称扰动得到一个新的向量
DOI: 10.12677/aam.2019.84067
603
应用数学进展
梁晓娟，曾友芳
次约束二次规划，范数极小化，因而研究二阶锥规划具有重要的理论与现实意义。本文在向量值 FB 函 数和向量值 NR 函数的基础上进行改进，得到了一个新的光滑函数，利用得到的光滑函数，把二阶锥互 补函数转化为一个非线性方程组问题，并给出求解二阶锥问题的一个光滑化算法，在无严格互补条件的 假设下，证明算法全局收敛和局部二次收敛。
题与对偶问题同时存在严格可行解。因此二阶锥规划的最优性条件为：
定理 2.2：(最优性条件) (文[2])如果(1.3)和(1.4)都有严格可行解，则 ( x,( y, s)) 是(1.3)和(1.4)的最优解
对当且仅当
A=x b, x ∈ K,
AT
y
+
s
=
c, s ∈ K,
(2.1)
A= rw( x) s
Arw( x) A= rw(s) e
XSe.
记 x2 x x ， x + y 表示通常的向量的向量加法。 定理 2.1：(谱分解定理) (文[1])
对向量 x 定义与二阶锥有关的谱分解为：=x λ1c1 + λ2c2 ，其中 x 的谱值 λi 和与之对应的谱向量 ci 如 下：
摘要
本文在向量值Fischer-Burmeister (FB)函数和向量值Natural-Residual (NR)函数的基础上，提出一种求 解二阶锥规划(SOCP)问题的光滑函数。用一个带扰动的牛顿方程组去获得搜索方向，在适当假设下，分
1) x ∈ K ⇔ λ2 ≥ λ1 ≥ 0, x ∈ K 0 ⇔ λ2 ≥ λ1 > 0 ， 2) 对任意的 x ∈ Rn ， x2 = λ12c1 + λ22c2 ∈ K ， 3) 对任意的 x ∈ K ， x = λ1c1 + λ2 c2 ∈ K 。 在线性规划中，互补性条件为：若 x ≥ 0, s ≥ 0 ，则 xT s = 0 当且仅当 xi=si 0=,i 1,, r ，二阶锥规划有
其对偶问题：
{ } max bT y | AT y + s= c, s ∈ K, y ∈ Rm .
(1.4)
二阶锥规划是一类非光滑凸规划问题，它是在仿射空间与有限个二阶锥的笛卡尔积的交集上极小化 或极大化一个线性函数。在现实生活中有着广泛的应用：许多工程，力学，投资组合，线线阵列等都可 以转化为二阶锥问题求解。此外，许多数学问题也可转化为二阶锥求解，如线性规划，二次规划，凸二
向量值 FB 函数，向量值 NR 函数等，不能直接用牛顿法求解为了进一步研究，先给出光滑化的概念。 定义 2.2：(文[4])对于不可微函数 h : Rn → Rm ，考虑带有参数 µ > 0 的函数 hµ : Rn → Rm ，如果它具
备如下性质：
1) 对于任意的 µ > 0 ， hµ 是光滑的；
(1.2)
其中 y ∈ Rm , si ∈ K ni , I = {1, 2,, r} 。为便于问题的描述，使用如下记号：
r
∑ n ni , K = K ni × K ni ×× K ni , A= ( A1, A2 ,, Ar ) ∈ Rm×n ,
i =1
=c (c1, c2 ,, cr ) ∈= Rn , x ( x1; x2 ;; xr )= ∈ K , s ( s1; s2 ;; sr ) ∈ K.
梁晓娟，曾友芳
Copyright © 2019 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
x
s
=
0.
DOI: 10.12677/aam.2019.84067
604
应用数学进展
梁晓娟，曾友芳
对二阶锥规划，其二阶锥互补函数定义如下： 定义 2.1：(文[3])如果向量值函数 φsoc : Rn × Rn → Rn 满足
φsoc ( x, s) =0 ⇔ x s =0, x ∈ K, s ∈ K.
(2.2)
则称 φ soc 为二阶锥互补函数。
结合问题(1.3)和(1.4)的最优性条件，定义函数 H ( x, y, s) : Rn+m+n → Rm+n+n 如下：
b − Ax
H ( x, y, s) = c − AT y − s ，
(2.3)
φsoc ( x − s)
即
{ } ( ) K ni =xi =xi0 ; xi ∈ Rni xi0 ≥ xi ,
( ) { } 这里 . 为向量的欧几里得范数。易知 K ni 是自对偶的，即 K ni =
K ni
*
=
si ∈ Rin | xiT si ≥ 0, ∀xi ∈ K ni 其对
偶规划为：
max bT y
s.t. AiT y + si = ci , i ∈ I , si Kni 0, i ∈ I.
Received: Mar. 27th, 2019; accepted: Apr. 11th, 2019; published: Apr. 18th, 2019
Abstract
Based on the Fischer-Burmeister function and the Natural-Residual function, a new smoothing Newton method is proposed for solving the second-order cone programming. This algorithm adopts a Newton equation with disturbance to gain the search direction. Under suitable assumptions, we prove that the proposed method is globally and locally quadratically convergent. Finally, some numerical results are given.
这里用 Rn 表示
n
维实列向量，且将
R n1
× Rn2
×
×
R
nr
定义为
Rn1 +n2 ++nr
，因此
( x1; x2 ;; xr ) ∈ K
是
R n1
+
n2
++
nr
中的列向量。则上面(1.1)和(1.2)式可转化为如下简洁形式：
{ } min cT x | A=x b, x ∈ K .
(1.3)
Open Access
1. 引言
本文主要考虑以下线性二阶锥规划问题：
r
∑ min ciT xi
i
r
s.t. ∑ Ai xi = b，
i
xi Kni 0,i ∈ I ={1, 2,, r}
(1.1)
( ) 其中，b ∈ Rm , ci ∈ Rni , Ai ∈ Rm×ni, 是已知量，xi 0 Kni i ∈ I 表示 xi ∈ K ni 是变量。K ni 是维数为 ni 的二阶锥，
值函数 φ (µ, x, s) : R+ × Rn × Rn → Rn ：
( ) φ (µ, x, s) = x + s − µ ( x − s)2 + (1− µ ) x2 + s2 + 2µ2e
(3.1)
为了减少变量的个数，使证明简单，令 z = (µ, x, y) ，定义函数 H ( z ) 如下：
eµ −1
= H ( z) b − Ax ，
(3.2)
( )
φ µ, x, c − AT y
( ) ( ) 显然，若 0, x*, y* 是 H ( z ) = 0 的解，则 x*, y*, c − AT y* 是原问题(1.3)及其对偶问题(1.4)的最优解。
A New Smoothing Newton Method for Second-Order Cone Optimization Based on SOC Function
Xiaojuan Liang, Youfang Zeng
School of Mathematics and Information Science, Guangxi University, Nanning Guangxi
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(4), 602-612 Published Online April 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.84067
文章引用: 梁晓娟, 曾友芳. 二阶锥规划基于 SOC 函数的新光滑牛顿算法[J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 602-612. DOI: 10.12677/aam.2019.84067
析了算法的全局收敛和局部收敛速度，给出了数值实验结果。
关键词
二阶锥规划，光滑牛顿法，全局收敛，局部二次收敛
λi = x0 + (−1)i+1 x ,i= 1, 2.
=ci
= 12 1;(−1)i+1 xx , x ≠ 0; i
。 ω ∈ Rn−1 是满足 ω = 1 的任意向量。 1, 2
( ) 1
2
1;(−1)i+1 ω
, x = 0;
关于谱值，谱向量的相关性质归纳如下：
Keywords
Second-Order Cone Programming, Smoothing Newton Method, Global Convergence, Quadratical Convergence
二阶锥规划基于SOC函数的新光滑牛顿算法
梁晓娟，曾友芳
广西大学数学与信息科学学院，广西 南宁
2. 基础知识
二阶锥规划建立在与二阶锥相伴的代数基础上，为了更好地研究二阶锥规划，下面将简要介绍与二
阶锥相伴的欧几里得若当代数的基本概念和与之相关的重要结论，二阶锥规划的对偶理论和最优性条件
等。先介绍一些记号，其中 U 表示反射矩阵， En−1 表示 (n −1) 阶单位阵， Arw( x) 表示一个箭形矩阵， 本文用相应的大写字母表示箭形矩阵， X = Arw( x) ， S = Arw(s) ，W = Arw(w) 。
其中 φsoc ( x − s) 是任意的二阶锥互补函数。易见 H ( x, y, s) = 0 是与最优性条件等价的方程组，由此可知，
( ) H ( x, y, s) = 0 的解 x*, y*, s* 满足最优性条件，是问题(1.3)和(1.4)的最优解对。由上易知，求解此方程组
的关键在于构造合适的二阶锥互补函数。由于常见的二阶锥互补函数在(0,0) 点不可微(即非光滑)，例如
U
1
0
0T − En −1
∈
Rn×n
,
Arw
(
x
)
x1 x
xT x0 En−1
,
e
(1; 0 )
∈
Rn.
对于 = ∀x ( x0 ; x ) ∈ R × Rn−1= , s ( s0 ; s ) ∈ R × Rn−1 ，定义如下若当积：
x
s
= xT s x0 s + s0 x
着类似于线性规划的互补性条件。
引理 2.1：(互补性条件)设 x, s ∈ K ，即 xi , si ∈ Ki ,i = 1,, r ，则 xT s = 0 当且仅当 xi si = 0 。 在线性规划中，若原问题与对偶问题任意一个存在最优解，则另一个也存在最优解，且原问题与对
偶问题最优值相等，但二阶锥规划不具有这种性质，若要二阶锥规划的强对偶理论成立，必须使得原问 Nhomakorabea2)
lim
µ →0
hµ
(= x)
h ( x),∀x ∈ Rn ，
则称 hµ 是 h 的光滑函数。
3. 一个新的光滑函数及其性质
光滑函数在二阶锥规划光滑算法研究中起着重要作用(文[5] [6] [7] [8] [9])。由于向量值 FB 函数和向
量值 NR 函数并不处处连续可微，大大影响了其实际应用。本文通过光滑化对称扰动得到一个新的向量
DOI: 10.12677/aam.2019.84067
603
应用数学进展
梁晓娟，曾友芳
次约束二次规划，范数极小化，因而研究二阶锥规划具有重要的理论与现实意义。本文在向量值 FB 函 数和向量值 NR 函数的基础上进行改进，得到了一个新的光滑函数，利用得到的光滑函数，把二阶锥互 补函数转化为一个非线性方程组问题，并给出求解二阶锥问题的一个光滑化算法，在无严格互补条件的 假设下，证明算法全局收敛和局部二次收敛。
题与对偶问题同时存在严格可行解。因此二阶锥规划的最优性条件为：
定理 2.2：(最优性条件) (文[2])如果(1.3)和(1.4)都有严格可行解，则 ( x,( y, s)) 是(1.3)和(1.4)的最优解
对当且仅当
A=x b, x ∈ K,
AT
y
+
s
=
c, s ∈ K,
(2.1)
A= rw( x) s
Arw( x) A= rw(s) e
XSe.
记 x2 x x ， x + y 表示通常的向量的向量加法。 定理 2.1：(谱分解定理) (文[1])
对向量 x 定义与二阶锥有关的谱分解为：=x λ1c1 + λ2c2 ，其中 x 的谱值 λi 和与之对应的谱向量 ci 如 下：