CFD理论过渡到编程的傻瓜入门教程

CFD理论过渡到编程的傻瓜入门教程

（注：这是一篇不知道谁写的介绍一维无粘可压缩Euler方程，以及如何编程实现求解该方程的论文。作者从最基本的概念出发，深入浅出的讲解了控制方程，有限体积格式，MSUCL方法，限制器，Roe格式等相关知识。这篇论文我觉得有利于大家学习CFD编程的相关知识，所以推荐给大家。文章的后面附有我写的程序（C语言），

2011）

，写CFD

候我已经都掌握课堂上那些了。

回想自己入门艰辛，不免有一个想法——写点通俗易懂的CFD入门短文给师弟师妹们。本人不打算搞得很系统，而是希望能结合实际，阐明一些最基本的概念和手段，其中一些复杂的道理只是点到为止。目前也没有具体的计划，想到哪里写到哪里，因此可能会很零散。但是我争取让初学CFD的人能够了解一些基本的东西，看过之后，会知道一个CFD代码

怎么炼成的（这“炼”字好像很流行啊）。欢迎大家提出意见，这样我尽可能的可以追加一些修改和解释。

言归正传，第一部分，我打算介绍一个最基本的算例，一维激波管问题。说白了就是一根两端封闭的管子，中间有个隔板，隔板左边和右边的气体状态（密度、速度、压力）不一样，突然把隔板抽去，管子内面的气体怎么运动。这是个一维问题，被称作黎曼间断问题，

方程

这里

、动量和能量随时间的变化（）与它们各自的流量（密度流量，动量流量，能量流量）随空间变化（

在

这里

进一步可以写成散度形式

。

FVM就是以这个积分关系式出发，把整个流场划分为许多小控制体，每个控制体和周围相邻的某个控制体共享一个界面，通过计算每个界面上的通量来得到相邻控制体之间的影响，一旦每个控制体的变化得到，整个流场的变化也就知道了。

所以，再强调一次，关键问题是计算控制体界面上的。

初学者会说，这个不难，把界面上的插值得到，然后就可以计算。有道理！

咱们画个图，有三个小控制体i-1到i+1，中间的“|”表示界面，控制体i右边的界面用

表示，左边的就是。

|i-1|i|i+1|

好下个问题：每个小控制体长度都是如何插值计算界面上的？

科学家

我眼下的目的是让你快速上手，而且该不刨根问底的时候就不要刨根问底，这也是初学阶段一种重要的学习方法。

好了，既然目的只是为了求，我在这里，只告诉你一种计算方法，也是非常重要、非

常流行的一种方法。简单的说，就是假设流动状态在界面是不连续的，先计算出界面

两边的值，和，再由它们用某种方法计算出。上述方法是非常重要

的，是由一个苏联人Godunov在50年代首创的，后来被发展成为通用Godunov方法，着名的ENO/WENO就是其中的一种。

好了，现在的问题是：

1怎么确定和

2

在他的论文中，是假设每个控制体中是均匀分布的，因此

来计算。什么是

只有

5种情

，怎么计算

Godunov假设的是每个小控制体内是均匀分布，也就是所谓分段常数(piecewiseconstant)，所以后来有分段线性(picewiselinear)或者分段二次分布(picewiseparabolic)，到后来ENO/WENO出来，那这个假设的多项式次数就继续往上走了。都是用多项式近似的，这是数值计算中的一个强大工具，你可以在很多地方看到这种近似。

Godunov用的是精确黎曼解，太复杂太慢，也不必要，所以后来就有各种近似黎曼解，最有名的是Roe求解器、HLL求解器和Osher求解器，都是对精确黎曼解做的简化。

这个多项式的阶数是和计算精度密切相关的，阶数越高，误差就越小。不过一般来说，分段线性就能得到不错的结果了，所以工程中都是用这个，Fluent、Fastran以及NASA的CFL3D、OverFlow都是用这个。而黎曼求解器对精度的影响不是那么大，但是对整个算

，比如

1和

2

假设控制体内原始变量（就是）的分布是一次或者二次多项式，如果得到了这

左右两个界面的一侧的值和

OK，开始

假设，这个假设不影响最终结论，因为你总可以把一个区间线性的变换到长度为1的区间。

假设压力p在控制体i内部的分布是一个二次多项式，控制体i的中

心处于处，左右两个界面就是和。

这里先强调一个问题，在FVM中，每个控制体内的求解出来的变量实际上是这个控制体

内的平均值。

所以，

和和处的导数可以近似表示为

那么

（

这样就可以得到f(x)的表达式了，由此可以算出和

通常MUSCL格式写成如下形式

对应我们的推导结果（二次多项式假设）。

但是这不是最终形式。如果直接用这个公式，就会导致流场在激波（间断）附近的振荡。

这里

是一个小数（），以防止分母为

基于特征变量的MUSCL，要复杂一点，但是被认为适合更高精度的格式。然而一般计算中，基于原始变量的MUSCL由于具有足够的精度、简单的形式和较低的代价而被广泛使用。

OK，搞定了。下面进入第二点，怎么求。关于这一点，我不打算做详细介绍了，直

接使用现有的近似黎曼解就可以了，都是通过和计算得到

想了一下，还是把Roe求解器稍微说说吧，力求比较完整。但是不要指望我把Roe求解器解释清楚，因为这个不是很容易三言两语说清的。

Roe求解器的数学形式是这样的

“耗散”。

这里和已经用的定义在第一讲中已经介绍了。只有是

而

，，和的具体表达式在许多书上都有，而且这里的矩阵表达有问题，所以就不

是由、和代入计算得到。而、和采用所谓Roe平均值